切比雪夫多项式与多倍角

递推定义与多倍角恒等式

令 $T_0(x)=1,T_1(x)=x$，对 $n\ge1$ 定义

由 $\cos((n+1)\theta)+\cos((n-1)\theta)=2\cos\theta\cos(n\theta)$，归纳得

前几项为 $T_2=2x^2-1$、$T_3=4x^3-3x$、$T_4=8x^4-8x^2+1$。递推定义使 $T_n$ 对所有实数或复数 $x$ 都有意义；用 $x=\cos\theta$ 作实角换元时，则只覆盖 $[-1,1]$。

次数、首项系数与奇偶性

对 $n\ge1$，$T_n$ 恰为 $n$ 次多项式，首项系数为 $2^{n-1}$。由 $T_1=x$ 开始归纳，$2xT_n$ 的次数为 $n+1$，而 $T_{n-1}$ 次数为 $n-1$，两者最高次项不可能相消，故次数升一、首项系数乘二。

递推还给出 $T_n(-x)=(-1)^nT_n(x)$。所以偶数下标对应偶多项式，奇数下标对应奇多项式。不能仅把两个多项式的次数取最大，就忽略乘上的 $x$ 或可能的抵消。

全部零点与实因式分解

对 $n\ge1$，令

这些角都在 $(0,\pi)$ 内，余弦严格递减，故 $x_k$ 互异；又 $T_n(x_k)=\cos((2k-1)\pi/2)=0$。因 $T_n$ 次数为 $n$，已找到全部根，且都是单根。因此

下标从 $1$ 到 $n$ 与角 $(2k-1)\pi/(2n)$ 配套；改变起止下标时必须同时改变表达式，否则可能重复或漏根。

正弦多倍角为什么要分奇偶

对正整数 $n$，由棣莫弗公式取虚部，得到有限和

当 $n$ 为奇数，余弦的指数都是偶数，可用 $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ 消去余弦，成为 $\sin\theta$ 的整系数多项式。更直接地，

这是把 $\sin\theta=\cos(\pi/2-\theta)$ 代入 $T_n$ 的恒等式得到的，所以次数确为 $n$。

当 $n$ 为偶数，每项的余弦指数均为奇数，提出一个 $\cos\theta$ 后，其余都可改写成 $\sin\theta$ 的多项式。括号内次数不超过 $n-1$，并且最高次系数为 $(-1)^{(n-2)/2}2^{n-1}$：展开各偶次余弦因子后，最高次项的符号相同，系数绝对值是奇数下标组合数之和。因此括号内次数恰为 $n-1$。

例如 $\sin4\theta=\cos\theta(4\sin\theta-8\sin^3\theta)$。这解释了偶数倍角不能普遍只用单个 $\sin\theta$ 的多项式表示。