多项式的根、重数与因式分解

根数上界与整除的判断

定理。 非零 $n$ 次多项式的不同根不超过 $n$ 个，所有不同根的重数之和也不超过 $n$。

证明。 若 $a,b$ 是不同根，提出 $a$ 的全部因式后写成 $P(x)=(x-a)^mH(x)$。因 $b-a\ne0$，从 $P(b)=0$ 得 $H(b)=0$；在 $b$ 处，因子 $(x-a)^m$ 不为零，所以 $b$ 在 $H$ 中的重数与在 $P$ 中相同。逐一提出各根的因式后，乘积次数等于重数之和，不能超过 $n$。

若已知 $n$ 个根 $r_1,\ldots,r_n$（按重数列出）和首项系数 $A$，则

若一个多项式的全部根也是另一个的根，仍须比较重数才能判断整除。例如 $(x-1)^2$ 不能整除 $x-1$。在复数范围完全分解后，非零 $D$ 整除 $P$，等价于 $D$ 的每个根在 $P$ 中都有不少于它在 $D$ 中的重数。仅比较实根集合不够，因为还可能有非实根。

实系数多项式的共轭根

设 $P(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k$，所有 $a_k$ 为实数。共轭与有限加法、乘法可交换，且 $\overline{a_k}=a_k$，所以

故 $P(z)=0$ 时 $P(\overline z)=0$。重数也相同：若 $P(x)=(x-z)^mH(x)$ 且 $H(z)\ne0$，对系数取共轭得到 $P(x)=(x-\overline z)^m\overline H(x)$，其中 $\overline H$ 表示逐系数共轭。又 $\overline H(\overline z)=\overline{H(z)}\ne0$，所以重数恰为 $m$。

非实根因此成共轭对出现；奇数次实系数多项式至少有一个实根。若系数允许任意复数，结论会失效，如 $x-i$ 的根只有 $i$。

实因式分解与系数范围

非实共轭根 $u\pm vi$（$v\ne0$）给出实二次因子

所以任意非零实系数多项式都能写为实常数、实一次因子和判别式小于零的实二次因子的乘积。

在指定的系数范围（有理数、实数或复数）内，若一个正次数多项式不能写为两个正次数多项式的乘积，称其在该范围内不可约。复数范围只有一次多项式不可约；实数范围只有一次式及判别式小于零的二次式不可约。前者由代数基本定理，后者由上述实分解和二次判别式得到。

同一个式子的可约性会随系数范围改变：$x^2-2$ 在有理数范围不可约，在实数范围为 $(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$；$x^2+1$ 在实数范围不可约，在复数范围可分解。对有理系数的二次或三次多项式，“可约”等价于“有有理根”，因为两个正次数因子的次数之和为二或三，其中必有一个一次因子。四次起不成立，例如 $(x^2+1)(x^2+2)$ 可约却没有有理根。

本篇不把整数系数下关于常数因子、公因数的另一套约定混入上述定义。

处处非负的实多项式与两平方和

定理。 实系数多项式 $P$ 对所有实数 $x$ 满足 $P(x)\ge0$，当且仅当存在实系数多项式 $G,H$ 使 $P=G^2+H^2$。

证明。 右推左显然。反向先排除零多项式（取 $G=H=0$ 即可）。若 $P$ 处处非负，其首项系数为正，每个实根的重数为偶数；否则在该根两侧，非零剩余因子的符号保持不变，而奇次因子变号，必出现负值。结合实因式分解，$P$ 是一个平方因子与若干 $(x-u)^2+v^2$ 的乘积（正的常数并入平方）。利用

反复合并，即成为两平方和。这是有限的多项式恒等变形。条件必须是整个实轴非负；如 $1-x^2$ 只在 $[-1,1]$ 非负，不能写成实多项式的两平方和。

重根与导数判据

本节需先了解多项式求导。若 $P(x)=(x-a)^mH(x)$、$H(a)\ne0$，则

括号在 $a$ 处等于 $mH(a)\ne0$，所以 $P'$ 在 $a$ 处的重数恰为 $m-1$（$m=1$ 时不是根）。因而 $a$ 是重根，当且仅当 $P(a)=P'(a)=0$。反复求导可得恰为 $m$ 重根的等价条件：

这套判据对实根、复根都成立；它不要求先把全部根求出。未学习导数时，仍可用反复除以 $x-a$ 的定义判断重数。