轨迹、参数方程与极坐标

曲线方程的双向等价与求轨迹五步

“$F(x,y)=0$ 是曲线 $C$ 的方程”必须同时满足：①曲线上每个点的坐标都是方程的实数解；②方程每个实数解对应的点都在曲线上。只证明一个方向，可能得到包含多余点的方程或漏掉分支。

求轨迹的五步为：

1. 建立适当坐标系，用 $M(x,y)$ 表示动点。
2. 把几何条件写成点的集合 $\{M:P(M)\}$，列明哪些定点、直线、线段以及端点可取。
3. 将每条条件准确翻译为代数等式或不等式。
4. 化简或消去辅助量，逐步记录平方、开方、除法带来的限制。
5. 反向证明所得方程加限制的每个点满足原条件，并补回因除法漏掉的合法点、删去平方引入的增点。

求“轨迹”还须说明是什么几何图形及哪一部分；求“轨迹方程”应给出方程连同必要的范围条件。同一曲线在不同坐标系下方程可以不同。

常用方法分别是：直接法将距离、夹角等直接代数化；定义法识别圆、椭圆、双曲线、抛物线的轨迹定义；待定系数法先确定曲线类型再由条件求参数；代入法借助已有轨迹与点之间的坐标关系；参数法先用参数表达动点再消参。每一种都必须完成第5步的双向核对。

参数表示的对象与选择

参数表示用一组允许的实数 $t$ 描述动点 $P=(f(t),g(t))$。它既要保证每个允许参数产生合法点，也要覆盖全部目标点。

选参时先识别运动方式：沿直线运动可选有向距离；绕圆周运动可选转角；抛物线上运动可选纵坐标。参数不必唯一，同一点可能对应多个参数；也不必具有长度或角度的几何意义。具体公式统一列在下一节，使用时应同时读取参数范围。

参数方程的双向要求与五类曲线表

参数方程 $x=f(t),y=g(t)$ 的意义包含两个方向：允许的每个 $t$ 都产生曲线上的点；曲线上每个点都能由某个允许的 $t$ 产生。消去参数后还必须保留取值限制，否则可能扩大轨迹。

验证分别代入 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$、$\sec^2\theta-\tan^2\theta=1$；抛物线反向取 $t=y/(2p)$，便知无遗漏。椭圆的参数角通常不等于极角；双曲线只取 $\cos\theta>0$ 会漏掉另一支。

参数的长度意义与双曲线分支

直线参数式 $x=x_0+t\cos\alpha,y=y_0+t\sin\alpha$ 使用单位方向向量，因此两参数点距离为 $|t_1-t_2|$。一般方向向量为 $(u,v)$ 时，距离应为 $\sqrt{u^2+v^2}|t_1-t_2|$，参数本身不一定是长度。

双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 可写 $x=a/\cos t,y=b\tan t$，须排除 $\cos t=0$。取 $t\in(-\pi/2,\pi/2)$ 只覆盖右支；再取 $t\in(\pi/2,3\pi/2)$ 才覆盖左支。参数范围是方程表示的一部分。

平移

令 $X=x-h,Y=y-k$ 可把中心在 $(h,k)$ 的曲线移到原点。坐标变换须明确新旧坐标关系；图像平移与坐标系移动的符号解释不同。

极坐标、坐标互换与圆锥曲线统一式

极点 $O$、极轴及角度正方向确定极坐标系。通常 $\rho\ge0$ 为到极点距离，$\theta$ 为极角；$\rho=0$ 时任何极角表示极点。$\theta$ 与 $\theta+2k\pi$ 表示同一点；允许有向极径时，$(\rho,\theta)$ 与 $(-\rho,\theta+\pi)$ 也表示同一点。限定 $\rho>0,0\le\theta<2\pi$（或 $-\pi<\theta\le\pi$）后，除极点外表示唯一。

取极点为直角坐标原点、极轴为 $x$ 正轴：

由正切反求角还须结合象限，不能只有一条反正切主值。曲线方程可写成 $\Phi(\rho,\theta)=0$，转换时注意极点与除去零因子可能造成的漏点。

令焦点为原点、准线为 $x=-p$（$p>0$），极轴背离准线，离心率为 $e>0$。焦点准线定义的无遗漏形式是

位于准线右侧的部分满足

$0<e<1$ 时给出整个椭圆；$e=1$ 时给出向右开口抛物线，须排除分母为零的方向；$e>1$ 时给出双曲线中位于准线右侧、靠近所选焦点的一支。本坐标约定下，双曲线中心的横坐标为 $-e^2p/(e^2-1)$，在准线左侧，因此这部分是右支。若把准线放到焦点右侧，左右名称会相反。

双曲线另一支在准线左侧，非负极径表示为

也可允许第一式的 $\rho$ 为负，从有向极径意义覆盖两支。推导就是对绝对值按 $p+\rho\cos\theta$ 的符号分类；不分类直接去绝对值会漏支。

极坐标换元时如何保留极点

以原点为极点、横轴正向为极轴，采用非负极径 $r$。圆 $x^2+y^2=2ax$（$a>0$）在 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ 下成为

$r=0$ 对任意角都满足；$r>0$ 时可约去 $r$，得到 $r=2a\cos\theta$，且 $\cos\theta>0$。因此非极点部分取 $-\pi/2<\theta<\pi/2$ 即可完整表示；加上两端角对应的 $r=0$，又能覆盖极点。

约去零因子后，应检查原点是否仍由剩余参数表示。在本例可通过端点补回；一般曲线不能未经检查就认为没有漏点。