凸性描述函数图像位于任意两点连线之下；在本手册中使用有限点形式，不引入高等分析工具。
凸函数、凹函数与严格凸性
设 I 为实数区间，f:I→R。若对任意 x,y∈I 和 t∈[0,1] 都有
f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y),
则称 f 在 I 上为凸函数。右边是图像上两点之间弦线的纵坐标，左边是同一横坐标处的函数值，所以这个定义表示图像在弦线下方或弦线上。若不等号反向，则称为凹函数。
若 x=y 且 0<t<1 时上式总是严格小于，则称为严格凸函数；严格凹函数同理。一次函数同时为凸函数和凹函数，因而一般凸性不能保证等号只在 x=y 时成立。中文资料中“上凸、下凸”的命名不统一，本手册以这里的不等号方向为准。
加权琴生不等式
设 f 在 I 上为凸函数，x1,…,xn∈I，λi≥0 且 ∑i=1nλi=1，则
f(i=1∑nλixi)≤i=1∑nλif(xi).
凹函数的方向相反。等权时取 λi=1/n，得到
f(nx1+⋯+xn)≤nf(x1)+⋯+f(xn).
若 f 严格凸或严格凹，等号当且仅当所有正权重所对应的 xi 相同；零权重对应的点不受限制。
证明。 删去零权重后，对正权重个数归纳。一个点时为等式，两个点时就是定义。设前 n−1 点的结论已成立，令
s=λ1+⋯+λn−1=1−λn>0,u=i=1∑n−1sλixi.
由于 I 为区间，u∈I。先应用二点定义，再应用归纳假设，得到
f(i=1∑nλixi)=f(su+λnxn)≤sf(u)+λnf(xn)≤si=1∑n−1sλif(xi)+λnf(xn)=i=1∑nλif(xi).
严格凸时，两处同时取等要求 x1=⋯=xn−1=u=xn。凹函数可对 −f 使用已证结论。
例：平方函数
由于 tx2+(1−t)y2−[tx+(1−t)y]2=t(1−t)(x−y)2≥0，x2 为凸函数。因此
(λx+(1−λ)y)2≤λx2+(1−λ)y2.
取等权得到平方平均不小于算术平均的绝对值。
割线、切线与二阶导数判定
三点割线斜率
f 在区间 I 上凸，当且仅当对任意 x1<x2<x3 均有
x2−x1f(x2)−f(x1)≤x3−x1f(x3)−f(x1)≤x3−x2f(x3)−f(x2).
证明。 令 t=(x2−x1)/(x3−x1)∈(0,1)。凸性给出
f(x2)≤(1−t)f(x1)+tf(x3).
乘以正数 x3−x1，分别移项并除以正的横坐标差，就得到两条斜率不等式。这些变形均可逆，所以斜率条件也能推出凸性。三个横坐标必须互异，否则某些斜率没有定义。
切线不等式
若 f 在开区间 I 上可导且凸，则对任意 x,y∈I，
f(y)≥f(x)+f′(x)(y−x).
证明。 当 y>x，三点斜率关系表明 [f(y)−f(x)]/(y−x) 不小于右侧趋近 x 的割线斜率极限 f′(x)。当 y<x，相应斜率不大于 f′(x)，乘以负数 y−x 后仍得到同一结论。y=x 时为等式。
反过来，若每个 x 的切线不等式都成立，取 u=tx+(1−t)y，分别写出
f(x)≥f(u)+f′(u)(x−u),f(y)≥f(u)+f′(u)(y−u).
乘以 t,1−t 后相加，导数项抵消，得到凸性定义。严格凸时，切线式仅在 x=y 时取等；一般凸函数可能在一整段直线上取等。
导数判定
对可导函数，凸性等价于 f′ 单调不减。必要性由上面的割线夹在两端导数之间得到。充分性可用中值定理：若 y>x，则割线斜率等于某个 ξ∈(x,y) 处的 f′(ξ)≥f′(x)；y<x 同理。因此所有切线不等式成立。
所以二阶可导时，f′′≥0 足以推出凸性，f′′≤0 足以推出凹性；f′′>0 或 f′′<0 分别足以推出严格凸或严格凹。严格凸并不要求处处 f′′>0，例如 x4 在零点的二阶导数为零。
| 函数 |
凸性区间与条件 |
| xr（x>0） |
r>1 或 r<0 时严格凸；0<r<1 时严格凹；r=0,1 为仿射函数 |
| ax（a>0,a=1） |
在 R 上严格凸 |
| logax（x>0） |
a>1 时严格凹；0<a<1 时严格凸 |
| sinx |
在 [0,π] 上严格凹，在 [π,2π] 上严格凸 |
| cosx |
在 [−π/2,π/2] 上严格凹，在 [π/2,3π/2] 上严格凸 |
| tanx |
在 (−π/2,0] 上严格凹，在 [0,π/2) 上严格凸 |
| cotx |
在 (0,π/2] 上严格凸，在 [π/2,π) 上严格凹 |
若图像在某个内点的左右两侧分别凸、凹，且在该点连续，称该点为拐点。二阶导数在两侧保持相反符号可以判定这种改变；只知道该点 f′′=0 不够，例如 x4 在零点没有改变凸性。若该点可导，左右两侧切线支撑不等式的方向相反，便解释了切线两侧图像的位置改变。
表中结论由二阶导数的符号得到；三角函数的其余区间再利用周期和平移判断。使用琴生不等式前，必须确认全部输入位于同一个所列区间。
中点凸性与连续性条件
只验证 f((x+y)/2)≤(f(x)+f(y))/2 称为中点凸性；它与本篇允许所有实权重的凸性定义不能无条件混同。
在区间上反复二等分，可以从中点不等式得到二进有理权重 t=k/2m 的不等式。如果函数连续，再用这类权重逼近任意 t∈[0,1]，便得到本篇的凸性。缺少连续性等正则条件时，不在此处擅自推广到任意实权重。
本手册所用的平方、指数、对数及适当区间的三角函数均是连续的；具体使用仍按完整凸性定义或已有证明。严格凸的等号条件还要求参与平均的权重为正；零权重对应的点没有取等限制。
平均数必须放在函数里面
对凸函数 f 的等权琴生不等式，左端是 f((x1+⋯+xn)/n)，不能漏掉自变量中的 1/n。例如 f(x)=x2、x1=x2=1，正确式为 1≤1；若误写 f(x1+x2)≤[f(x1)+f(x2)]/2，就变成错误的 4≤1。
若权重为 2,3，应先除以总权重 5：
(52x+3y)2≤52x2+3y2.
两边乘以 25，等价于 (2x+3y)2≤5(2x2+3y2)，相减恰为 6(x−y)2≥0，当且仅当 x=y 取等。这也把加权凸性与柯西不等式联系起来。
若函数只是凸而非严格凸，“相等只在所有输入相同”未必成立；一次函数在任意输入下都取等。
易错点
权重和不为 1 时先归一化。变量必须处在同一个凸性区间；不能仅因图像看起来向上就套用。凸函数并不必然递增，例如 x2 在负半轴递减。
关联阅读
先修：函数、定义域与值域 · 基本不等式与均值。
同主题：排序不等式与切比雪夫不等式 · 放缩、齐次化与多元最值。
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