三角形式、乘方与单位根

辐角、三角形式与乘除运算

设非零复数 $z=a+bi$，记 $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}>0$。将它对应的点写成极坐标：

于是 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，称为复数的三角形式。$\theta$ 是从正实轴转向向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的有向角，称为 $z$ 的辐角。全部辐角相差 $2k\pi$，$k\in\mathbb Z$。

本页沿用系统讲义，取 $[0,2\pi)$ 内的唯一辐角作为主值，记作 $\arg z$。其他主值约定也可使用，但不能在一次计算中混用。零复数没有辐角；表达式 $0(\cos\theta+i\sin\theta)$ 恒为零，并不能给零指定唯一方向。

因此，对两个非零复数 $z_1,z_2$，

若不取主值，则角度条件应写成两辐角相差 $2k\pi$。零复数的相等直接判断为两者均为零，不使用辐角条件。

求辐角须同时满足 $\cos\theta=a/r,\sin\theta=b/r$。仅由 $\tan\theta=b/a$ 不能区分相差 $\pi$ 的方向，且该商还要求 $a\ne0$。

乘法与除法

设 $z_j=r_j(\cos\theta_j+i\sin\theta_j)\ne0$。则

证明。 乘法展开后的实部为 $r_1r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)$，虚部为 $r_1r_2(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)$，由和角公式得到乘积。又因

除法归结为乘法，得到商的公式。

几何上，乘以 $z_2$ 表示绕原点旋转 $\theta_2$，再把长度乘以 $r_2$；除以 $z_2$ 表示反向旋转并把长度除以 $r_2$。主值辐角的和差可能超出 $[0,2\pi)$，须加减整周还原。

棣莫弗公式

对整数 $n$ 和非零复数 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，

正整数情形反复应用乘法公式，每乘一次，模多乘一个 $r$，辐角多加一个 $\theta$，可用归纳法证明。$n=0$ 时两边等于 $1$；负整数情形先取倒数再用正整数公式。零复数只使用正整数次幂。

欧拉记号作为三角形式的简写

在本手册的初等运算范围内，可将 $\cos\theta+i\sin\theta$ 简写成 $e^{i\theta}$，于是

设 $z_1=r_1e^{i\theta_1},z_2=r_2e^{i\theta_2}$，其中 $r_1,r_2>0$，则三角形式的乘除公式可写成

这使辐角加减看起来像指数运算。由三角和角公式即可验证

进一步有

例如将余弦表达式的四次方按二项式展开、再合并共轭项，就得

这里只处理有限代数运算，不以无穷级数定义复指数。$e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}$，所以不能把实对数的单值规则直接推广为“$\ln(e^{i\theta})=i\theta$ 对所有实数都成立”。

开方与单位根

对 $w=R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\ne0$，方程 $z^n=w$（整数 $n\ge1$）的全部根为

模由取绝对值确定，角由 $n\theta=\varphi+2k\pi$ 确定，所以没有其他根。$w=0$ 时只有根零。

复数开平方与负判别式二次方程

开平方是复数开方公式中 $n=2$ 的情形。非零复数的两个平方根互为相反数；例如 $i=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)$ 的平方根为

实系数二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）在复数中仍可配方为

若 $\Delta<0$，则 $\Delta=(i\sqrt{-\Delta})^2$，因此两个根为

它们是互为共轭的非实复数。例如 $x^2+2x+5=0$ 的根为 $-1\pm2i$。负判别式说明无实根，但不说明在复数范围内无根。

单位根五组性质及其推导

设整数 $n\ge2$，$\omega=\cos(2\pi/n)+i\sin(2\pi/n)$。则 $x^n=1$ 的全部根为 $\varepsilon_k=\omega^k$，$k=0,\ldots,n-1$。下标超出这个范围时，统一按模 $n$ 理解。

1. 模、共轭与整数幂

棣莫弗公式给出第一式，单位圆定义给出模为1，共轭与倒数关系由 $z\bar z=|z|^2$ 得到。

2. 乘法和除法封闭

由辐角相加、相减立即得到；分母不可能为零。因此若干个 $n$ 次单位根的乘积，或两个根的商，仍是 $n$ 次单位根。

3. 根的幂和

对任意整数 $m$（含零及负数），

若 $n\mid m$，每项为1；否则公比 $\omega^m\ne1$，而 $(\omega^m)^n=1$，故由等比求和

特别地，$1+\omega+\cdots+\omega^{n-1}=0$。

4. 因式分解与根的乘积式

第一式两边是首一 $n$ 次多项式，且有相同的 $n$ 个互异根。将两边的多项式因子 $x-1$ 约去，得到第二式，所以第二式在 $x=1$ 时也成立，并有

这里是多项式恒等式约去公因子，并非在 $x=1$ 处计算 $0/0$。

5. 几何位置

相邻根的辐角相差 $2\pi/n$，所以它们是单位圆周的 $n$ 等分点，$\varepsilon_0=1$ 在正实轴上。$n\ge3$ 时形成单位圆内接正 $n$ 边形；$n=2$ 时是两个对径点。

上述求和、乘积公式按 $n\ge2$ 陈述。$n=1$ 时只有根1，应直接处理，不套用“全部根之和为零”。

本原单位根与乘除封闭性

称 $\zeta$ 为 $n$ 次本原单位根，是指 $\zeta^n=1$，且对每个 $1\le m<n$ 都有 $\zeta^m\ne1$。它表示“第一次得到 $1$ 的正整数幂是 $n$”，不能把任意非 $1$ 的 $n$ 次单位根都当作本原单位根。

例如 $n=4$ 时，$i,-i$ 为本原单位根；$-1$ 虽满足 $(-1)^4=1$，但平方已经等于 $1$，所以不是本原四次单位根。

设 $\varepsilon_k=e^{2\pi ik/n}$，下标按除以 $n$ 的余数理解。则

因此 $n$ 次单位根对乘法和除法封闭；分母不可能为零，因为所有单位根的模都是 $1$。

$\varepsilon_k^m=1$ 当且仅当 $n$ 整除 $km$。若 $d$ 是 $k,n$ 的最大公约数，写 $k=dk',n=dn'$，则最小正整数 $m$ 为 $n'$，所以 $\varepsilon_k$ 本原当且仅当 $k,n$ 互素。这一判据只用于辨别单位根，不展开分圆多项式的不可约性理论。

从复数开方到一般多项式的根

本篇的开方处理 $z^n=w$；一般 $n$ 次复系数多项式也恰有 $n$ 个复根，按重数计。这由代数基本定理和因式定理得到；不是说每个多项式都有 $n$ 个互异根或实根。例如 $(x-i)^2$ 只有一个不同根 $i$，但重数为二。

多项式的根、重数与因式分解统一讲解根数、完全分解、共轭根及实因式分解；一般韦达关系给出完整的根与系数公式及证明。使用这些关系时，重根须重复计入，不能只列互异根。