复数坐标中的直线、圆与相似变换

共线、垂直与有向角

设 $a\ne b$。点 $z$ 在直线 $ab$ 上，当且仅当 $(z-a)/(b-a)$ 为实数，因此直线方程为

点 $z\ne a$ 时，$az$ 与 $ab$ 垂直，当且仅当上述商为纯虚数，即其与共轭之和为零。零向量没有方向，故谈夹角时必须排除重合点。

复数商的辐角为从向量 $b-a$ 到 $z-a$ 的有向角，按模 $2\pi$ 理解；若只讨论两条直线的夹角，方向还需按模 $\pi$ 处理。

直线与圆的统一实方程

任一直线可写成

置 $u=s+ti,z=x+yi$，左侧为 $2(sx+ty)$，所以就是一般直线方程，$u$ 是法向量对应的复数。

方程 $z\bar z+\bar u z+u\bar z+c=0$（$c$ 为实数）等价于

右侧正、零、负时，分别表示圆、一个点、空集。不能只见到 $z\bar z$ 就断定它是非退化圆。

单位圆的弦与切线

设 $|a|=|b|=1,a\ne b$。利用 $\bar a=1/a,\bar b=1/b$，连接两点的直线可写成

单位圆在 $a$ 处的切线为 $z+a^2\bar z=2a$，因为这等价于 $\operatorname{Re}(z\bar a)=1$，即半径方向上的投影等于一。

若 $a+b\ne0$，两点处切线相交于 $z=2ab/(a+b)$；其共轭为 $2/(a+b)$，代入两条切线即可验证。若 $a+b=0$，两点对径，切线平行，没有有限交点。

保向与反向相似

映射 $w=uz+v$（$u\ne0$）将任意距离乘以 $|u|$，并把所有方向旋转同一角 $\arg u$，因此是保向相似变换。映射 $w=u\bar z+v$ 多一次反射，是反向相似变换。

给定不重合的对应点 $a\mapsto A,b\mapsto B$，且 $A\ne B$，保向相似唯一确定为

反向相似唯一确定为

例如 $0\mapsto1,1\mapsto1+i$ 的保向变换为 $w=1+iz$，把 $i$ 变成 $0$；反向变换为 $w=1+i\bar z$，把 $i$ 变成 $2$。只给两组点时，若不说明是否允许反射，两种相似都可能。