2020年中国科学技术大学少年创新班数学试卷 · 参考解答

本卷未见独立同名源件，题序与 2020 年强基卷相同、文字略有差别；按本卷校订后的十一题逐题求解。源参考第 5 题有算术错误。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	值域 $(-1,\sqrt2]$	7	$k<-1$ 或 $k>1$
2	$2$	8	$n(n-1)/4$
3	$2\sqrt3/3$	9	$[-5/4,5]$
4	$\prod_{j=1}^{n}(2^j-1)$	10	$a\le-1/2$
5	$6p^4+2$	11	最优常数 $C=2/3$
6	$b<a<c$

逐题解析

第 1 题

题目

若 $z+\bar z=1$，求 $|z+1|-|z-i|$ 的取值范围。

解答

令 $z=1/2+it$，其中 $t\in\mathbb R$。则

$$D(t)=|z+1|-|z-i| =\sqrt{t^2+9/4}-\sqrt{(t-1)^2+1/4}.$$

两点距离差的绝对值不超过两定点间距 $\sqrt2$；在 $t=3/2$ 时，三点共线且距离差为 $\sqrt2$。另一方面 $t\to-\infty$ 时 $D(t)\to-1$，而任意有限 $t$ 均有 $D(t)>-1$：$D(t)+1>0$ 等价于 $\sqrt{t^2+9/4}+1>\sqrt{(t-1)^2+1/4}$，平方后等价于 $1+t+\sqrt{t^2+9/4}>0$，后式由 $\sqrt{t^2+9/4}>|t|$ 保证。连续性给出值域 $(-1,\sqrt2]$。

本卷只要求值域；上界取到、下界不取到，因而端点为 $(-1,\sqrt2]$。

第 2 题

题目

若 $|5x+6y|+|9x+11y|\le1$，求所围图形面积。

解答

设 $u=5x+6y,v=9x+11y$，线性变换行列式为 $55-54=1$。$|u|+|v|\le1$ 在 $uv$ 平面是面积为 $2$ 的开菱形，线性变换面积因子为 $1$，所以原区域面积仍为 $2$。包含边界不改变面积。

第 3 题

题目

【明确所求对象】曲线 $y=\dfrac{x}{\sqrt3}+\dfrac1x$（$x\ne0$）是一条双曲线，求该双曲线的离心率。

解答

题面校注： 所求是给定曲线本身的离心率，而不是仅由一对渐近线的锐角定义离心率。同一对渐近线可对应实轴方向不同的共轭双曲线，必须先确定给定曲线的实轴。

原方程等价于 $x^2-\sqrt3xy=-\sqrt3$；后式在 $x=0$ 时无解，所以乘以 $x$ 不引入额外点。将坐标轴旋转，令

$$x=\frac{\sqrt3}{2}u+\frac12v,\qquad y=-\frac12u+\frac{\sqrt3}{2}v.$$

这一正交变换保持距离与离心率。代入后交叉项抵消，得到

$$\frac32u^2-\frac12v^2=-\sqrt3 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{v^2}{2\sqrt3}-\frac{u^2}{2\sqrt3/3}=1.$$

因此实轴沿 $v$ 轴，$a^2=2\sqrt3,b^2=2\sqrt3/3$，离心率

$$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}.$$

第 4 题

题目

$a_1=1,a_2=3$，$a_n=\dfrac{2a_{n-1}^2}{a_{n-2}}+a_{n-1}$，求 $a_n$。

解答

前两项均非零，递推保证以后各项为正。令 $r_n=a_n/a_{n-1}$（$n\ge2$），则 $r_2=3$，且

$$r_n=2r_{n-1}+1.$$

归纳得 $r_n=2^n-1$。从 $a_1=1$ 累乘，得到 $a_n=\prod_{j=1}^{n}(2^j-1)$，对 $n=1$ 也成立。

第 5 题

题目

$x^2-y^2=4p^2$，$x,y$ 为正整数，$p$ 为素数，求 $x^3-y^3$。

解答

因 $x,y$ 同为正整数且 $x^2-y^2$ 是 $4$ 的倍数，$x,y$ 同奇偶，令 $u=(x-y)/2,v=(x+y)/2$，则 $u,v$ 为正整数、$v>u$，并满足 $uv=p^2$。由于 $p$ 是素数，乘积 $p^2$ 的有序因子对只可能为 $(1,p^2)$ 或 $(p,p)$；后者导致 $y=0$，应排除。故 $x=p^2+1,y=p^2-1$，从而

$$x^3-y^3=(p^2+1)^3-(p^2-1)^3=6p^4+2.$$

答案校注： 源参考代入同一组 $x,y$ 后写成 $3(2p^4+1)=6p^4+3$，常数项算错了。

第 6 题

题目

$a=2020^{2020}$，$b=\sqrt{2019^{2021}\cdot2021^{2019}}$，$c=\frac12(2019^{2021}+2021^{2019})$，比较 $a,b,c$。

