2024年清华大学强基计划数学试题 · 参考解答

按来源二十八题编号。补回多道判断题的选项，第 25、28 题校正转写，第 21 题明确补入一次项。第 11 题来源参考误选 C，本解析用直线参数式校正。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$\theta=\pi/8+k\pi/2$	15	$18$
2	A、C、D	16	$1056$
3	$96,104$	17	A、B、D
4	$65$	18	$3$
5	A、B、C、D	19	最小 $2-2\sqrt2$，最大 $2+2\sqrt2$
6	仅第一个结论正确	20	最小 $2$，无最大值且无上界
7	$86$	21	$(-2,0)$
8	D；$p_2=1/3,p_4=7/27$	22	$(\arccos(19\sqrt2/36),\pi/2]$
9	$1/3$	23	B、C
10	$512$	24	A
11	A、B	25	$\sqrt3$
12	$120^\circ$	26	B、C、D
13	丙、丁、乙、甲依次第 $1,2,3,4$	27	$\pi$
14	$-18/13$	28	$4/5$

逐题解析

第 1 题

题目

已知多重集 $\{\sin\theta,\sin2\theta,\sin3\theta\}=\{\cos\theta,\cos2\theta,\cos3\theta\}$，求 $\theta$。

解答

两多重集相同，平方和也相同，故 $\cos2\theta+\cos4\theta+\cos6\theta=0$，即 $\cos4\theta(1+2\cos2\theta)=0$。模 $2\pi$ 只需检查 $\theta=\pi/8+j\pi/4$（$j=0,\ldots,7$）以及 $\pi/3,2\pi/3,4\pi/3,5\pi/3$。后一组中正弦含 $0$ 而余弦不含 $0$，排除。前一组逐项用诱导公式比较，仅 $j$ 为偶数时三项相同，此时对应关系为 $\sin\theta=\cos3\theta,\sin2\theta=\cos2\theta,\sin3\theta=\cos\theta$。故 $\theta=\pi/8+k\pi/2$。

第 2 题

题目

已知 $e^a+a=\ln b+b=4$，判断下列命题：$a\ln b+\ln a>1$；$a\ln b+\ln a=1$；$ab<4$；$ab>e$。

解答

$t+\ln t$ 在正数上严格递增，而 $e^a+\ln(e^a)=4=b+\ln b$，故 $b=e^a=4-a$。又 $e+1<4$ 给出 $a>1$，因此 $a\ln b+\ln a=a^2+\ln a>1$，A 真、B 假。$ab=a(4-a)=4-(a-2)^2<4$，且 $ab=ae^a>e$，故 C、D 真。

第 3 题

题目

某城市街道均为正东--正西或正南--正北走向。某人从某路段正中央出发，每个点至多经过一次，最终回到出发点。已知向左转 $100$ 次，判断可能向右转 $96,98,104,102$ 次中的哪些。

解答

路线是简单闭合正交多边形，沿其一周的有向转角总和为 $360^\circ$ 或 $-360^\circ$。若右转数为 $R$，则 $90^\circ(100-R)=\pm360^\circ$，所以 $R=96$ 或 $104$。从矩形边上加入互不相交的小凹凸折线，每次增加同数的左右转，可分别实现这两个数。

第 4 题

题目

在平面直角坐标系内，$M\in\{(x,y)\mid x^2/200+y^2/8\leqslant1\}$，$A(2,1)$。若 $\triangle OMA$ 面积不超过 $3$，求满足条件的整点 $M$ 的个数。【计数约定：允许三点共线或重合，此时面积按零计。】

解答

条件等价于 $x^2+25y^2\le200$、$|x-2y|\le6$。整数 $y$ 只能为 $-2,-1,0,1,2$。对应的整数 $x$ 区间依次为 $[-10,2],[-8,4],[-6,6],[-4,8],[-2,10]$，均满足椭圆约束，每层 $13$ 个，共 $65$ 个。退化三角形按面积零计入。

第 5 题

题目

已知 $a_1=1$，$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\lambda n^2-2n}{n+1}$（$\lambda\geqslant0$，各项非零）。判断：

• A. 存在 $\lambda$，使存在正整数 $N$，对所有 $n\ge N$，$a_{n+1}<a_n$。
• B. 存在 $\lambda$，使不存在上述最终严格递减的 $N$。
• C. 存在 $\lambda$，使存在正整数 $N$，对所有 $n\ge N$，$a_{n+1}>a_n$。
• D. 存在 $\lambda$，使不存在上述最终严格递增的 $N$。

解答

所有结论都是关于参数“存在”的命题，不要求使用同一个参数。取 $\lambda=3$，递推比恒正且最终大于 $1$，数列最终严格递增，故 C 真，并使“不存在最终严格递减起点”的 B 真。取 $\lambda=3/2$，首个比值为 $-1/4$，之后比值均正且最终大于 $1$，故从第二项起均负且最终严格递减，A、D 真。两个构造均无零项，符合原商式定义。

