柯西的加权形式与反向估计

通常的柯西给下界。变量额外受正区间限制时，可以再给上界；这种额外条件是反向估计成立的原因。

带权重的两种常用形式

若 $w_i>0$ 、 $u_i,v_i\in\mathbb R$ ，令柯西中的两组为 $\sqrt{w_i}u_i$ 与 $v_i/\sqrt{w_i}$ ，得到

\left(\sum u_iv_i\right)^2\le\left(\sum w_iu_i^2\right)\left(\sum\frac{v_i^2}{w_i}\right).

两组向量线性相关时取等，包括其中一组全零。若 $x_i>0,y_i\ge0$ ，并且 $\sum y_i>0$ ，再取两组 $\sqrt{x_iy_i}$ 与 $\sqrt{y_i/x_i}$ ，得

\sum\frac{y_i}{x_i}\ge\frac{(\sum y_i)^2}{\sum x_iy_i}.

等号要求所有 $y_i>0$ 所对应的 $x_i$ 相同； $y_i=0$ 的位置不施加该要求。不能将 $y_i\ge0$ 改成任意实数。

康托洛维奇：同时控制上下界

设 $0<m\le x_i\le M$ 。由 $(x_i-m)(x_i-M)\le0$ ，得 $x_i+mM/x_i\le m+M$ 。记 $U=\sum x_i,V=\sum1/x_i$ ，则

2\sqrt{mMUV}\le U+mMV\le n(m+M).

平方后结合柯西给出

n^2\le UV\le\frac{(m+M)^2}{4mM}n^2.

下界取等当且仅当所有 $x_i$ 相同。上界在 $m=M$ 时自动取等； $m<M$ 时要求每个 $x_i\in\{m,M\}$ 且 $U=mMV$ ，即两端点各占一半，因而等权情形需要 $n$ 为偶数。

阿克塞尔：一个正项减若干平方

设实数列满足 $a_1^2>\sum_{i=2}^n a_i^2$ 、 $b_1^2>\sum_{i=2}^n b_i^2$ 。则

\left(a_1b_1-\sum_{i=2}^n a_ib_i\right)^2\ge\left(a_1^2-\sum_{i=2}^n a_i^2\right)\left(b_1^2-\sum_{i=2}^n b_i^2\right).

整体改变一组数的符号不影响结论，可设 $a_1,b_1>0$ 。令 $A=(\sum_{i=2}^n a_i^2)^{1/2}$ ， $B=(\sum_{i=2}^n b_i^2)^{1/2}$ 。柯西给 $\sum_{i=2}^n a_ib_i\le AB$ ，且 $a_1b_1-AB>0$ 。再由恒等式

(a_1b_1-AB)^2-(a_1^2-A^2)(b_1^2-B^2)=(a_1B-b_1A)^2\ge0

得证。等号要求整组 $(a_1,\ldots,a_n)$ 与 $(b_1,\ldots,b_n)$ 成比例；允许比例为负。

例与适用边界

若 $1\le x_i\le4$ ，则 $n^2\le(\sum x_i)(\sum1/x_i)\le25n^2/16$ 。当 $n=4$ ，取 $(1,1,4,4)$ ，乘积为 $10\cdot(5/2)=25$ ，达到上界。

如果只有 $x_i>0$ 而没有共同的正下界及有限上界，则这种统一常数不存在：两变量取 $(t,1)$ ，乘积为 $t+2+1/t$ ，可以任意大。

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带权重的两种常用形式

若

w_i>0

、

u_i,v_i\in\mathbb R

，令柯西中的两组为

\sqrt{w_i}u_i

与

v_i/\sqrt{w_i}

，得到

\left(\sum u_iv_i\right)^2\le\left(\sum w_iu_i^2\right)\left(\sum\frac{v_i^2}{w_i}\right).

两组向量线性相关时取等，包括其中一组全零。若

x_i>0,y_i\ge0

，并且

\sum y_i>0

，再取两组

\sqrt{x_iy_i}

与

\sqrt{y_i/x_i}

，得

\sum\frac{y_i}{x_i}\ge\frac{(\sum y_i)^2}{\sum x_iy_i}.

等号要求所有

y_i>0

所对应的

x_i

相同；

y_i=0

的位置不施加该要求。不能将

y_i\ge0

改成任意实数。

康托洛维奇：同时控制上下界

设

0<m\le x_i\le M

。由

(x_i-m)(x_i-M)\le0

，得

x_i+mM/x_i\le m+M

。记

U=\sum x_i,V=\sum1/x_i

，则

2\sqrt{mMUV}\le U+mMV\le n(m+M).

平方后结合柯西给出

n^2\le UV\le\frac{(m+M)^2}{4mM}n^2.

下界取等当且仅当所有

x_i

相同。上界在

m=M

时自动取等；

m<M

时要求每个

x_i\in\{m,M\}

且

U=mMV

，即两端点各占一半，因而等权情形需要

n

为偶数。

阿克塞尔：一个正项减若干平方

设实数列满足

a_1^2>\sum_{i=2}^n a_i^2

、

b_1^2>\sum_{i=2}^n b_i^2

。则

\left(a_1b_1-\sum_{i=2}^n a_ib_i\right)^2\ge\left(a_1^2-\sum_{i=2}^n a_i^2\right)\left(b_1^2-\sum_{i=2}^n b_i^2\right).

整体改变一组数的符号不影响结论，可设

a_1,b_1>0

。令

A=(\sum_{i=2}^n a_i^2)^{1/2}

，

B=(\sum_{i=2}^n b_i^2)^{1/2}

。柯西给

\sum_{i=2}^n a_ib_i\le AB

，且

a_1b_1-AB>0

。再由恒等式

(a_1b_1-AB)^2-(a_1^2-A^2)(b_1^2-B^2)=(a_1B-b_1A)^2\ge0

得证。等号要求整组

(a_1,\ldots,a_n)

与

(b_1,\ldots,b_n)

成比例；允许比例为负。