复平面中的点与向量
在平面直角坐标系中，用点 Z(a,b) 表示复数 z=a+bi。每个复数确定唯一的点，每个点也对应唯一的复数，这个平面称为复平面。横轴称实轴，纵轴称虚轴；两轴都包含原点。非零纯虚数对应虚轴上除原点之外的点。
复数也可对应从原点 O 出发的向量 OZ=(a,b)。当两个复数相加减时，实部、虚部分别相加减，恰好与向量的坐标运算一致。若 z1,z2 对应 Z1,Z2，则
OZ1+OZ2对应z1+z2,Z2Z1对应z1−z2.
因此
∣z∣=∣OZ∣,∣z1−z2∣=∣Z1Z2∣.
共轭 zˉ=a−bi 对应点 (a,−b)，表示关于实轴的反射；−z 对应关于原点的中心对称，−zˉ 对应关于虚轴的反射。
距离条件怎样变成轨迹
设 z=x+iy，z0=a+bi 为定点。由距离公式，
∣z−z0∣=r⟺(x−a)2+(y−b)2=r2(r≥0).
r>0 时是圆心为 z0、半径为 r 的圆；r=0 时只有点 z0；r<0 时无解。相应地，∣z−z0∣<r 表示开圆盘，∣z−z0∣≤r 表示闭圆盘（这两种通常取 r>0）。
若定点 z1=a+bi,z2=c+di 不同，则
∣z−z1∣=∣z−z2∣⟺2(c−a)x+2(d−b)y=c2+d2−a2−b2.
推导只须把两边平方并消去 x2+y2；因两边原本非负，平方等价。这条直线是线段 Z1Z2 的垂直平分线。若两定点重合，等式恒成立，轨迹变为整个复平面。
模长不等式及完整等号条件在复数运算中统一陈述和证明；使用不等式求轨迹最值时，还须检验取等点是否满足原条件。
旋转伸缩与三角函数的复数表示
乘除法的几何意义
设非零复数 w=r(cosθ+isinθ)，r>0。由三角形式乘法公式，乘以 w 将每个表示 z 的向量绕原点逆时针旋转 θ，再把长度乘以 r；负角表示顺时针旋转。除以 w 则旋转 −θ 并把长度乘以 1/r。乘零将所有点送至原点，此时没有可指定的旋转角。
例如乘 i 对应逆时针旋转 90∘，乘 −1 对应旋转 180∘，乘 2 对应长度扩大为两倍。这些几何动作都以原点为中心；绕其他点旋转须先平移，见复数与相似变换。
由单位圆复数表示三角函数
令 z=cosθ+isinθ，则 ∣z∣=1，zˉ=1/z。由 z+zˉ=2cosθ 和 z−zˉ=2isinθ，分别得到
sinθ=2iz−zˉ=2iz−z−1=2izz2−1,
cosθ=2z+zˉ=2z+z−1=2zz2+1.
两式相除，得到
tanθ=i(z2+1)z2−1(cosθ=0),cotθ=z2−1i(z2+1)(sinθ=0).
正切式要求 z2+1=0，余切式要求 z2−1=0，正好分别对应各自的定义条件。这个转换把三角恒等式变成单位圆上复数的代数恒等式，使用时必须保留 ∣z∣=1。