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放缩、齐次化与多元最值

拓展更新于 2026-09-29

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不等式证明要同时管理三个问题：约束是否保留、比较方向是否正确、等号是否能够达到。

实数大小关系与比较法的完整规则

以下字母均为实数，涉及根式、分式时另加所列条件。

三歧性、对称性、传递性： $a>b,a=b,a<b$ 恰有一个成立； $a>b\iff b<a$ ； $a>b,b>c\Rightarrow a>c$ 。
同加同减： $a>b\iff a+c>b+c$ 。若 $a>b,c>d$ ，则 $a+c>b+d$ ；若 $a>b,c<d$ ，则 $a-c>b-d$ 。两个同向不等式不能直接相减。
乘除同一个数： $c>0$ 时 $a>b\iff ac>bc$ ； $c<0$ 时 $a>b\iff ac<bc$ ；除法对应规则相同，但除数不能为零。乘零后不能保留严格大小关系。
同向正数相乘： $a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd$ 。缺少符号条件，结论一般不成立。
正数乘方、开方： $a>b>0,r>0\Rightarrow a^r>b^r$ ； $r<0$ 时反向。正整数次根在非负数上保序；奇次根在全体实数上保序。偶次幂在全体实数上不保序。
取倒数： $ab>0$ 时， $a>b\iff 1/a<1/b$ 。异号时须单独判断，不能套用同号规则。

这些性质均可由正数的和、积为正推出。例如 $ac-bc=c(a-b)$ 的符号直接决定乘数为正、负时的方向。

作差比较：判断 $A-B$ 的符号，即判断 $A$ 与 $B$ 的大小。作商比较：仅当 $B>0$ 时， $A/B>1\iff A>B$ ； $B<0$ 时方向相反， $B=0$ 时不能作商。

若 $b>a>m>0$ ，则

\frac a{b+m}<\frac ab<\frac a{b-m},\qquad \frac{a-m}{b-m}<\frac ab<\frac{a+m}{b+m}.

前一组来自分母变化；后一组由

\frac ab-\frac{a-m}{b-m}=\frac{m(b-a)}{b(b-m)}>0, \quad \frac{a+m}{b+m}-\frac ab=\frac{m(b-a)}{b(b+m)}>0

证明，不能忽略分母为正这一条件。

对 $c>0$ ， $|x|<c\iff -c<x<c$ ， $|x|>c\iff x<-c$ 或 $x>c$ ；非严格版本同理。若 $c=0$ 或 $c<0$ ，应直接按绝对值非负性分类。

绝对值的完整三角不等式为

\bigl||a|-|b|\bigr|\le |a\pm b|\le |a|+|b|.

加号的上界在 $ab\ge0$ 时取等、下界在 $ab\le0$ 时取等；减号时相反。上界平方后等价于 $ab\le|ab|$ ；下界把 $a=(a+b)-b$ 代入上界并交换 $a,b$ 即得。

分式放缩与充分条件链

分子、分母同时变化时先作差

设 $0<a<b$ 、 $m>0$ ，则

\frac{a}{b+m}<\frac ab<\frac{a+m}{b+m}<\frac{a+m}{b}.

第一个和最后一个不等号由正分母增大使正分式减小得到；中间不等号由

\frac{a+m}{b+m}-\frac ab=\frac{m(b-a)}{b(b+m)}>0

证明。这说明分子分母同时加正数后，比值向 $1$ 靠近，但不超过只增大分子的结果。

若还满足 $m<a$ ，便可进一步写出

\frac{a-m}{b-m}<\frac ab<\frac a{b-m},

因为所有分母为正，且

\frac ab-\frac{a-m}{b-m}=\frac{m(b-a)}{b(b-m)}>0.

最后一个不等号来自正分子不变、分母减小。条件改变时要重查差与分母的符号，不能把“浓度增大”当作无条件的口诀。

从目标反推时保留逻辑方向

分析法从目标 $T$ 寻找充分条件 $S$ ，所需方向是 $S\Rightarrow T$ ；只证明必要条件 $T\Rightarrow S$ 不够。找到可证的 $S$ 后，应把论证顺向写回目标，并列出每次平方、乘除、开方的条件。

例如要证 $\sqrt{1+x}\le1+x/2$ ，先由定义域取 $x\ge-1$ ，于是右侧至少为 $1/2>0$ ，可等价地比较平方。平方差

(1+x/2)^2-(1+x)=x^2/4\ge0

给出结论，等号仅在 $x=0$ 。这里“先找平方差”是发现方法，“两边非负且平方差非负”才构成完整证明。

齐次式、齐次化与正规化

若在允许正比例缩放的定义域中，对每个 $t>0$ 都有

F(tx_1,\ldots,tx_n)=t^dF(x_1,\ldots,x_n),

则称 $F$ 为 $d$ 次齐次函数。多项式各非零单项式的总次数相同，就满足此关系；分式的次数是分子、分母次数之差。齐次性描述缩放，与变量是否对称无关。

齐次化利用约束改写不同次数的项。例如 $a,b,c>0$ 且 $a+b+c=1$ ，目标 $a^2+b^2+c^2\ge1/3$ 可改为

a^2+b^2+c^2\ge\frac{(a+b+c)^2}{3}.

