2022年中国科学技术大学强基计划数学试题 · 参考解答

单页回忆材料的第 1 题公式不可判读成成立的数学条件，第 5 题原结论平凡成立；两题已显式沿原主题另拟为教学题，其余三题按原题面求解。

答案速览

题号	答案
1	最大面积 $\sqrt3/4$，$b=c=1$（编拟）
2	$2$
3	（1）$q>27p^4/256$；（2）$q=0$
4	$22/45$
5	轴平行闭矩形具有两两相交即整体相交的性质（编拟）

逐题解析

第 1 题

题目

【教学编拟：源页公式无法构成可解条件】在非退化三角形 $ABC$ 中，$a=1$ 且 $b+c=2$。求三角形面积的最大值，并给出取等条件。

解答

教学编拟说明： 源页可见的 $A=2\sqrt{BC}$ 与 $a=b(b+c)=1$ 混用角、线段记号且条件互相难以解释，不能据此唯一求面积。教学版保留三角形、边长 $a=1$ 的背景，明确另拟 $b+c=2$ 并求面积最大值。

半周长 $s=(1+2)/2=3/2$。海伦公式给出

$$\Delta^2=s(s-a)(s-b)(s-c) =\frac34\left(\frac32-b\right)\left(\frac32-c\right).$$

最后两因子之和为 $1$，由均值不等式其积至多 $1/4$，所以 $\Delta\le\sqrt3/4$。等号要求 $b=c=1$，即边长均为 $1$ 的非退化等边三角形，确满足条件。

第 2 题

题目

已知 $m,n\in\mathbb N^*$，求 $m(n+9)(2n^2+m+9)$ 的不同素因子个数的最小值，并给出实现它的 $m,n$。

解答

题面校注： “素因子个数”可指按重数或不按重数计数，教学版明示计不同素因子的个数。

假设乘积只含一个不同素因子 $r$。三个正整数因子 $m,n+9,2n^2+m+9$ 都必须是 $r$ 的幂，允许 $m=1$。若 $r$ 是奇素数，则 $n+9$ 为奇数，故 $n$ 为偶数；$m$ 为奇数，而 $2n^2+m+9$ 为偶数，矛盾。故 $r=2$。此时 $n+9$ 为偶数，$n$ 为奇数；若 $m$ 为偶数，则第三因子为奇数，矛盾，所以 $m=1$。但奇数平方模 $8$ 余 $1$，故第三因子 $2n^2+10\equiv12\pmod{16}$，不可能是 $2$ 的幂。一个素因子不可能。

取 $m=1,n=7$，乘积为 $16\cdot108=2^6\cdot3^3$，恰含 $2,3$ 两个不同素因子，故最小值为 $2$。

第 3 题

题目

已知 $f(x)=x^4+px^3+q$。

(1) 求 $p,q$ 满足什么条件时 $f(x)>0$ 恒成立；

(2) 若存在 $a_1,a_2,a_3,a_4\in\mathbb R$，使 $f(x)=\prod_{i=1}^4(x-a_i)$，求 $p,q$ 满足的条件。

解答

导数为 $f'(x)=x^2(4x+3p)$。不论 $p$ 正负，$x=-3p/4$ 是全局最小点；$x=0$ 只是导数为零而单调性不变的驻点。代入得到

$$f(-3p/4)=q-\frac{27p^4}{256}.$$

当 $p=0$ 时最小点也为 $0$，公式仍成立。因此 $f(x)>0$ 对所有实数 $x$ 成立当且仅当 $q>27p^4/256$。

若 $q=0$，$f(x)=x^3(x+p)$，四个根按重数计全为实数。反过来，若 $q\ne0$，$0$ 不是根。函数仅有一个真正的局部极值，因而最多有两个不同实根；要按重数共有四个实根，必须出现重根。非零重根只能在 $-3p/4$，此时全局最小值为 $0$，函数在其他点严格为正，所以该根仅有二重，剩下两根非实。若 $p=0$，$x^4+q$ 也不能在 $q\ne0$ 时有四个实根。故第二问等价于 $q=0$。

第 4 题

题目

$90$ 名学生参加面试，来自 $A,B,C$ 三校，其中分别有 $20,30,40$ 人。每次从尚未面试的学生中随机抽取一人，面试完毕后再抽取下一人。求 $A$ 校学生先于另外两校学生全部完成面试的概率。

解答

把随机面试顺序视为 $90$ 人的均匀随机排列。设 $T_A,T_B,T_C$ 分别为三校最后一人出现的位置。要求 $T_A<T_B$ 且 $T_A<T_C$。用补集和容斥：在 $A\cup B$ 的 $50$ 人中，最后一人属 $A$ 的概率是 $20/50$；在 $A\cup C$ 的 $60$ 人中，最后一人属 $A$ 的概率是 $20/60$。两个事件同时发生，等价于全部 $90$ 人中最后一人属 $A$，概率为 $20/90$。因此

$$P(T_A<T_B,T_A<T_C) =1-\frac{20}{50}-\frac{20}{60}+\frac{20}{90} =\frac{22}{45}.$$

第 5 题

题目

【教学编拟：源页结论恒平凡成立】平面上有有限个边平行于坐标轴的闭矩形，其中任意两个矩形都有公共点。证明所有矩形有公共点；并举出三个任意方向的闭矩形两两相交却无公共点的例子。

解答

教学编拟说明： 源页的矩形编号既有漏项，又要用另两个矩形覆盖三个矩形的交集；直接取其中一个原矩形即可，不能构成有内容的证明题。教学版改为同主题的轴平行矩形交性质，并要求指出方向条件的必要性。

把第 $j$ 个闭矩形写为 $[a_j,b_j]\times[c_j,d_j]$。任意两个矩形相交，意味着所有横坐标区间两两相交、所有纵坐标区间两两相交。对实数闭区间，两两相交推出 $\max_j a_j\le\min_j b_j$：选最大左端点所属区间，它与每一个区间相交，故最大左端点不超过每个右端点。同理 $\max_j c_j\le\min_j d_j$。任选这两个公共区间中的横、纵坐标，便得到所有矩形的公共点。

若允许任意方向，取一个非退化等边三角形的三条边，分别作足够薄的闭长方形带，长方形包含对应整条边。相邻两带都含它们的公共顶点，因此两两相交；由于原三条边没有共同点，且边段均为紧集，厚度取得充分小后，三带不可能有公共点。这给出方向条件不可删的例子。