优超、卡拉玛塔与三元米尔黑德

卡拉玛塔与有限证明

若 $f$ 在包含所有 $x_i,y_i$ 的同一区间凸，且 $x\succeq y$，则 $\sum f(x_i)\ge\sum f(y_i)$。

记 $t_+=\max(t,0)$。对任意实数 $t$，有

因此优超直接给出 $\sum(x_i-t)_+\ge\sum(y_i-t)_+$。

再把所有出现的取值从小到大列为有限节点。在这些节点间用直线连接 $f$ 的值；凸性保证相邻线段斜率不减。因此这个折线函数可写成 $a+bu+\sum_j c_j(u-t_j)_+$，其中 $c_j\ge0$ 是各内部节点的斜率增量。在所有待比较取值上，折线与 $f$ 相等；常数项和一次项的和相消，各折点项由前一不等式比较，得证。只有一个节点时结论直接相等。

等号条件

凹函数的不等号反向。对一般凸函数，以上证明也给出准确的等号判据：在每个斜率增量 $c_j>0$ 的内部节点 $t_j$，都必须有

斜率增量为零的节点不增加限制。例如 $f(u)=u$ 时没有正的斜率增量，所有同和数列均取等。

若 $f$ 严格凸，等号当且仅当两组数排序后逐项相同。为证明必要性，假设两组排序后不同，取第一个不同的位置 $k$。优超条件给 $x_k>y_k$。令 $t=y_k$，则

这里 $i<k$ 的两组数相同，$i\ge k$ 的 $y_i\le t$，保证严格不等式。因总和相同，必还有某个 $x_i<t$；又 $x_k>t$，所以 $t$ 是全部取值中的内部节点。严格凸保证该处的相邻割线斜率严格增加，即 $c_j>0$，于是整个函数和之差严格为正，不能取等。充分性直接成立。

两次平均化给出三元证明

固定 $x,y>0$ 和指数和 $s$。若把一对指数向平均值靠拢，则 $x^uy^{s-u}+x^{s-u}y^u$ 不增。证明：写原两个正项为 $X,Y$，平衡后的两个项可表示成 $X^\lambda Y^{1-\lambda}$、$X^{1-\lambda}Y^\lambda$，$0\le\lambda\le1$，各用加权均值后相加至多为 $X+Y$。将对称和按其余变量的指数配对，得到对称和也不增。

还需说明优超允许这样的步骤。记原指数为 $a\ge b\ge c$，目标为 $u\ge v\ge w$，其中 $a\ge u,c\le w$ 且和相同。若 $u\ge b$，先把 $(a,b)$ 平衡成 $(u,a+b-u)$，再把 $(a+b-u,c)$ 平衡成 $(v,w)$。若 $u<b$，先把 $(a,c)$ 平衡成 $(u,a+c-u)$，再把 $(b,a+c-u)$ 平衡成 $(v,w)$。各步目标值都位于原一对数之间，且和保持，故上述二项结论可连续应用，完成证明。

若排序后的指数不同，至少一步是真正的平均化：两个原指数不同，且 $0<\lambda<1$。加权均值的等号要求该对正项 $X=Y$。六项对称和中，这两个不同指数会分别配到任意一对变量；若变量不全相同，至少一对变量不等，使相应的 $X\ne Y$，该步严格下降。因此正变量时只有 $x=y=z$ 可以取等。