等差与等比数列

等差、等比数列的定义与基本公式

本页下标为正整数。等差数列的相邻项之差为固定常数 $d$；等比数列的各项非零，相邻项之比为固定非零常数 $q$。

等差数列允许 $d=0$，包括全零数列。等比数列允许 $q=1$ 或负公比，但按比值定义不允许某项为零。

通项公式的推导

等差数列中，把 $a_2-a_1=d,\ldots,a_n-a_{n-1}=d$ 相加，中间项相消，得 $a_n-a_1=(n-1)d$。

等比数列中，把 $a_2/a_1=q,\ldots,a_n/a_{n-1}=q$ 相乘，非零项依次约去，得 $a_n/a_1=q^{n-1}$。两种公式在 $n=1$ 时也成立。

等差求和：倒序相加

将同一个和按两个方向写出：

第 $k$ 列两项之和为 $a_k+a_{n+1-k}=2a_1+(n-1)d=a_1+a_n$。共有 $n$ 列，故 $2S_n=n(a_1+a_n)$。

等比求和：错位相减

写出 $S_n=a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}$ 和 $qS_n=a_1q+\cdots+a_1q^n$，相减得

$q\ne1$ 时可除以 $1-q$，得到表中公式。$q=1$ 时每项均为 $a_1$，直接相加得到 $na_1$；不能在分母为零时使用商式。

等差中项与等比中项

三个数 $a,b,c$ 成等差数列，当且仅当 $2b=a+c$。此时 $b$ 为 $a,c$ 的等差中项。

三个非零实数 $a,b,c$ 成等比数列，当且仅当 $b^2=ac$。因为 $b/a=c/b$ 等价于 $b^2=ac$。给定 $a,c$ 时，存在实等比中项须 $ac>0$，两个可能值为 $\pm\sqrt{ac}$；额外限定中项为正时才只取正根。

线性组合、前项和判定与两数列的比

若两等差数列 $a_n,b_n$ 的公差为 $d_a,d_b$，实数 $u,v$ 固定，则 $ua_n+vb_n$ 仍为等差数列，公差为 $ud_a+vd_b$。证明只需计算相邻差：

一个数列为等差数列，当且仅当存在实数 $A,B$，使其前 $n$ 项和对所有正整数 $n$ 满足 $S_n=An^2+Bn$。允许 $A=B=0$。正向由求和公式得到；反向令 $S_0=0$，则对 $n\ge1$，

相邻差恒为 $2A$。因此 $S_n$ 可能是二次、一次函数，也可能恒为零，不能一律称为二次函数。

设两等差数列的前项和分别为 $S_n,T_n$。由首尾配对，

当 $b_m\ne0$ 时，$T_{2m-1}\ne0$，于是

等差数列奇数项数的和等于“项数乘中间项”；偶数项数 $2m$ 时则为 $S_{2m}=m(a_m+a_{m+1})$。这两种形式都来自每对首尾项之和相同。