复数轨迹与模的最值

定点到圆的距离范围

设 $r\ge0$。若 $|z-a|=r$，则对定点 $b$，

上界来自三角不等式，下界来自反三角不等式。当 $a\ne b$ 时，沿圆心与定点连线选择圆上的近端或远端即可取等；$a=b$ 时距离恒为 $r$。

当 $r=0$ 时，轨迹只有 $z=a$，距离范围退化为单个值 $|a-b|$。当 $r>0$ 时，所有中间距离也能取到：在圆上连续转动 $z$，距离连续地从最小值变到最大值。因此不仅得到上下界，还确定了完整值域。

两圆上点之和与差形成圆环

设 $|z_1-a|=r$、$|z_2-b|=s$，$r,s>0$。令 $w=z_1-z_2$，则

反之，任意 $\rho\in[|r-s|,r+s]$ 都能由两个长为 $r,s$ 的向量之差的长度取得，因为其平方为 $r^2+s^2-2rs\cos\theta$。再把两个向量同时旋转，就能得到该长度的任意方向。因此轨迹恰为闭圆环，圆心为 $a-b$；$r=s$ 时是闭圆盘。

对和 $z_1+z_2$，圆心改为 $a+b$，半径范围相同。差轨迹的面积为 $\pi[(r+s)^2-(r-s)^2]=4\pi rs$。

例如 $|z_1-3i|=2,|z_2-8|=1$ 时，差的轨迹圆心为 $-8+3i$，内外半径分别为 $1,3$，面积为 $8\pi$。

纯虚分式条件与排除点

设 $z\ne-1$。将 $(z-1)/(z+1)$ 的分子分母同乘 $\bar z+1$，可得其实部为

所以该分式的实部为零，当且仅当 $|z|=1$ 且 $z\ne-1$。若题目要求“纯虚数”并按高中常用定义排除零，还须 $z\ne1$。

在单位圆上令 $z=x+iy$，$x^2+y^2=1$。展开得

因 $x=-1/3$ 可取且对应的 $z$ 不是 $\pm1$，最小值为 $\sqrt{33}/3$。从轨迹转为实变量最值后，应检查取等点未被原分母或纯虚条件排除。

根式和构造向量及取等

对于实数 $x,y$，考虑三个根式之和

将它们分别写为向量 $(2y-3,1)$、$(1-3x,2-3x)$、$(3x-2y+1,3x)$ 的长度，三个向量之和恒为 $(-1,3)$，故 $F\ge\sqrt{10}$。

三角不等式取等要求各非零向量同向。第一向量与 $(-1,3)$ 同向迫使 $y=4/3$，第二向量同向迫使 $x=5/12$。此时三个向量分别为 $(-1,3)$ 的 $1/3,1/4,5/12$ 倍，系数均正，故确实同时取等。

因此最小值为 $\sqrt{10}$，唯一取到点为 $(5/12,4/3)$。构造向量时符号不只影响模，更影响能否形成固定向量和；原资料的第三个虚部分量符号不能直接照搬。