解答

由 $2019\cdot2021=2020^2-1$，

$$b^2=(2020^2-1)^{2019}\cdot2019^2 <2020^{4038}\cdot2020^2=a^2,$$

故 $b<a$。

再令 $U=2019^{2021}$。由二项式展开可知 $(1+1/2019)^{2019}<3$，再乘 $(1+1/2019)<2$ 得 $(1+1/2019)^{2020}<6$。因此

$$\frac Ua=2019\left(\frac{2019}{2020}\right)^{2020} =\frac{2019}{(1+1/2019)^{2020}}>\frac{2019}{6}>2.$$

于是 $c=(U+2021^{2019})/2>U/2>a$，顺序为 $b<a<c$。

第 7 题

题目

$f(x)=(x-1)^2+k^2$，$a,b,c\in[0,1]$，且对任意 $a,b,c\in[0,1]$，$f(a),f(b),f(c)$ 均能构成非退化三角形，求 $k$ 的范围。

解答

题面校注： 若只问“存在 $a,b,c$”，任意实数 $k$ 都能取 $a=b=c$ 使三边相同且为正，原参考的 $|k|>1$ 对应“任意 $a,b,c$ 均可构成三角形”。教学版已明示全称量词与非退化条件。

$f(x)$ 在 $[0,1]$ 的值域为 $[k^2,k^2+1]$。三个这样的正数总能构成非退化三角形，当且仅当最小两边之和严格大于最大边，即 $2k^2>k^2+1$。若不满足，取 $a=b=1,c=0$ 即得反例；若满足，任意选择都可行。故 $k^2>1$，即 $k<-1$ 或 $k>1$。

第 8 题

题目

$a_1,\ldots,a_n$ 为 $1,\ldots,n$ 的等可能随机排列。若 $i<j$ 且 $a_i<a_j$，称 $(a_i,a_j)$ 为顺序对；记顺序对个数为 $X$，求 $E(X)$。

解答

对每一对值 $1\le u<v\le n$，令指标 $I_{uv}$ 表示它们在随机排列中是否按 $u$ 在前、$v$ 在后的顺序出现。均匀随机排列使 $E(I_{uv})=1/2$，且顺序对总数 $X=\sum_{u<v}I_{uv}$。期望线性性不要求指标彼此独立，因此

$$E(X)=\binom n2\frac12=\frac{n(n-1)}4.$$

第 9 题

题目

$x\in[0,\pi/2]$，求 $3\sin^2x-2\sin2x+2\sin x-\cos x$ 的范围。

解答

令 $t=2\sin x-\cos x$。在 $[0,\pi/2]$ 上 $t'=2\cos x+\sin x>0$，所以 $t$ 连续地取遍 $[-1,2]$。原式变为

$$t^2+t-1=\left(t+\frac12\right)^2-\frac54.$$

最小值在 $t=-1/2$ 处取到，为 $-5/4$；最大值在右端 $t=2$ 处取到，为 $5$。值域为 $[-5/4,5]$。

第 10 题

题目

$f(x)=x^3+ax^2-x+1-a$，求所有 $a\in\mathbb R$，使对任意 $x\in[-1,1]$ 都有 $|f(x)|\ge|x|$。

解答

$f(1)=1$。若在 $[-1,1]$ 上总有 $|f(x)|\ge|x|$，则在靠近 $1$ 的左侧，由连续性 $f(x)>0$ 且 $f(x)\ge x$。函数 $f(x)-x$ 在 $x=1$ 为零，因此其左导数须不大于零，即 $f'(1)-1=1+2a\le0$，故 $a\le-1/2$。

反过来，若 $a\le-1/2$，在 $0\le x\le1$，

$$f(x)-x=(x-1)\bigl[x^2+(a+1)x+a-1\bigr]\ge0,$$

因为方括号至多为 $(x-1)(x+3/2)\le0$。在 $-1\le x\le0$，

$$f(x)+x=(x+1)\bigl[x^2+(a-1)x+1-a\bigr]\ge0,$$

因为方括号为 $x^2+(1-a)(1-x)>0$。所以全区间 $f(x)\ge|x|$，从而原条件成立。全部参数为 $a\le-1/2$。

第 11 题

题目

已知 $1+\sqrt2+\cdots+\sqrt n<C(n+1)^{3/2}$。证明当 $C=2/3$ 时不等式成立，且 $C<2/3$ 时不成立。

解答

$\sqrt x$ 严格递增，故对每个整数 $j\ge1$ 有 $\sqrt j<\int_j^{j+1}\sqrt x\,dx$。相加得到

$$\sum_{j=1}^{n}\sqrt j <\int_0^{n+1}\sqrt x\,dx =\frac23(n+1)^{3/2},$$

所以 $C=2/3$ 对所有正整数 $n$ 成立。

另一方面，$n^{-3/2}\sum_{j=1}^n\sqrt j=(1/n)\sum_{j=1}^n\sqrt{j/n}$ 是 $\int_0^1\sqrt t\,dt$ 的右端点黎曼和，极限为 $2/3$；而 $((n+1)/n)^{3/2}\to1$。因此上述不等式的两边除以 $(n+1)^{3/2}$ 后，左侧趋于 $2/3$。任意 $C<2/3$ 对充分大的 $n$ 必失效，故 $2/3$ 为最优常数。