2019年浙江大学自主招生数学试卷 · 参考解答

本目录无对应源文件，以下对现有题面进行合理性核查；教学补全与改编另作校注。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$1/2$	9	$i$
2	$7$	10	$11$
3	$y^2=2ax-a^2$；$a^2$	11	$8$
4	$193/512$	12	$972$
5	$-1$	13	$(2n-1)2^{n-1}$；$2^{2019}$
6	无整数根；可以有实根	14	$(2+\sqrt2)/4$
7	$13$	15	$4$ 个
8	当且仅当 $3\mid n$；后一种不存在	16	$x^2/q^2-y^2/(p^2-q^2)=1$，$x>q$

逐题解析

第 1 题

题目

$\alpha=\pi/7$，求 $\cos\alpha-\cos2\alpha+\cos3\alpha$。

解答

将所求乘以 $2\sin\alpha$，用积化和差得到

$$\sin2\alpha-(\sin3\alpha-\sin\alpha)+(\sin4\alpha-\sin2\alpha)=\sin\alpha.$$

这里 $4\alpha=\pi-3\alpha$。因 $\sin\alpha\ne0$，所求为 $1/2$。

第 2 题

题目

【明确样本】$a_1,a_2,a_3,a_4$ 独立地等可能取自 $S=\{1,2,3,4\}$。若 $|a_1-a_3|+|a_2-a_4|$ 的数学期望为最简分数 $q/p$，求 $p+q$。

解答

题面校注： 明确四次独立等可能取值，平均数即对全部 $4^4$ 个有序结果取平均。

对两个独立均匀变量 $U,V$，差的绝对值为 $1,2,3$ 的有序数对分别有 $6,4,2$ 个，故

$$E|U-V|=\frac{6+2\cdot4+3\cdot2}{16}=\frac54.$$

所求和的期望为 $5/2$，最简分数给出 $p+q=2+5=7$。

第 3 题

题目

【教学改编】设 $a>0$，动圆过定点 $A(a,0)$ 且与 $y$ 轴相切。（1）求圆心 $C$ 的轨迹方程；（2）过 $A$ 的直线与该轨迹交于两个不同点 $C_1,C_2$，对应动圆半径为 $r_1,r_2$，求 $r_1r_2$ 的最小值及取等条件。

解答

题面校注： 原题只规定圆心到 $y$ 轴的距离为 $2a$，圆心只能在两条竖直直线上，无法得到所列三种圆锥曲线。教学版改为“动圆与 $y$ 轴相切”，并增加半径乘积极值问。

设圆心为 $(x,y)$、半径为 $r$。相切给出 $r=|x|$，过 $A$ 给出 $(x-a)^2+y^2=x^2$，即

$$y^2=2ax-a^2.$$

该方程自动保证 $x\ge a/2>0$，故每一点确实对应半径为 $x$ 的非退化圆，轨迹为抛物线。

能与轨迹有两个有限交点的过 $A$ 直线均可写为 $x=a+ty$。代入得到 $y^2-2aty-a^2=0$，判别式恒正，且 $y_1+y_2=2at,y_1y_2=-a^2$。因此

$$r_1r_2=(a+ty_1)(a+ty_2)=a^2(1+t^2)\ge a^2.$$

等号在 $t=0$，即直线 $x=a$ 时取得，两圆心为 $(a,\pm a)$。

第 4 题

题目

均匀硬币抛 $10$ 次，求正面朝上次数多的概率。

解答

“正面次数多”指正面多于反面。正反对称，除去五正五反的平局，所求概率为

$$\frac12\left(1-\frac{\binom{10}5}{2^{10}}\right)=\frac{193}{512}.$$

第 5 题

题目

$x^2+y^2+z^2=1$，求 $\sqrt3xy+yz$ 的最小值。

解答

由柯西不等式，$|\sqrt3x+z|\le2\sqrt{x^2+z^2}=2\sqrt{1-y^2}$，故

$$y(\sqrt3x+z)\ge-2|y|\sqrt{1-y^2}\ge-1.$$

最后一步由 $y^2+(1-y^2)\ge2\sqrt{y^2(1-y^2)}$。取 $(x,y,z)=(-\sqrt3/(2\sqrt2),1/\sqrt2,-1/(2\sqrt2))$ 同时取等，最小值为 $-1$。

