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单调性、奇偶性、周期与对称

基础更新于 2026-09-29

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函数性质压缩了图像的信息，能减少求值与最值问题需要考察的范围。

单调性的定义、运算全表与符号限制

设实值函数 $f$ 定义在 $D$ ， $I\subseteq D$ 为区间。以下条件均要求对每一对 $x_1,x_2\in I$ 且 $x_1<x_2$ 成立：

名称	必须满足的比较
严格递增	$f(x_1)<f(x_2)$
严格递减	$f(x_1)>f(x_2)$
非减	$f(x_1)\le f(x_2)$
非增	$f(x_1)\ge f(x_2)$

“增函数”“减函数”在本文指严格情形。常函数既非减又非增，在含两个不同点的区间上既不严格增也不严格减。严格单调推出单射；单射未必单调，例如在 $\mathbb R$ 上交换恒等函数的 $0,1$ 两点取值。单调区间分开报告，不能擅自把隔着无定义点的两个区间合并。

平移、数乘与倒数

$f+c$ 与 $f$ 同方向； $cf$ 在 $c>0$ 时保持方向，在 $c<0$ 时反向， $c=0$ 时为常函数。因为两点函数值之差分别为 $f(x_2)-f(x_1)$ 与 $c(f(x_2)-f(x_1))$ 。

若 $f$ 在整个区间恒正或恒负， $1/f$ 与 $f$ 方向相反。这来自

\frac1{f(x_2)}-\frac1{f(x_1)}= -\frac{f(x_2)-f(x_1)}{f(x_1)f(x_2)},

分母恒正。仅说“处处不为零”仍不够，例如在 $[-1,1]$ 上令 $f(x)=x-1$ （ $x<0$ ）、 $f(x)=x+1$ （ $x\ge0$ ），它严格递增且不取零，但倒数跨越 $0$ 时向上跳，不能在整个区间严格递减。

加减运算的完整表

下面两函数都在同一区间上严格单调。“不能确定”表示这些已知条件不足，并非一定不单调。

$f$	$g$	$f+g$	$f-g$
增	增	增	不能确定
增	减	不能确定	增
减	增	不能确定	减
减	减	减	不能确定

证明：令 $\Delta f=f(x_2)-f(x_1)$ 、 $\Delta g=g(x_2)-g(x_1)$ ，和与差的变化分别为 $\Delta f+\Delta g$ 、 $\Delta f-\Delta g$ ，逐行检查符号。对于不能确定的格子，令两线性函数斜率的绝对值分别大于、等于、小于对方，就可出现增、常数、减三种结果。非严格版本相应成立；若要保留严格结论，至少一个提供同方向的严格变化。

乘除不能脱离符号判断

同为正值的两个增函数之积递增，同为正值的两个减函数之积递减；正值增函数除以正值减函数递增，正值减函数除以正值增函数递减。乘积结论由

f(x_2)g(x_2)-f(x_1)g(x_1) =f(x_2)\bigl(g(x_2)-g(x_1)\bigr) +g(x_1)\bigl(f(x_2)-f(x_1)\bigr)

逐项定号；商先把分母取倒数再作乘积。若同为负值的两个函数递增，其乘积反而递减，可对 $-f,-g$ 应用正值情形。没有符号条件时， $f(x)=g(x)=x$ 都在实数上递增，积 $x^2$ 却不是全域单调。因此不能把加法规则直接照搬到乘法。

用作差法真正证明单调性

证明 $f(x)=x+1/x$ 在 $[1,+\infty)$ 上严格递增，任取 $1\le x_1<x_2$ ，则

f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)\left(1-\frac1{x_1x_2}\right)>0,

因为 $x_1x_2>1$ 。这完成了“任意两个输入”的比较；代几个数只能提示趋势，不能证明全区间单调。

在 $(0,1]$ 上，同一作差式为负，所以函数严格递减。单调性有指定的讨论范围，两个分支不能合写成“在 $(0,+\infty)$ 单调”。对 $1/x$ 而言，虽在两个分支分别递减，却有 $-1<1$ 而 $f(-1)<f(1)$ ，因此也不能称它在整个非零实数集上递减。

对称性与周期性

讨论对称性时，函数值关系与定义域关系必须同时成立。设函数定义域为 $D$ 。

奇偶性与一般对称

当 $D$ 关于零对称，即 $x\in D\iff -x\in D$ 时：

若对每个 $x\in D$ 都有 $f(-x)=f(x)$ ，则 $f$ 为偶函数，图像关于 $y$ 轴对称。
若对每个 $x\in D$ 都有 $f(-x)=-f(x)$ ，则 $f$ 为奇函数，图像关于原点对称。

若奇函数在零点有定义，则 $f(0)=-f(0)$ ，所以 $f(0)=0$ 。只满足 $f(0)=0$ 不能反推奇函数。

一般地，图像关于直线 $x=a$ 对称的充要条件为

x\in D\iff 2a-x\in D,\qquad f(2a-x)=f(x)\quad(x\in D).

