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直线方程、夹角与距离

基础更新于 2026-09-29

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直线的代数表示应与题目给出的几何信息相匹配，尤其要保留竖直直线。

倾斜角与斜率不能跨断点直接比较

直线的倾斜角取 $\alpha\in[0,\pi)$ ；非竖直直线的斜率为 $k=\tan\alpha$ ，竖直直线的斜率不存在。 $\tan\alpha$ 在 $[0,\pi/2)$ 与 $(\pi/2,\pi)$ 上分别递增，但不能跨过 $\pi/2$ 排大小。例如 $\pi/3<2\pi/3$ ，对应斜率却有 $\sqrt3>-\sqrt3$ 。

若斜率 $k\le-1$ ，则倾斜角属于 $(\pi/2,3\pi/4]$ ；竖直方向不能因“比任意斜率大”而加进来。由两点求直线时，先看横坐标是否相同；若相同，直接写 $x=x_0$ ，避免分母为零。

直线方程的七种形式

根据给定的点、方向、截距选择方程。表中各项的条件属于公式的一部分。

形式	方程	条件或含义
一般式	$Ax+By+C=0$	$A,B$ 不全为零
点斜式	$y-y_0=k(x-x_0)$	斜率存在
斜截式	$y=kx+b$	$b$ 为纵截距
截距式	$x/a+y/b=1$	$ab\ne0$ ，不包括过原点及平行坐标轴的线
两点式	$(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$	两分母均非零；通用式为 $(x-x_1)(y_2-y_1)=(y-y_1)(x_2-x_1)$ ，两点须不同
法线式	$x\cos\theta+y\sin\theta=p$	$(\cos\theta,\sin\theta)$ 为单位法向量，原点距离为 $\lvert p\rvert$
单位方向参数式	$x=x_0+t\cos\alpha,\ y=y_0+t\sin\alpha$	$t\in\mathbb R$ 是沿选定方向的有向距离，非笼统的“向上为正”

参数式与两点式的依据

直线经过 $P_0(x_0,y_0)$ 、方向向量为 $(u,v)\ne(0,0)$ 时，任意点的位移是方向向量的实数倍，故

x=x_0+tu,\qquad y=y_0+tv\qquad(t\in\mathbb R).

消去参数得到 $v(x-x_0)-u(y-y_0)=0$ 。方向向量为单位向量时， $t$ 恰是沿该方向的有向距离。取 $(u,v)=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ 得无分母的两点式；它也适用于水平、竖直方向，并包含两个端点。不能随意除以含动点坐标的因子，否则可能遗漏端点。

直线的方向与一般方程

平面内直线的一般方程为

Ax+By+C=0,\qquad A^2+B^2>0.

其中 $\mathbf n=(A,B)$ 是法向量， $\mathbf v=(B,-A)$ 是一个方向向量。任取直线上两点，相减其方程得 $A\Delta x+B\Delta y=0$ ，所以连线方向与 $\mathbf n$ 垂直。

$B\ne0$ 时，可化为 $y=-(A/B)x-C/B$ ，斜率为 $-A/B$ ； $B=0$ 时为竖直线 $x=-C/A$ ，斜率不存在。一般式同时涵盖这两种情况。

平行、重合与垂直

设两条直线为 $A_jx+B_jy+C_j=0$ ， $A_j^2+B_j^2>0$ ， $j=1,2$ 。

$A_1B_2-A_2B_1\ne0$ ：方向不平行，两线有唯一交点。
$A_1B_2-A_2B_1=0$ ：两线平行或重合；还须比较常数项确定是否同一条线。
两线垂直，当且仅当 $A_1A_2+B_1B_2=0$ 。

若两条斜率都存在，则垂直条件化为 $k_1k_2=-1$ 。水平线与竖直线也垂直，但不能用两个有限斜率的乘积表示。

点到直线的距离及证明

点 $P=(x_0,y_0)$ 到上述直线的距离为

d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.

取直线上任意一点 $Q=(u,v)$ ，有 $Au+Bv=-C$ 。把 $\overrightarrow{QP}$ 投影到单位法向量上，再取绝对值，得

d=\frac{|A(x_0-u)+B(y_0-v)|}{\sqrt{A^2+B^2}} =\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.

