2021年中国科学技术大学强基计划数学试题-通用卷 · 参考解答

源页第 2、3 题只写“实数”，参考答案却按正数求解。教学版明示正数条件；第 2 题即使如此，源答案与根号也不一致。第 1 题明确闭区间，第 9 题补明正整数指数、非零及至少一个非常数条件，具体见各题校注。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$4$（闭区间版）	6	$\sqrt3/36$
2	$5\sqrt5$（正数版）	7	整除成立
3	$[11/27,1)$（正数版）	8	$5/9$
4	$y=x^2+1/(1+4x^2)$	9	$n=1$ 或 $2$（补条件）
5	$6-\displaystyle\sum_{j=1}^{5}(j/6)^n$

逐题解析

第 1 题

题目

【明确闭区间】正实数 $a$，二次函数 $f(x)=ax^2-x+1$。若任意长度为 $1$ 的闭区间上都存在两点，使函数值之差的绝对值不小于 $1$，求 $a$ 的最小值。

解答

题面校注： 教学版明确为闭区间。若允许开区间，$a=4$ 时以顶点为中心的长为 $1$ 的开区间内任意两点的函数值之差都小于 $1$；此时可行参数为 $a>4$，只有下确界 $4$，没有最小值。

二次函数顶点横坐标为 $v=1/(2a)$，写为 $f(x)=a(x-v)^2+f(v)$。任意长为 $1$ 的闭区间上，函数值最大值与最小值的差至少为 $a/4$：若顶点在区间内，至少一个端点离顶点不小于 $1/2$；若顶点在区间外，函数单调，端点平方距离的差至少为 $1$，范围更大。区间 $[v-1/2,v+1/2]$ 的函数值差恰为 $a/4$。故“任意区间均存在值差至少 $1$ 的两点”等价于 $a/4\ge1$，最小值为 $4$。

第 2 题

题目

【补全正数条件】正实数 $x,y$ 满足 $\frac8x+\frac1y=1$，求 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值。

解答

题面校注： 源页仅写实数，若允许一正一负，则取 $x\to0^-$、$y=x/(x-8)\to0^+$ 可使 $\sqrt{x^2+y^2}\to0$，且无最小值。教学版按参考过程补为正实数；源页要求的是 $\sqrt{x^2+y^2}$，原转写漏了根号；源答案 $25$ 也不正确。

正数约束 $8/x+1/y=1$。令 $u=8/x,v=1/y$，则 $u,v>0,u+v=1$。也可直接用拉格朗日乘子求极值；为给出全局证明，用 Hölder 不等式，

$$(x^2+y^2)\left(\frac8x+\frac1y\right)^2 \ge(8^{2/3}+1^{2/3})^3=125.$$

具体地，将 $8^{2/3}+1$ 写成 $\sum (z_i^2)^{1/3}(a_i/z_i)^{2/3}$，其中 $(z_1,z_2)=(x,y)$、$(a_1,a_2)=(8,1)$，再对指数 $3$ 与 $3/2$ 使用 Hölder。取 $x=10,y=5$ 时约束成立，且 $x^2+y^2=125$，故所求最小值为 $5\sqrt5$。

第 3 题

题目

【补全正数条件】正实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，求 $a^2+b^2+c^2+2abc$ 的取值范围。

解答

题面校注： 若 $a,b,c$ 仅为实数且和为 $1$，原参考给出的有上界区间不成立；教学版明确三者为正数。

令 $q=ab+bc+ca,r=abc$。所求 $T=a^2+b^2+c^2+2abc=1-2(q-r)$。由于 $a+b+c=1$，

$$q-r=(1-a)(1-b)(1-c).$$

三个因子均为正且和为 $2$，由算术几何平均不等式 $q-r\le(2/3)^3=8/27$，在 $a=b=c=1/3$ 时取等，故 $T\ge11/27$。另一方面 $q-r>0$，所以 $T<1$；令 $(a,b,c)\to(1,0,0)$ 可使 $T\to1$。连通的正单纯形上连续函数的像为区间，故值域恰为 $[11/27,1)$。

第 4 题

题目

抛物线 $y=x^2$ 上有 $A,B$ 两点且 $AB=2$，求线段 $AB$ 中点的轨迹方程。

解答

设两点横坐标为 $u-h,u+h$，则中点横坐标为 $u$，纵坐标为 $u^2+h^2$。两点横坐标差为 $2h$、纵坐标差为 $4uh$，故 $AB^2=4h^2(1+4u^2)=4$。于是 $h^2=1/(1+4u^2)$，中点轨迹为

$$y=x^2+\frac1{1+4x^2},\qquad x\in\mathbb R.$$

反过来任意实数 $x=u$ 可取 $h=\pm1/\sqrt{1+4u^2}$，构造满足 $AB=2$ 的两点，所以没有漏掉轨迹点。

第 5 题

题目

均匀骰子独立抛掷 $n$ 次，记出现的最大点数为 $X$，求 $E(X)$。

解答

对 $j=1,\ldots,6$，事件 $X<j$ 等价于 $n$ 次掷骰结果都在 $1,\ldots,j-1$ 中，概率为 $((j-1)/6)^n$。正整数随机变量尾和公式给出

$$E(X)=\sum_{j=1}^6P(X\ge j) =\sum_{j=1}^6\left[1-\left(\frac{j-1}{6}\right)^n\right] =6-\sum_{r=1}^{5}\left(\frac r6\right)^n.$$

