多项式根的分布与公共根

根的存在、个数、重数与位置是不同问题。二次方程可用完整的代数判据；高次方程通常要结合因式分解、单调性和区间符号。

二次方程两根在区间内

先把方程除以非零首项系数，写为 $g(x)=x^2+bx+c$ ，令顶点横坐标 $h=-b/2$ 、判别式 $\Delta=b^2-4c$ 。两根均在开区间 $(L,U)$ 内、允许重根，当且仅当

\Delta\ge0,\qquad L<h<U,\qquad g(L)>0,\qquad g(U)>0.

证明：若根为 $r_1\le r_2$ ，开口向上，根外函数为正且顶点在两根中间，必要性明显。反之，若 $\Delta\ge0$ 且顶点在区间内，两端均在根外正值区，左端只能在左根左侧，右端只能在右根右侧，故充分。

若要求两个互异根，将 $\Delta\ge0$ 改为 $\Delta>0$ 。闭区间时将顶点和端点条件对应改成非严格不等号。判别式、顶点位置与两端符号缺一不可。

位于定点两侧与根的符号

对上述首一二次式，定点 $t$ 严格位于两根之间，当且仅当 $g(t)<0$ ；这个条件本身已保证有两个互异实根。

两根均为正数，当且仅当 $\Delta\ge0,-b>0,c>0$ 。两根均为负数则将 $-b>0$ 改成 $-b<0$ 。异号当且仅当 $c<0$ 。这些符号判据来自韦达关系：正积迫使两个非零实根同号，再由和的符号决定正负；负积迫使异号，且此时 $\Delta=b^2-4c>0$ ，无需另加实根条件。若允许零根，须另查 $c=0$ ，不应直接照搬严格正负条件。

至于定点判据，由配方 $g(t)=(t+b/2)^2-\Delta/4$ ， $g(t)<0$ 保证 $\Delta>0$ 。再用 $g(t)=(t-r_1)(t-r_2)$ ，乘积为负恰表示 $r_1<t<r_2$ 。

公共根通过消元降次

求参数 $m$ ，使 $x^2+mx+1=0$ 与 $x^2+x+m=0$ 有公共实根。相减得 $(m-1)(x-1)=0$ 。

若 $m=1$ ，两方程相同但判别式为 $-3$ ，没有公共实根；若 $x=1$ ，代入得 $m=-2$ ，两式都成立。因此答案为 $m=-2$ 。

若问题改成公共复根， $m=1$ 也应保留。消元得到的分支只是必要候选，必须回到原方程并检查数域。

高次根的定位与重根

对非零实系数多项式 $P$ ，若 $P(L)P(U)<0$ ，连续性保证 $(L,U)$ 内至少有一个实根；若该区间严格单调，则恰有一个。符号相同不能排除偶重根，例如 $(x-1)^2$ 。

多项式在 $r$ 处为重根，当且仅当 $P(r)=P'(r)=0$ 。写 $P(x)=(x-r)Q(x)$ ，求导得 $P'(r)=Q(r)$ ，故等价于再含一个因子 $x-r$ 。

若两多项式要有相同实数解集，不要求它们互为常数倍。例如 $x-1$ 与 $(x-1)(x^2+1)$ 的实根集相同；在复数范围则不同。

开区间恰有一个不同实根的完整分类

设 $f(x)=ax^2+bx+c$ ， $a\ne0$ ， $L<U$ 。这里按不同解计数，重根只算一个。

若 $\Delta<0$ ，没有实根。
若 $\Delta=0$ ，恰有一个区间内实根当且仅当 $L<-b/(2a)<U$ 。
若 $\Delta>0$ 且 $f(L)f(U)\ne0$ ，恰有一个区间内实根当且仅当 $f(L)f(U)<0$ 。因两个简单根处各变号，两端异号恰表示跨过一个根。
若 $\Delta>0$ 且恰有一个端点是根，用根和 $-b/a$ 求出另一根，检查它是否严格在区间内；若两端都是根，则开区间内没有根。

例如 $(x-1)^2=0$ 在 $(0,2)$ 恰有一个解，但端点乘积为正； $x(x-1)=0$ 在 $(0,2)$ 也恰有一个解，但端点乘积为零。因此“恰有一根等价于端点异号”必须补上简单根与端点非零的前提。

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二次方程两根在区间内

先把方程除以非零首项系数，写为

g(x)=x^2+bx+c

，令顶点横坐标

h=-b/2

、判别式

\Delta=b^2-4c

。两根均在开区间

(L,U)

内、允许重根，当且仅当

\Delta\ge0,\qquad L<h<U,\qquad g(L)>0,\qquad g(U)>0.

证明：若根为

r_1\le r_2

，开口向上，根外函数为正且顶点在两根中间，必要性明显。反之，若

\Delta\ge0

且顶点在区间内，两端均在根外正值区，左端只能在左根左侧，右端只能在右根右侧，故充分。

若要求两个互异根，将

\Delta\ge0

改为

\Delta>0

。闭区间时将顶点和端点条件对应改成非严格不等号。判别式、顶点位置与两端符号缺一不可。

位于定点两侧与根的符号

对上述首一二次式，定点

t

严格位于两根之间，当且仅当

g(t)<0

；这个条件本身已保证有两个互异实根。

两根均为正数，当且仅当

\Delta\ge0,-b>0,c>0

。两根均为负数则将

-b>0

改成

-b<0

。异号当且仅当

c<0

。这些符号判据来自韦达关系：正积迫使两个非零实根同号，再由和的符号决定正负；负积迫使异号，且此时

\Delta=b^2-4c>0

，无需另加实根条件。若允许零根，须另查

c=0

，不应直接照搬严格正负条件。

至于定点判据，由配方

g(t)=(t+b/2)^2-\Delta/4

，

g(t)<0

保证

\Delta>0

。再用

g(t)=(t-r_1)(t-r_2)

，乘积为负恰表示

r_1<t<r_2

。

高次根的定位与重根

对非零实系数多项式

P

，若

P(L)P(U)<0

，连续性保证

(L,U)

内至少有一个实根；若该区间严格单调，则恰有一个。符号相同不能排除偶重根，例如

(x-1)^2

。

多项式在

r

处为重根，当且仅当

P(r)=P'(r)=0

。写

P(x)=(x-r)Q(x)

，求导得

P'(r)=Q(r)

，故等价于再含一个因子

x-r

。

若两多项式要有相同实数解集，不要求它们互为常数倍。例如

x-1

与

(x-1)(x^2+1)

的实根集相同；在复数范围则不同。

开区间恰有一个不同实根的完整分类

设

f(x)=ax^2+bx+c

，

a\ne0

，

L<U

。这里按不同解计数，重根只算一个。

若

\Delta<0

，没有实根。

若

\Delta=0

，恰有一个区间内实根当且仅当

L<-b/(2a)<U

。

若

\Delta>0

且

f(L)f(U)\ne0

，恰有一个区间内实根当且仅当

f(L)f(U)<0

。因两个简单根处各变号，两端异号恰表示跨过一个根。

若

\Delta>0

且恰有一个端点是根，用根和

-b/a

求出另一根，检查它是否严格在区间内；若两端都是根，则开区间内没有根。

例如

(x-1)^2=0

在

(0,2)

恰有一个解，但端点乘积为正；

x(x-1)=0

在

(0,2)

也恰有一个解，但端点乘积为零。因此“恰有一根等价于端点异号”必须补上简单根与端点非零的前提。