因此距离与所选 $Q$ 无关。分子为零时点在直线上，距离为零。

一般式下的平行、重合与夹角

设两直线为 $A_ix+B_iy+C_i=0$ ， $i=1,2$ ，各自的法向量非零。记

D=A_1B_2-A_2B_1.

$D\ne0$ 时相交； $D=0$ 时平行或重合。重合当且仅当另外两个式子 $A_1C_2-A_2C_1$ 、 $B_1C_2-B_2C_1$ 也都为零；平行不重合则要求这两个式子至少一个非零。

例如 $y=0$ 与 $y=1$ 平行，虽然 $A_1C_2-A_2C_1=0$ ，却有 $B_1C_2-B_2C_1\ne0$ 。因此不能只用前一个非零条件作为一般式的完整平行判据。

较小夹角 $\theta\in[0,\pi/2]$ 满足

\cos\theta=\frac{|A_1A_2+B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}.

两斜率存在且 $1+k_1k_2\ne0$ 时， $\tan\theta=|(k_2-k_1)/(1+k_1k_2)|$ 。分母为零表示垂直，夹角为 $\pi/2$ 。有向转角的正切可不加绝对值，但它只确定模 $\pi$ 的角，需要另行约定方向。

法线式与有向距离

取单位法向量 $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ ，则直线可写

x\cos\alpha+y\sin\alpha=p.

两侧同乘 $-1$ 可使 $p\ge0$ ，此时 $p$ 是原点到直线的距离。最近点为 $(p\cos\alpha,p\sin\alpha)$ ：它在直线上，且原点到它的方向垂直于直线。

给定 $Ax+By+C=0$ ，先除以 $\sqrt{A^2+B^2}$ ，必要时改变符号，即可得到法线式。点 $(u,v)$ 的有向距离为 $u\cos\alpha+v\sin\alpha-p$ ，通常距离取其绝对值。若 $p=0$ ，两个相反单位法向量都可选，方向并不唯一。

两点距离、平行线距离与半平面

直角坐标系中，两点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ 的距离由勾股定理给出：

|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.

两条平行线先将法向量化为相同的非零向量 $(A,B)$ ，写为 $Ax+By+C_1=0$ 和 $Ax+By+C_2=0$ ，则

d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}.

证明：任取第一条线上的点 $(u,v)$ ，代入点线距离公式，利用 $Au+Bv=-C_1$ 即得。 $C_1=C_2$ 时两线重合，距离为零。

$Ax+By+C>0$ 与 $Ax+By+C<0$ 表示边界直线两侧的开半平面，改为非严格不等式则包含边界。若 $B>0$ ，正号对应直线上方；若 $B<0$ ，方向相反；若 $B=0$ ，应比较左右。其依据是将不等式解成 $y$ 或 $x$ 的范围，并在除以负数时反向。

点关于一般直线的反射公式

设直线 $l:Ax+By+C=0$ ， $A^2+B^2>0$ ，点 $P=(u,v)$ 。垂足沿法向量 $(A,B)$ 移动，可设 $H=P-t(A,B)$ 。代入直线得

t=\frac{Au+Bv+C}{A^2+B^2}.

由于 $H$ 是 $P$ 与其对称点 $P'$ 的中点，

P'=P-2\frac{Au+Bv+C}{A^2+B^2}(A,B).

例如点 $(3,1)$ 关于 $x+y-2=0$ 的对称点为 $(1,-1)$ 。其连线斜率为 $1$ ，垂直于原直线，且中点 $(2,0)$ 在原直线上。这两个几何条件也是复核结果的方法。关于 $y$ 轴的对称点为 $(-u,v)$ ，第二坐标不变。

例

点 $(1,2)$ 到 $3x+4y-6=0$ 的距离为 $|3+8-6|/5=1$ 。过该点且垂直原直线的直线方向为 $(3,4)$ ，方程为 $4(x-1)-3(y-2)=0$ 。

易错点

两直线夹角通常取较小的非负角，可用单位方向向量内积的绝对值求余弦。方向相反的向量不表示两条直线夹角为 $\pi$ 。

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先修：数量积、夹角与投影 · 方程、方程组与换元。

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