复合函数与反函数

复合函数与反函数的定义

复合函数把内层函数的输出作为外层函数的输入。设函数 $g$ 的定义域为 $D_g$，函数 $f$ 的定义域为 $D_f$，定义

运算次序是先 $g$ 后 $f$。一个输入能够完成这两步，当且仅当 $x\in D_g$ 且 $g(x)\in D_f$，故复合函数的定义域为

如果这个集合为空，就没有满足条件的实输入；若要对整个 $D_g$ 定义复合，须有 $g(D_g)\subseteq D_f$。一般不能调换次序：如 $f(x)=x^2,g(x)=x+1$，则 $f(g(x))=(x+1)^2$，而 $g(f(x))=x^2+1$。

反函数为何要求唯一原像

设 $f$ 的定义域为 $A$、值域为 $f(A)$。若对每个 $y\in f(A)$，方程 $f(x)=y$ 都有唯一的 $x\in A$，就可以把这个 $x$ 看作 $y$ 的函数，称为 $f$ 的反函数，记作 $f^{-1}$。因此

若指定陪域为 $B$，要求反函数定义在整个 $B$ 上，则还必须 $f(A)=B$，即 $f:A\to B$ 是双射。反函数满足

它的定义域为原函数值域，值域为原函数定义域。记号 $f^{-1}$ 表示逆运算，不表示倒数函数 $1/f$。

求反函数的步骤

先检查原函数在指定定义域上是否单射；再从 $y=f(x)$ 唯一反解 $x$，利用原定义域选择合法分支；最后交换变量名称，并注明反函数定义域。

例如 $f(x)=x^2+1$，$x\in[1,3]$，则值域为 $[2,10]$。从 $y=x^2+1$ 得 $x=\sqrt{y-1}$，负根因 $x\ge1$ 被排除。因此

复合定义域的计算与图像对称

求复合表达式的定义域时，要把所有输入限制同时列出。例如已知 $f$ 的定义域为 $(a,b)$，要使 $f(3x-1)-f(3x+1)$ 有意义，须

前者给出 $x\in((a+1)/3,(b+1)/3)$，后者给出 $x\in((a-1)/3,(b-1)/3)$。取交集后，若 $b-a>2$，定义域为 $((a+1)/3,(b-1)/3)$；若 $b-a\le2$，交集为空。

复合是否存在与能否在整个内函数定义域上复合须分开。例如 $g(x)=x$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f(u)=\sqrt u$ 的定义域为 $[0,+\infty)$，因此 $f(g(x))=\sqrt x$ 只对 $x\ge0$ 有意义。

反函数图像的对称性

若 $f$ 有反函数，$(u,v)$ 在 $f$ 的图像上，当且仅当 $f(u)=v$，也就当且仅当 $f^{-1}(v)=u$。所以 $(v,u)$ 在反函数的图像上。点 $(u,v)$ 与 $(v,u)$ 关于直线 $y=x$ 对称，因此两幅图像关于该直线对称。

对称关系会同时交换横、纵坐标的范围，不能只把解析式中的 $x,y$ 交换而保留原定义域。