空间垂直与射影

线面垂直：定义、判定和性质

空间中两条直线所成角为 $90^\circ$ 时，称它们垂直；两线可以相交，也可以异面。若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的每一条直线都垂直，就称 $l$ 垂直于 $\alpha$，记作 $l\perp\alpha$。直线与平面的交点称为垂足。

判定定理

若 $a,b\subseteq\alpha$ 是两条相交直线，且 $l\perp a,l\perp b$，则 $l\perp\alpha$。

设 $a,b$ 的方向向量为 $\mathbf u,\mathbf v$，$l$ 的方向向量为 $\mathbf w$。因为 $a,b$ 相交，$\mathbf u,\mathbf v$ 不共线，平面内任一方向都能表示成 $s\mathbf u+t\mathbf v$。于是

这正说明 $l$ 垂直平面内的所有方向。两条平行线只提供一个方向，不能替代判定中的两条相交直线。

两条常用性质

(1) 两条不同直线若垂直于同一个平面，则它们平行。

(2) 两条直线平行，且其中一条垂直于某平面，则另一条也垂直于该平面。

第一条来自平面法向方向的唯一性：若两个非零向量都垂直平面内的两个独立方向，它们必共线。第二条来自平行直线具有相同的方向，因此与平面内任意方向的数量积都为零。

面面垂直：定义、判定和性质

两个相交平面组成的二面角为直二面角时，称它们垂直。二面角的平面角由两个面内、同垂直于交线的射线构成。

判定： 一个平面含有另一个平面的垂线，则两平面垂直。设 $l\subseteq\alpha,l\perp\beta$，交线为 $c$。在 $\beta$ 内过垂足作 $c$ 的垂线 $m$；$l$ 本身也垂直 $c$，所以 $l,m$ 构成二面角的平面角，而 $l\perp m$，该角为直角。

性质： 若 $\alpha\perp\beta$，交线为 $c$，则 $\alpha$ 内垂直于 $c$ 的直线 $l$ 垂直于 $\beta$。因为 $l$ 垂直 $c$，又由直二面角垂直于 $\beta$ 内过交点且垂直 $c$ 的直线；线面垂直判定即得结论。

因此，过 $\alpha$ 内任意一点作 $\beta$ 的垂线，该垂线仍在 $\alpha$ 内：在 $\alpha$ 内先作 $c$ 的垂线，按上述性质它就是所求垂线。不能把这个结论误读为“$\alpha$ 内任意直线都垂直 $\beta$”。

三垂线定理的向量解释

设斜线段 $PA$ 到平面的正射影为 $OA$，其中 $PO$ 垂直平面。对平面内方向向量 $\mathbf u$，

故该方向垂直斜线当且仅当垂直其非零射影。若射影为零，则原线已垂直平面，应直接处理。