关于点 $(a,b)$ 中心对称的充要条件为

x\in D\iff 2a-x\in D,\qquad f(2a-x)=2b-f(x)\quad(x\in D).

这来自点 $(x,y)$ 经两种对称后分别变为 $(2a-x,y)$ 与 $(2a-x,2b-y)$ 。因此奇偶性分别是 $a=0$ 、 $(a,b)=(0,0)$ 的特殊情形。

周期及最小正周期

非零实数 $T$ 称为 $f$ 的周期，是指 $D$ 在向两侧平移 $T$ 后保持不变，并且

f(x+T)=f(x)\qquad(x\in D).

“保持不变”即 $x\in D\iff x+T\in D$ 。反复平移可得 $f(x+kT)=f(x)$ ， $k\in\mathbb Z$ ，因此非零整数倍 $kT$ 也是周期。

若所有正周期中存在最小者，称它为最小正周期。验证一个 $T$ 是周期，只证明它可用；要称“最小”，还须排除更小的正周期。常函数的每个非零实数都是周期，因而没有最小正周期。

奇偶性四则运算全表与唯一分解

设定义域 $D$ 关于 $0$ 对称。零函数兼具奇偶性，因此下表中的“奇”“偶”不表示互斥类别。

在共同且关于原点对称的定义域上：

$f$	$g$	$f+g$ 、 $f-g$	$fg$	$f/g$
奇	奇	奇	偶	偶
偶	偶	偶	偶	偶
奇	偶	不能统一确定	奇	奇
偶	奇	不能统一确定	奇	奇

商的定义域须删除 $g(x)=0$ 的点；由于 $g$ 有奇偶性，删去零点后仍关于原点对称。令 $f(-x)=\varepsilon_f f(x)$ 、 $g(-x)=\varepsilon_g g(x)$ ，其中 $\varepsilon_f,\varepsilon_g\in\{1,-1\}$ 。同号时和差可提出共同符号；乘积的符号为 $\varepsilon_f\varepsilon_g$ ，商的符号为 $\varepsilon_f/\varepsilon_g=\varepsilon_f\varepsilon_g$ ，由此逐格得到上表。异奇偶的和差可能既非奇也非偶，例如 $x+1$ ；若某一项为零，也可能保留另一项奇偶性。

数乘保持已有奇偶性；偶函数加常数仍偶，奇函数加非零常数一般不再奇。复合时须先确认复合定义域对称：外函数奇、内函数奇，则复合奇；外函数偶、内函数奇，则复合偶；内函数偶时，只要复合有意义，外函数无论是否有奇偶性，复合都为偶函数。这些结论分别将 $g(-x)=\pm g(x)$ 代入外函数即可验证。

任意定义在对称域 $D$ 上的实值函数，都有唯一分解

f(x)=E(x)+O(x),\qquad E(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2,\quad O(x)=\frac{f(x)-f(-x)}2.

存在性：直接计算 $E(-x)=E(x)$ 、 $O(-x)=-O(x)$ ，且 $E+O=f$ 。唯一性：若另有 $f=E_1+O_1$ ，将 $x$ 换成 $-x$ 得 $f(-x)=E_1(x)-O_1(x)$ ，两式相加、相减便强制得到上述公式。缺少对称域时， $f(-x)$ 可能无定义，分解便不能照用。

例：分离奇部与偶部

对 $f(x)=x^3+x^2+1$ （ $x\in\mathbb R$ ），先写出

f(-x)=-x^3+x^2+1.

所以

\frac{f(x)+f(-x)}2=x^2+1,\qquad \frac{f(x)-f(-x)}2=x^3.

前者是偶部，后者是奇部。取和能消去奇部，取差能消去偶部，这使奇偶分解在求和与函数方程中很有用。

这个分解依赖对称定义域。若将同一个表达式限制在 $(0,+\infty)$ ，原函数不再拥有 $f(-x)$ ，便不能直接按此公式讨论它的奇部、偶部；须先明确是否另行延伸定义域。

例：由一侧定义补全另一侧

设 $f$ 是 $\mathbb R$ 上的奇函数，且 $x>0$ 时 $f(x)=x^2-2x$ 。若 $x<0$ ，则 $-x>0$ ，可以合法使用已知式：

f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x.

再用奇性得到 $f(x)=-x^2-2x$ ，且 $f(0)=0$ 。这里应先让自变量进入已知区间，再用性质还原，不能把 $x>0$ 时的公式直接用于负数。

奇偶性与单调性合用：符号、取值和分支

先把负输入化成正输入。 设 $f$ 是实数上的严格递增奇函数，偶函数 $g$ 在非负半轴与 $f$ 相同。若 $a>b>0$ ，则 $f(a)>f(b)>f(0)=0$ ，且 $g(a)=f(a)$ 、 $g(-b)=f(b)$ 。于是

f(b)-f(-a)=f(a)+f(b)>f(a)-f(b)=g(a)-g(-b),

f(a)-f(-b)=f(a)+f(b)>f(b)-f(a)=g(b)-g(-a).