右式由平方差恒等式对所有实数成立，代回原约束便得目标。这里需证明改写在原可行集上等价；其他比例限制不能因此消失。

正规化则反向利用齐次性固定尺度。若目标 $F\ge0$ 的可行域沿正射线封闭，且 $s=x_1+\cdots+x_n>0$ ，令 $y_i=x_i/s$ ，便有 $\sum y_i=1$ 和 $F(x)=s^dF(y)$ 。因为 $s^d>0$ ，两个不等式等价。因此可以先在 $\sum y_i=1$ 上证明，再缩放回去。若和可能为零或负数，必须另选尺度或分情况，不能直接这样归一化。

对零次齐次目标 $R=(a+b)^2/(ab)$ （ $a,b>0$ ），归一化后 $a+b=1$ ，均值不等式给 $ab\le1/4$ ，故 $R\ge4$ ，等号当且仅当 $a=b$ 。

另一种消去乘积约束的等价代换是

x,y,z>0,\ xyz=1\quad\Longleftrightarrow\quad x=a/b,\ y=b/c,\ z=c/a\quad(a,b,c>0).

从右向左乘起来即得；从左向右可取 $c=1,b=y,a=xy$ 。附加条件如 $x(1+z)>1$ 会变为 $a+c>b$ ，仍须保留。

齐次性、对称性与约束不能混同

二次式 $a^2+2b^2$ 是齐次的，却不是对称的；齐次描述缩放，对称描述交换变量，两者互不代替。

若约束为 $a+b=1$ 、 $a\le2b$ ，齐次化或归一化后，比例限制 $a\le2b$ 仍要保留。只有当每个可行正比例射线都与所设截面相交，且目标比较在缩放下保持，才能无损归一化。

例如 $a,b,c>0$ 且构成三角形，可用 $a=x+y,b=y+z,c=z+x$ ，其中 $x,y,z>0$ 。反解为 $x=(a+c-b)/2,y=(a+b-c)/2,z=(b+c-a)/2$ ，三角形不等式正好保证正性。这是等价参数化；随意设三个新量非负则会额外加入退化边界。

例：放缩应能求和

对整数 $n\ge1$ ，

\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1-\frac1{n+1}<1.

若分母改成 $k^2$ ，对 $k\ge2$ 可用 $1/k^2<1/[k(k-1)]$ ，得到有限和 $\sum_{k=1}^n1/k^2<2$ （ $n=1$ 单独直接成立）。选择放缩方向的同时，要让新式子可以裂项。

循环分式和的严格范围

若 $x,y,z>0$ ，则

1<\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}<2.

记三项之和为 $S$ ，通分得

S-1=\frac{x^2y+y^2z+z^2x+xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}>0.

将每项换成其补数， $3-S=y/(x+y)+z/(y+z)+x/(z+x)$ 也满足同样的下界，故 $S<2$ 。

两个界都不能取得但都可逼近：取 $(x,y,z)=(t,1,1/t)$ 且 $t$ 任意大， $S$ 趋近 $2$ ；交换 $x,y$ 后，所得和恰为 $3-S$ ，趋近 $1$ 。这里的结论是上、下确界，不是最大、最小值。

三角形角度的嵌入不等式

设 $A,B,C>0$ 且 $A+B+C=\pi$ ， $x,y,z$ 为任意实数。则

x^2+y^2+z^2\ge2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B.

完整的平方分解为

\begin{aligned} &x^2+y^2+z^2-2xy\cos C-2yz\cos A-2zx\cos B\\ &=(x-y\cos C-z\cos B)^2+(y\sin C-z\sin B)^2. \end{aligned}

展开时用 $\cos(B+C)=-\cos A$ 即可核对。取等要求两个平方同时为零，等价于

(x,y,z)=t(\sin A,\sin B,\sin C),\qquad t\in\mathbb R.

这包括 $t=0$ ，所以比值形式不能替代完整等号条件。条件必须是三角形的三个内角，仅写角和为 $\pi$ 不足以保证同样的取等说明。

等边情形给出 $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$ 。这也解释了如何把含三个余弦的二次式还原成平方和。

边界与反例

对称并不意味着最大值在变量相等处。非负 $a+b=1$ 时， $a^2+b^2$ 的最大值 $1$ 在端点 $(1,0),(0,1)$ ，而相等点给出最小值 $1/2$ 。若要求严格正数，只有上界 $1$ ，没有最大值。

关联阅读

进一步阅读：舒尔不等式、对称换元与调整法 · 优超、卡拉玛塔与三元米尔黑德。

先修：基本不等式与均值 · 柯西不等式与分式形式。

同主题：凸性与有限加权不等式。