不等式的性质与解法

不等式的基本性质与等价变形

以下变量均为实数。不等式变形必须同时考虑大小关系、符号和表达式的定义域。

乘以零会丢失原关系。乘以含未知数的式子时，要先确定其符号，或分类讨论。两边平方也不总等价，例如 $-3<2$，但 $9>4$；非负两边才可同平方保持方向。

为什么需要这些符号条件

若 $a-b>0$，则 $(a+c)-(b+c)=a-b>0$。乘以 $c$ 后的差为 $c(a-b)$，其正负由 $c$ 决定。对同向正值相乘，$ac>bc>bd$；若去掉正值条件，这条推理就不成立。取倒数的差为

当 $ab>0$ 时与 $a-b$ 异号。这也说明跨越零点时不能直接套用同号取倒数规则。

更一般地，在严格递增函数的定义区间内，同取该函数保持不等号；严格递减函数则反向。例如同取对数先要求两边为正，并区分底数大于 $1$ 还是介于 $0,1$。

多项式与分式的符号表

先因式分解，列出分子的零点和分母的零点，再按大小把实轴分段。每段内没有因子经过零点，符号不变，可选一点判断。奇数重因子跨过零点变号，偶数重因子不变号。

分子零点是否保留取决于严格或非严格不等号；分母零点始终排除。即使公因子约去，该点仍受原定义域限制。

绝对值不等式：按右侧常数完整分类

设 $u,c$ 为实数，利用 $|u|\ge0$，可得到下表。

依据。 $c>0$ 时，$|u|$ 是 $u$ 到零的距离；距离小于 $c$ 对应区间内部，距离大于 $c$ 对应两侧外部。也可以将 $u\ge0$ 和 $u<0$ 两种情况代入绝对值定义后取并集。$c\le0$ 的两列则直接由绝对值非负及 $|u|=0\iff u=0$ 得到。

例如 $|2x-1|<3$ 等价于 $-3<2x-1<3$，解得 $-1<x<2$。当 $u$ 是含未知数的表达式时，还须与该表达式的原定义域取交集。

参数可能使二次不等式降为一次

含参数的 $ax^2+bx+c\ge0$，先判断 $a=0$ 是否可能；若可能，应先按一次或常数不等式处理，再讨论 $a\ne0$ 的判别式。

例如 $ax^2+1>0$ 对所有实数 $x$ 成立。当 $a=0$ 时恒为 $1$，成立；$a>0$ 时至少为 $1$，成立；$a<0$ 时取足够大的 $|x|$ 就为负，不成立。因此答案为 $a\ge0$。若只写“开口向上且判别式小于零”，就会漏掉 $a=0$。