2025年清华大学强基计划数学试题 · 参考解答

按回忆版六题编号。第 2 题依据来源解析补明正数条件；第 5 题按来源表述，点 $P$ 位于正方形所在平面，不额外限制在正方形内部。

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题号	1	2	3	4	5	6
答案	$8\sqrt{11}/3$	$8\sqrt3$	$(-1-\sqrt7)/4$	B、C	B	$2$

逐题解析

第 1 题

题目

正三棱锥 $S-ABC$ 的底面边长为 $4$。$A',B',C'$ 分别为 $SA,SB,SC$ 的中点，$D$ 为 $A'B'$ 的中点，$O$ 为四面体 $S-ABC'$ 的外接球球心。若

$$OC^2-OD^2=AB^2,$$

求正三棱锥 $S-ABC$ 的体积。

解答

设侧棱长为 $l$、所给外接球半径为 $R$。在线段 $SC$ 上，$S,C'$ 在球面，$C'$ 为中点，故点 $C$ 的球幂为 $OC^2-R^2=CS\cdot CC'=l^2/2$。同理，$A'$ 为球内弦 $SA$ 中点，有 $OA'^2-R^2=-l^2/4$，$B'$ 亦然。由于 $A'B'=2$，中点恒等式给出

$$OD^2=\frac{OA'^2+OB'^2}{2}-\frac{A'B'^2}{4} =R^2-\frac{l^2}{4}-1.$$

因此 $OC^2-OD^2=3l^2/4+1=16$，得 $l^2=20$。底面外接圆半径为 $4/\sqrt3$，棱锥高为 $\sqrt{20-16/3}=\sqrt{44/3}$，体积为 $\frac13\cdot4\sqrt3\cdot\sqrt{44/3}=8\sqrt{11}/3$。

第 2 题

题目

【据来源解析补全正数条件】已知 $x,y,z>0$ 且 $3x^2+y^2+z^2=1$，求 $\dfrac{y+1}{xyz}$ 的最小值。

解答

题面校注： 来源题面未写正数，解析明确使用正数条件；若允许任意非零实数，令 $y=1/2,x\to0^-,z=\sqrt{3/4-3x^2}>0$，原式趋于 $-\infty$，无最小值。教学版补为 $x,y,z>0$。

由 $2\sqrt3xz\le3x^2+z^2=1-y^2$，得到

$$\frac{y+1}{xyz}\ge\frac{2\sqrt3(y+1)}{y(1-y^2)} =\frac{2\sqrt3}{y(1-y)}\ge8\sqrt3.$$

两次等号在 $y=1/2,\sqrt3x=z=\sqrt6/4$ 时同时成立。

第 3 题

题目

复数 $u,v,w$ 的模均为 $1$，且 $u+v+w=1+\mathrm i$，求 $\operatorname{Re}(u)$ 的最小值。

解答

设 $u=x+iy$，则 $x^2+y^2=1$。两个单位复数能以任意模不超过 $2$ 的复数为和，故存在 $v,w$ 的充要条件是 $|1+i-u|\le2$，即 $3-2x-2y\le4$，或 $x+y\ge-1/2$。单位圆满足这一半平面条件的最左点位于直线 $x+y=-1/2$ 上；代入圆方程得 $x=(-1-\sqrt7)/4$，$y=(-1+\sqrt7)/4$。此时可取 $v=w=(1+i-u)/2$，二者模均为 $1$，所求下界可达。

第 4 题

题目

在非等边等腰三角形 $ABC$ 中，$AC=BC$，$O$ 为外心，$P$ 为内心，点 $D\in BC$，且 $OD\perp PB$。下列结论正确的是（　）。

• A. $OD\parallel AC$；
• B. $O,P,B,D$ 四点共圆；
• C. $DP\parallel AC$；
• D. $OD\parallel AB$。

解答

缩放后取 $A=(-1,0),B=(1,0),C=(0,h)$，其中 $h>0$ 且 $h\ne\sqrt3$。令 $s=\sqrt{1+h^2}$，则

$$O=(0,o),\quad o=\frac{h^2-1}{2h},\qquad P=(0,r),\quad r=\frac h{s+1}.$$

写 $D=(t,h(1-t))$，由 $(D-O)\cdot(P-B)=0$ 得 $t=r(h-o)/(1+rh)=s/[2(s+1)]$。于是 $0<t<1$，且 $D-P=t(1,h)$，与 $C-A=(1,h)$ 同向，所以 C 正确。

过 $O,P,B$ 的圆方程为

$$X^2+Y^2-(1+or)X-(o+r)Y+or=0.$$

代入 $D=(t,r+ht)$，左端化为 $t[(1+h^2)t+h(r-o)-1-or]$。利用上述参数，方括号乘以 $2(s+1)$ 后为

$$s^3+2h^2-(s^2-2)(s+1)-2(s+1)-(s^2-2)=0,$$

其中 $h^2=s^2-1$。$O,P,B$ 不共线（$O=P$ 仅在等边情形），所以确有该圆，B 正确。A 若成立，则 $AC\perp PB$，但 $(1,h)\cdot(-1,r)=s-2$ 仅在 $h=\sqrt3$ 时为零，已排除；D 若成立，则 $PB$ 垂直于 $AB$，与 $PB$ 横向分量非零矛盾。故选 B、C。

第 5 题

题目

已知正方形 $ABCD$，其所在平面内一点 $P$ 满足 $PA:PB:PC=1:2:k$。下列哪组数均可能作为 $k$ 的值？

• A. $1,2$
• B. $2,3$
• C. $3,4$
• D. $1,3$

解答

取单位正方形 $A=(0,0),B=(1,0),C=(1,1)$，令 $P=(x,y)$，$t=x^2+y^2>0$。由 $PB^2=4PA^2$ 得 $3t+2x=1$。作反演坐标 $u=x/t,v=y/t$，则

$$u^2+v^2=\frac1t=3+2u,\qquad (u-1)^2+v^2=4.$$

而

$$k^2=\frac{PC^2}{PA^2}=1-2(u+v)+2(u^2+v^2)=7+2u-2v.$$

在该圆上，$u-v$ 的值域为 $[1-2\sqrt2,1+2\sqrt2]$，所以

$$\sqrt{9-4\sqrt2}\le k\le\sqrt{9+4\sqrt2}.$$

该圆不经过原点，反演可逆，各值均可实现；其中 $2,3$ 可取，$1,4$ 不可取，故选 B。

第 6 题

题目

若

$$x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\le1,$$

求 $x^2+y^2+z^2$ 的最大值。

解答

令 $T=x^2+y^2+z^2$，则题设左端为 $\frac12[T+(x+y+z)^2]\ge T/2$，因此 $T\le2$。取 $(x,y,z)=(1,-1,0)$ 时题设左端为 $1$，$T=2$，故最大值为 $2$。