圆锥曲线切线的代数作图原理

连接两顶点的斜率平均

设曲线 $x^2/a^2+\varepsilon y^2/b^2=1$，其中 $a,b>0,\varepsilon\in\{1,-1\}$。取曲线上 $P(x_0,y_0)$，$y_0\ne0$，左右顶点为 $U(-a,0),V(a,0)$。两连线的斜率平均值为

恰为 $P$ 处切线斜率。由曲线方程及 $y_0\ne0$，可知 $x_0\ne\pm a$，以上分母合法。

截线中点作切线

在上一节条件下，任取竖直线 $x=t$，其中 $t\ne x_0$，分别与 $PU,PV$ 交于 $M,N$。取 $MN$ 中点 $R$，则 $PR$ 是切线。

若两条连线的斜率为 $m_1,m_2$，则 $R$ 的纵坐标为 $y_0+(t-x_0)(m_1+m_2)/2$，所以 $PR$ 的斜率就是切线斜率。当 $t=a$，其中一个交点恰为顶点 $V$，得到常见的“取顶点与另一交点的中点”作法。

若 $t=x_0$，$M=N=R=P$，无法确定直线；若 $y_0=0$，应直接用顶点处的竖直切线。

反射与切线截距

继续采用上述曲线，设 $x_0y_0\ne0$，将 $P$ 关于横轴反射为 $P'$。直线 $UP$ 与 $VP'$ 相交于 $T$。联立两直线，可得 $T$ 的横坐标为 $a^2/x_0$。将 $T$ 垂直投影到横轴得 $R(a^2/x_0,0)$，则 $PR$ 为切线，因为切线方程

在横轴的交点正是 $R$。

若 $x_0=0$，该构造中的两条直线平行，但此时椭圆在 $P$ 处的切线直接为水平线；双曲线上不存在这样的点。作图交点不存在不表示原曲线没有切线。

抛物线中的半斜率

设 $y^2=2px,p>0$，取非顶点 $P(x_0,y_0)$。由 $y_0^2=2px_0$，顶点 $O$ 与 $P$ 连线的斜率为 $y_0/x_0=2p/y_0$，切线斜率为 $p/y_0$，恰为前者的一半。

因此任取 $t\ne x_0$，让竖直线 $x=t$ 分别与 $OP$、过 $P$ 的水平线相交，连接两交点的中点与 $P$ 即得切线。证明与上一节的斜率平均相同。顶点处切线为 $x=0$，单独处理。

抛物线双切线与阿基米德三角形

在 $y^2=2px$（$p>0$）上取 $A=(pt^2/2,pt),B=(ps^2/2,ps)$，$t\ne s$。两点处切线分别为 $ty=x+pt^2/2$、$sy=x+ps^2/2$，交于

弦中点为 $N=(p(t^2+s^2)/4,p(t+s)/2)$，所以 $MN$ 平行对称轴。由水平底 $MN$ 与相应高度，或行列式计算，得

若 $AB$ 经过焦点 $F=(p/2,0)$，将 $F$ 代入弦方程

得 $ts=-1$。于是 $M$ 在准线 $x=-p/2$ 上，两切线互相垂直；同时

由于 $(t-s)^2=(t+s)^2+4\ge4$，得到 $[MAB]\ge p^2$，等号在 $s=-t=\pm1$，即焦弦垂直对称轴时成立。

这些垂直结论需要焦弦条件；一般弦仅保留 $MN$ 平行轴及面积公式。例如 $t=0,s=1$ 时，一条切线竖直，但上面的切线方程及交点公式仍有效。