$n\ge1$，故 $0^n=0$，没有零次方歧义。

第 6 题

题目

边长为 $1$ 的正三角形 $ABC$ 中，$D\in AB,E\in AC$ 且 $DE\parallel BC$。沿 $DE$ 折起 $\triangle ADE$，求四棱锥 $A-DEBC$ 体积的最大值。

解答

设 $t=AD/AB=AE/AC\in[0,1]$。折起的小三角形到原底面最高可形成高度 $t\sqrt3/2$（折角为直角时达到），底部梯形 $DEBC$ 的面积为 $\sqrt3(1-t^2)/4$。故体积

$$V\le\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{4}(1-t^2)\cdot\frac{t\sqrt3}{2} =\frac{t(1-t^2)}8.$$

右端在 $t=1/\sqrt3$ 处取最大值 $\sqrt3/36$。该比例和直角折角均可在几何上实现，所以是最大体积。

第 7 题

题目

设 $[C_n]$ 为 $(4+2\sqrt3)^n$ 的整数部分，证明 $2^{n+1}\mid([C_n]+1)$。

解答

令 $\alpha=4+2\sqrt3,\beta=4-2\sqrt3$，则 $\alpha\beta=4$ 且 $0<\beta<1$。$S_n=\alpha^n+\beta^n$ 为整数（共轭根式展开后无理项抵消），故 $[\alpha^n]=S_n-1$。再写

$$S_n=2^n\left[(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n\right].$$

方括号内是偶整数，因为二项式展开后两式相加，只剩含偶次 $\sqrt3$ 的项，每项都有因子 $2$。于是 $2^{n+1}\mid S_n=[\alpha^n]+1$，命题成立。

第 8 题

题目

已知 $\alpha,\beta\in(0,\frac\pi2)$，求 $\displaystyle\frac{2\sin^4\alpha+3\cos^4\beta}{4\sin^2\alpha+5\cos^2\beta}+\frac{2\cos^4\alpha+3\sin^4\beta}{4\cos^2\alpha+5\sin^2\beta}$ 的最小值。

解答

令 $u=\sin^2\alpha,v=\cos^2\beta$，则 $u,v\in(0,1)$。记 $L=4u+5v$，另一个分母为 $9-L$。将两个分式按 $u$、$v$ 的平方项拆开后，分别用柯西不等式，

$$\frac{u^2}{L}+\frac{(1-u)^2}{9-L}\ge\frac{(u+1-u)^2}{9}=\frac19,$$

对 $v$ 也相同。乘以相应系数 $2,3$ 并相加，原式至少为 $2/9+3/9=5/9$。两处柯西等号同时成立当且仅当 $u/L=(1-u)/(9-L)$ 与 $v/L=(1-v)/(9-L)$，即 $u=v$；例如 $\alpha=\beta=\pi/4$ 就能取等。因此最小值为 $5/9$。源页答案表中的这一项排印不清，不能代替等号检验。

第 9 题

题目

【补全非退化条件】设 $n\in\mathbb N^*$，$f(x),g(x),h(x)$ 为非零、两两互素的实系数多项式，至少一个非常数，且 $f(x)^n+g(x)^n=h(x)^n$。证明 $n=1$ 或 $2$。

解答

题面校注： 未排除常数多项式时，$f=g=1,h=\sqrt[3]{2},n=3$ 就是反例。教学版明确 $n\in\mathbb N^*$，三个多项式均非零、两两互素，且至少一个非常数；不额外假定 $f$ 的次数为 $n$。

令 $A=f^n,B=g^n,C=h^n$，则 $A+B=C$，三者非零、两两互素，且至少一个非常数。设 $r(P)$ 为 $P$ 的不同复根个数。下面证明导数计数引理：

$$D+1\le r(A)+r(B)+r(C),\quad D=\max(\deg A,\deg B,\deg C).$$

取 $W=A'B-AB'$。若 $W=0$，则有理函数 $A/B$ 的导数为零，故 $A/B$ 为常数；互素迫使 $A,B$ 均为常数，进而 $C=A+B$ 也是常数，与至少一个非常数矛盾。因此 $W\ne0$。$A$、$B$ 的重数为 $s$ 的根使 $W$ 至少有 $s-1$ 重零点；因 $W=C'B-CB'$，$C$ 的重根也如此。三者的根互不重合，故

$$\deg W\ge\deg A+\deg B+\deg C-r(A)-r(B)-r(C).$$

另一方面，$\deg W\le\deg A+\deg B-1$，所以 $\deg C+1\le r(A)+r(B)+r(C)$。分别使用恒等式 $W=C'B-CB'$ 与 $W=A'C-AC'$，同样得到以 $\deg A$、$\deg B$ 替代 $\deg C$ 的不等式，因而引理成立。

因此

$$D+1\le r(A)+r(B)+r(C) \le\deg f+\deg g+\deg h\le\frac{3D}{n}.$$

$D>0$，若 $n\ge3$，右端至多为 $D$，矛盾。故 $n$ 只能为 $1$ 或 $2$。