这两条分别多出 $2f(b)>0$ 和 $2f(a)>0$ ，不用画未确定的图像。

递推等式注意给定范围。 偶函数 $f$ 满足 $f(2+x)=-2f(2-x)$ （仅给定 $x>0$ ），且 $f(-1)=4$ 。取允许的 $x=1$ 得 $f(3)=-2f(1)=-8$ ，再由偶性得 $f(-3)=-8$ 。不能把条件私自扩为所有实数；若对正负 $x$ 都成立，两次反射可能额外强制函数取零，与题设冲突。

有理式单调区间与端点。 设 $F(x)=(x+1)^2/(x^2+1)=1+2x/(x^2+1)$ 。对 $x<y$ ，

F(y)-F(x)=\frac{2(y-x)(1-xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}.

在 $[-1,1]$ 上，两个不同点的乘积严格小于 $1$ ，所以严格递增；在 $(-\infty,-1]$ 和 $[1,+\infty)$ 上，乘积严格大于 $1$ ，所以严格递减。故最大的递增区间为 $[-1,1]$ ，端点无需排除。

上界、上确界与最大值的区别

若对定义域中所有 $x$ 都有 $f(x)\le M$ ，则 $M$ 为一个上界。上界可以有很多；最小的上界叫上确界，记作 $\sup f$ 。若还存在 $x_0$ 使 $f(x_0)=M$ ，这个上界才是最大值。下界、下确界与最小值类似。

例如 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上的上确界为 $1$ ，下确界为 $0$ ，但没有最大值和最小值。证明 $1$ 是上确界，除了证明 $x<1$ ，还需说明任意 $M<1$ 都不是上界：可在 $\max\{M,0\}$ 与 $1$ 之间选一个 $x$ 。

恒成立 $f(x)\le a$ 等价于 $a\ge\sup f$ （值域非空且有上界时）。严格不等式 $f(x)<a$ 是否允许 $a=\sup f$ ，要看上确界能否取到。例如 $(0,1)$ 上要求 $x<a$ ，答案是 $a\ge1$ ；若定义域改为 $[0,1]$ ，答案变成 $a>1$ 。

例与反例

$f(x)=x^3$ 严格递增且为奇函数。 $f(x)=1/x$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 分别递减，但不在两区间的并集上递减： $-1<1$ ，却有 $f(-1)<f(1)$ 。

常函数的任意非零实数都是周期，因此不存在最小正周期。 $f(x)=x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 作为限制函数时不能称偶函数，因为定义域不对称。

作差、参数单调性与非负超可加函数

分式作差。 $f(x)=x^2/(x-1)=x+1+1/(x-1)$ ， $x\ne1$ 。对同一分支的 $x<y$ ，

f(y)-f(x)=(y-x)\left(1-\frac1{(x-1)(y-1)}\right).

在 $(-\infty,0]$ 、 $[2,+\infty)$ 内，乘积 $(x-1)(y-1)>1$ ，故严格递增。在 $[0,1)$ 、 $(1,2]$ 内，该乘积在 $(0,1)$ ，故严格递减。端点可分别包含， $1$ 不能包含，也不能跨越它合并区间。

参数须兼顾全区间。 $F_a(x)=\sqrt{x^2+1}-ax$ ， $a>0$ ，考察 $[0,+\infty)$ 。若 $0\le x<y$ ，

\frac{F_a(y)-F_a(x)}{y-x} =\frac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}-a.

分式严格小于 $1$ ，所以 $a\ge1$ 时严格递减。若 $0<a<1$ ，取充分小的正数 $t$ ，有

F_a(t)-F_a(0)=t\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}+1}-a\right)<0,

因为可取 $0<t<2a$ ，括号中的分式小于 $t/2<a$ ，所以它不递增。同时 $F_a(x)\ge(1-a)x$ ，可超过 $F_a(0)=1$ ，故也不递减。答案恰为 $a\ge1$ 。

超可加性给出上界。 设 $f\ge0$ 定义在 $[0,1]$ ， $f(1)=1$ ，且 $u,v\ge0,u+v\le1$ 时有 $f(u+v)\ge f(u)+f(v)$ 。先取 $u=v=0$ 得 $f(0)=0$ ；再由 $y=x+(y-x)$ 得 $f(y)\ge f(x)$ ，即非减。

对 $0<x\le1$ 令 $n=\lfloor1/x\rfloor\ge1$ 。反复用超可加性有 $nf(x)\le f(nx)\le1$ ，故 $f(x)\le1/n$ 。又 $x>1/(n+1)$ ，且 $1/n\le2/(n+1)$ ，所以 $f(x)<2x$ ；在 $x=0$ 时取等。因此原题要求的 $f(x)\le2x$ 成立，且原稿给出的连续性在这个证明中并不需要。每次相加都须保证总自变量不超过 $1$ 。

关联阅读

进一步阅读：从对称关系推导周期与图像信息。

先修：函数、定义域与值域。

同主题：函数、定义域与值域 · 基本初等函数与图像变换。