一般韦达关系、根的变换与实根必要条件

从二次、三次韦达公式开始

设二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的根为 $r_1,r_2$，按重数列出。由 $ax^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2)$ 展开，得到

三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a\ne0$）的三个根为 $r_1,r_2,r_3$，展开 $a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ 给出

例如二次根的平方和为 $(r_1+r_2)^2-2r_1r_2=b^2/a^2-2c/a$。这些等式在复数范围也成立；若题目只讨论实根，须先确认实根存在。它们确定的是根的对称信息，不指定哪个根叫 $r_1$。

一般韦达关系

设 $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0=a_n\prod_{i=1}^n(x-r_i)$，$a_n\ne0$，根按重数计。对 $1\le k\le n$，记 $e_k$ 为所有 $k$ 个不同下标的根乘积之和，则

证明：乘积展开中产生 $x^{n-k}$ 项，必须从 $k$ 个因子中取 $-r_i$、其余取 $x$，累加即得。特别地，$e_1=-a_{n-1}/a_n,e_n=(-1)^na_0/a_n$。

复系数多项式的首项系数可以为复数，不必是实数。代数基本定理保证复数域中的完全分解存在，本篇采用其结论而不展开高等证明；系数比较本身是有限代数运算。

判断“所有根均为实数”的必要条件

设实系数多项式

其全部复根按重数记为 $r_1,\ldots,r_n$。若所有根都是实数，则必有

若再有 $a_0\ne0$，则还必有

第一条的证明

记 $e_1=\sum_i r_i$、$e_2=\sum_{i<j}r_ir_j$。展开每个根差的平方，注意每个 $r_i^2$ 在求和中出现 $n-1$ 次，得到

所有根为实数时，左侧每项非负；又 $a_n^2>0$，故 $\Delta_1\ge0$。在“全部根为实数”的前提下，等号当且仅当全部 $r_i$ 相等。

第二条的证明

若 $a_0\ne0$，零不是根。令 $Q(x)=x^nP(1/x)$，则

它的根恰为 $1/r_1,\ldots,1/r_n$，且仍全部为实数。对 $Q$ 应用第一条，得到 $\Delta_2\ge0$；也可直接写成

怎样使用，怎样不能使用

任一不等式失败，就能断言根不全是实数；这不等于没有实根。两个不等式同时成立也不能反过来保证全实根。例如 $P(x)=x^4+1$ 有 $\Delta_1=\Delta_2=0$，但对每个实数 $x$ 都有 $x^4+1>0$，所以没有实根。

当存在非实根时，复数的平方不具有非负性，不能仍把根差平方和当作非负实数。