数列求和：裂项、错位与差分

求和方法的目标是让多数项抵消，或把未知和与一个容易求出的和联系起来。

裂项相消与首尾配对

裂项求和把每一项写成相邻两项的差。若 $a_k=b_k-b_{k+1}$ ，则

\sum_{k=1}^n a_k=(b_1-b_2)+(b_2-b_3)+\cdots+(b_n-b_{n+1})=b_1-b_{n+1}.

下列恒等式是常用的识别形式。 $k$ 为正整数，出现 $h$ 时要求 $h\ne0$ 且分母非零：

原项	裂项形式
$1/[k(k+1)]$	$1/k-1/(k+1)$
$1/[k(k+h)]$	$[1/k-1/(k+h)]/h$
$1/[k(k+1)(k+2)]$	$\tfrac12[1/(k(k+1))-1/((k+1)(k+2))]$
$1/(\sqrt{k+1}+\sqrt k)$	$\sqrt{k+1}-\sqrt k$
$k\,k!$	$(k+1)!-k!$
$k/(k+1)!$	$1/k!-1/(k+1)!$

前三式通分即可验证；根式一行由分子分母同乘共轭根式得到；阶乘两行用 $(k+1)!=(k+1)k!$ 得到。求和时需看清差的方向和间隔：根式一行得到 $\sqrt{n+1}-1$ ，最后一行得到 $1-1/(n+1)!$ 。

首尾配对。 对任何有穷数列都有

2S_n=\sum_{k=1}^n(a_k+a_{n+1-k}).

因此当 $a_k+a_{n+1-k}=C$ 与 $k$ 无关时， $S_n=nC/2$ ；更一般地，只要配对后的表达式更容易求和，就可以使用。若项含绝对值，应先确定符号区间；若正负交错，应先确定项数奇偶，不能未经讨论强行配对。

间隔裂项：先保留两端再合并

求 $S_n=\sum_{k=1}^n1/[k(k+2)]$ 。分母两因子相差 $2$ ，故

\frac1{k(k+2)}=\frac12\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right).

写成两段和后，公共部分相消：

S_n=\frac12\left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right).

这对 $n=1$ 也成立，两端记号中重复出现的项自动抵消。更一般地，正整数 $h$ 对应

\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+h)}=\frac1h\left(\sum_{k=1}^h\frac1k-\sum_{k=n+1}^{n+h}\frac1k\right).

“裂项”不等于只剩第一项与最后一项；间隔为 $h$ 时，两端各保留 $h$ 项。

推导：错位相减

设 $n\ge1$ 为整数， $T_n=1+2q+\cdots+nq^{n-1}$ ， $q\ne1$ 。常数项固定为 $1$ ，因此 $q=0$ 时直接有 $T_n=1$ ，不需要定义 $0^0$ 。减去 $qT_n$ 得

(1-q)T_n=1+q+\cdots+q^{n-1}-nq^n,

所以

T_n=\frac{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}.

$q=1$ 时应直接用 $T_n=n(n+1)/2$ ，不能代入零分母。

错位相减的完整计算

求 $T_n=\sum_{k=1}^n k/2^k$ 。将 $T_n/2$ 与 $T_n$ 按相同的分母对齐，得

\frac12T_n=\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^n}-\frac n{2^{n+1}}=1-\frac1{2^n}-\frac n{2^{n+1}}.

因此 $T_n=2-(n+2)/2^n$ 。被减数最末项是 $n/2^{n+1}$ ，它没有对应项，须单独保留。代入 $n=1$ 得 $1/2$ ，可帮助检查端项，但一般公式成立的理由仍是上述恒等变形。

例：差分反求和

由 $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ ，从 $k=1$ 到 $n$ 求和，并代入 $\sum k=n(n+1)/2$ ，得 $\sum k^2=n(n+1)(2n+1)/6$ 。差分法把求多项式和变成寻找次数高一阶的表达式。

绝对值与交错符号的求和

对 $S_n=\sum_{k=1}^n|k-3|$ ，先找符号变化处。 $n=1$ 时为 $2$ ， $n=2$ 时为 $3$ ； $n\ge3$ 时

S_n=2+1+0+\sum_{k=4}^n(k-3)=3+\frac{(n-3)(n-2)}2.

对 $T_n=1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1}n$ ，成对合并得到 $T_{2m}=-m$ ，再加末项得到 $T_{2m+1}=m+1$ 。分段点来自项的符号，奇偶分类来自项的配对结构，二者不能混为一种机械模板。

易错点

错位相减最容易漏掉首项、末项。完成后用 $n=1,2$ 校验；这种校验能发现计算错误，但不能替代对一般 $n$ 的推导。

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裂项相消与首尾配对

裂项求和把每一项写成相邻两项的差。若

a_k=b_k-b_{k+1}

，则

\sum_{k=1}^n a_k=(b_1-b_2)+(b_2-b_3)+\cdots+(b_n-b_{n+1})=b_1-b_{n+1}.

下列恒等式是常用的识别形式。

k

为正整数，出现

h

时要求

h\ne0

且分母非零：

原项

裂项形式

1/[k(k+1)]

1/k-1/(k+1)

1/[k(k+h)]

[1/k-1/(k+h)]/h

1/[k(k+1)(k+2)]

\tfrac12[1/(k(k+1))-1/((k+1)(k+2))]

1/(\sqrt{k+1}+\sqrt k)

\sqrt{k+1}-\sqrt k

k\,k!

(k+1)!-k!

k/(k+1)!

1/k!-1/(k+1)!

前三式通分即可验证；根式一行由分子分母同乘共轭根式得到；阶乘两行用

(k+1)!=(k+1)k!

得到。求和时需看清差的方向和间隔：根式一行得到

\sqrt{n+1}-1

，最后一行得到

1-1/(n+1)!

。

首尾配对。 对任何有穷数列都有

2S_n=\sum_{k=1}^n(a_k+a_{n+1-k}).

因此当

a_k+a_{n+1-k}=C

与

k

无关时，

S_n=nC/2

；更一般地，只要配对后的表达式更容易求和，就可以使用。若项含绝对值，应先确定符号区间；若正负交错，应先确定项数奇偶，不能未经讨论强行配对。

推导：错位相减

设

n\ge1

为整数，

T_n=1+2q+\cdots+nq^{n-1}

，

q\ne1

。常数项固定为

1

，因此

q=0

时直接有

T_n=1

，不需要定义

0^0

。减去

qT_n

得

(1-q)T_n=1+q+\cdots+q^{n-1}-nq^n,

所以

T_n=\frac{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}.

q=1

时应直接用

T_n=n(n+1)/2

，不能代入零分母。