第 6 题

题目

【规范记号】$P(x)$ 为整系数多项式，且 $P(0),P(1)$ 均为奇数。证明 $P(x)=0$ 没有整数根，并判断是否必然没有实数根。

解答

整数 $k$ 为偶数时，$P(k)\equiv P(0)\equiv1\pmod2$；为奇数时，$P(k)\equiv P(1)\equiv1\pmod2$。所以所有整数处的值都是奇数，不会为零。

不能据此断言没有实根。例如 $P(x)=x^2+x-1$ 在 $0,1$ 处分别为 $-1,1$，却有两实根 $(-1\pm\sqrt5)/2$。原选择题中的正确结论是 A；教学版将含混的“无解”改成明确的实根判断。

第 7 题

题目

【明确精度】在所有恰保留三位小数的数 $3.abc$ 中，最接近 $\sqrt{11}$ 的数，求 $a+b+c$。

解答

题面校注： “所有小数”中不存在最接近某个无理数的有限小数，故明确为保留三位小数的数。

由于 $3.3165^2=10.99917225<11<11.00580625=3.3175^2$，$\sqrt{11}$ 落在以 $3.317$ 为中心、半径 $0.0005$ 的区间内。因此最近者为 $3.317$，$a+b+c=3+1+7=13$。

第 8 题

题目

$n\in\mathbb N^*$。证明 $7\mid2^n-1$ 当且仅当 $3\mid n$，并判断是否存在 $n$ 使 $7\mid2^n+1$。

解答

$2^1,2^2,2^3$ 模 $7$ 分别为 $2,4,1$，以后每三项重复。因此余数为 $1$ 当且仅当指数为 $3$ 的倍数。所有余数中没有 $-1\equiv6\pmod7$，故 $7\mid2^n+1$ 不可能成立。原选择题只有 B 正确。

第 9 题

题目

$|z_1|=|z_2|=1$，$z_1\ne z_2$，且 $|z_k+1+i|+|z_k-1-i|=2\sqrt3$（$k=1,2$），求 $z_1z_2$。

解答

写 $z=x+iy$，有 $x^2+y^2=1$。到两个焦点 $\pm(1+i)$ 的距离平方分别为 $3\mp2(x+y)$。将距离和 $2\sqrt3$ 平方，得到两距离之积为 $3$；再次平方得到

$$9-4(x+y)^2=9,$$

故 $x+y=0$。与单位圆相交恰有两个点 $z=\pm(1-i)/\sqrt2$，且二者均满足原条件。因此 $z_1z_2=-(1-i)^2/2=i$。

第 10 题

题目

$x>1$，$x^2+x^{-2}=3$，求 $x^5-x^{-5}$。

解答

$(x-x^{-1})^2=3-2=1$，由 $x>1$ 取 $x-x^{-1}=1$。对 $u=x,v=x^{-1}$，有 $uv=1$，故

$$u^5-v^5=(u-v)^5+5uv(u-v)^3+5u^2v^2(u-v)=11.$$

第 11 题

题目

点 $(a,b)$ 在椭圆 $x^2/4+y^2/3=1$ 上，求 $2a+3b+4$ 的最大值与最小值之和。

解答

令 $a=2\cos t,b=\sqrt3\sin t$，则 $2a+3b=4\cos t+3\sqrt3\sin t$ 的值域为 $[-\sqrt{43},\sqrt{43}]$。加上 $4$ 后，两极值之和为 $8$。

第 12 题

题目

将 $19$ 表示为若干正整数之和，求这些正整数乘积的最大值。

解答

最优分拆不含 $1$：将 $1$ 合并到另一项可增加乘积。若某项 $k\ge5$，把它拆为 $3+(k-3)$，因 $3(k-3)>k$，乘积增加。$4$ 可等价拆为两个 $2$；三个 $2$ 则可换成两个 $3$，乘积由 $8$ 增至 $9$。

因此最优分拆只含 $2,3$，其中 $2$ 至多两个。因 $19\equiv1\pmod3$，必须恰有两个 $2$，其余五个 $3$。最大乘积为 $2^2\cdot3^5=972$。

第 13 题

题目

【补全记号】数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=1$，且对所有 $n\ge1$ 有 $S_{n+1}=4a_n+3$。求通项公式及 $a_{2019}-2a_{2018}$。

解答

题面校注： 明确 $S_n$ 为前 $n$ 项和，不修改已有递推公式。

取 $n=1$ 得 $a_2=6$。相邻两式相减，得 $a_{n+1}=4a_n-4a_{n-1}$（$n\ge2$）。令 $b_n=a_n/2^{n-1}$，则 $b_{n+1}-b_n=b_n-b_{n-1}$。由 $b_1=1,b_2=3$，得 $b_n=2n-1$，即 $a_n=(2n-1)2^{n-1}$。于是

$$a_{2019}-2a_{2018}=(4037-4035)2^{2018}=2^{2019}.$$

第 14 题

题目

定义在 $\mathbb R$ 上的偶函数 $f$ 满足 $f(x+1)=\frac12+\sqrt{f(x)-f^2(x)}$，求 $f(121/2)$。

解答

题设对所有实数成立，故 $1/2\le f(x)\le1$。令 $u=f(1/2)=f(-1/2)$，代入 $x=-1/2$ 得 $u=1/2+\sqrt{u-u^2}$。在 $u\ge1/2$ 下平方，得 $2u^2-2u+1/4=0$，所以 $u=(2+\sqrt2)/4$。

此值是变换 $T(t)=1/2+\sqrt{t-t^2}$ 的不动点，因此反复用递推式，$f(121/2)=f(1/2)=u$。常值函数 $f\equiv u$ 满足全部条件，说明条件相容。

第 15 题

题目

实参数 $a$ 满足：$p,q$ 是 $x^2+6x+5a-a^2=0$ 的两根，且 $q+8p=p^3$，问 $a$ 有多少个可能值。

解答

由 $q=-6-p$，条件成为 $p^3-7p+6=(p-1)(p-2)(p+3)=0$。依次得到 $p=1,2,-3$，对应 $pq=-7,-16,9$。

因 $pq=5a-a^2$，前两种分别给出 $a=(5\pm\sqrt{53})/2$ 和 $a=(5\pm\sqrt{89})/2$；第三种的判别式 $25-36<0$，没有实数 $a$。四个实数彼此不同，每个都能配出相应的 $p,q$，所以共 $4$ 个。这里按实参数 $a$ 理解题面。

第 16 题

题目

非退化三角形 $ABC$ 的顶点为 $A(-p,0),B(p,0)$，内心在直线 $x=q$ 上，其中 $p>q>0$。求顶点 $C$ 的轨迹方程，并明确所取分支及应排除的点。

解答

设 $C=(x,y)$，$u=CA,v=CB$，则 $y\ne0$，且 $u^2-v^2=4px$。内心横坐标是按对边长加权的平均：

$$x_I=\frac{-pv+pu+2px}{u+v+2p} =\frac{(u-v)(p+(u+v)/2)}{u+v+2p}=\frac{u-v}{2}.$$

所以条件等价于 $CA-CB=2q$。焦距为 $2p$、实半轴为 $q$，得到双曲线右支

$$\frac{x^2}{q^2}-\frac{y^2}{p^2-q^2}=1,\qquad x>q.$$

严格不等式排除了顶点 $(q,0)$，其余点均有 $y\ne0$，形成非退化三角形，并由上述恒等式使内心横坐标为 $q$，故没有多取或漏取。