第 6 题

题目

已知 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac1{a_n^2}$。判断下列结论：$\lim a_n/\sqrt[3]n=\sqrt[3]3$；$\lfloor a_{400}\rfloor=20$；$\lim a_n/\sqrt n=\sqrt2$；$\lfloor a_{900}\rfloor=30$。

解答

$a_n$ 正且严格递增，若有有限极限，递推增量便不趋于零，矛盾，故 $a_n\to\infty$。展开得

$$a_{n+1}^3-a_n^3=3+\frac3{a_n^3}+\frac1{a_n^6}\longrightarrow3.$$

由差分平均值的极限，$a_n^3/n\to3$，故 $a_n/\sqrt[3]n\to\sqrt[3]3$，而 $a_n/\sqrt n\to0$。此外 $a_k^3\ge3k-2$，所以

$$3n-2\le a_n^3\le3n-2+4\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{3k-2} \le3n-2+4(1+\ln(n-1)).$$

在 $n=400,900$ 分别夹在 $10^3,11^3$ 及 $13^3,14^3$ 之间，因此实际整数部分为 $10,13$，其余给定结论均错。

第 7 题

题目

正整数 $a,b,c\in\{1,2,\ldots,100\}$，且 $\dfrac1a+\dfrac1c=\dfrac2b$，$a>b>c$。求满足条件的有序三元组 $(a,b,c)$ 的组数。

解答

令 $a/c=u/v$ 为最简分数，$u>v\ge1$、$(u,v)=1$。由调和关系 $b=2ac/(a+c)$，全部整数解唯一写为

$$(a,b,c)=k\left(\frac{u(u+v)}g,\frac{2uv}g,\frac{v(u+v)}g\right), \quad g=(u+v,2),\quad k\ge1.$$

这是因为三个未约分分量的最大公约数为 $g$。最大分量为 $a$，故每对 $u,v$ 贡献 $\lfloor100g/[u(u+v)]\rfloor$。$u\ge14$ 时 $u(u+v)/g\ge u(u+1)/2>100$，无需再算。按 $u=2,\ldots,13$ 分组，计数为 $16,22,8,15,3,10,2,5,0,4,0,1$，和为 $86$。

第 8 题

题目

从棱长为 $1$ 的单位正方体底面顶点 $A$ 出发，每次等概率沿一条棱行走一个单位长度。记走 $n$ 次后回到 $A$ 的概率为 $p_n$，判断：

• A. $p_4=\frac12(1+3^{-4})$
• B. $p_2=\frac59$
• C. $p_4=\frac12(1-3^{-4})$
• D. $p_2=\frac13$

解答

每步三种方向等概率。两步回原点必须连续选同一坐标方向，共 $3$ 条路径，概率 $3/9=1/3$。四步回原点时各坐标方向出现偶数次：四次全同有 $3$ 条；两个方向各两次有 $\binom32\binom42=18$ 条。因此 $p_4=21/81=7/27$，只有 D 正确。

第 9 题

题目

圆周上 $A_1,A_2,\ldots,A_7$ 七点两两相连，任取两条线段，求它们无公共点的概率。

解答

共有 $\binom72=21$ 条线段，任选两条共有 $\binom{21}2=210$ 种。无公共点要求端点互异，任选四个圆周点，三种配对中只有两种不相交，故有利数为 $2\binom74=70$，概率 $1/3$。

第 10 题

题目

$a_1,a_2,\ldots,a_{10}$ 是 $1,2,\ldots,10$ 的一个排列。对 $i=2,3,\ldots,9$，要求 $a_{i-1},a_{i+1}$ 中至少一个大于 $a_i$。求满足条件的排列数。

解答

相邻比较不能出现“上升后下降”，否则转折处为内点峰。故排列只能先降后升，最低点为 $1$。将其余九个数任意分到 $1$ 的左、右，左边降序、右边升序，恰一一对应，计数为 $2^9=512$。

第 11 题

题目

直线 $l:ax+by+c=0$，不同点 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，令 $\chi=\dfrac{ax_1+by_1+c}{ax_2+by_2+c}$。判断：

• A. 若 $\chi>1$，则 $l$ 与射线 $PQ$ 相交。
• B. 若 $\chi=1$，则 $l$ 与射线 $PQ$ 平行。
• C. 若 $\chi=-1$，则 $l$ 与射线 $PQ$ 垂直。
• D. 若 $\chi$ 存在，则 $Q\in l$。

解答

答案校注： 来源参考给出 A、B、C，但 $\chi=-1$ 只能推出直线通过 $PQ$ 中点，不能推出垂直。

令 $L(X)=ax+by+c$，$\chi$ 存在意味着 $L(Q)\ne0$。射线上的点为 $X(t)=P+t(Q-P)$，$t\ge0$，且

$$L(X(t))=L(Q)\,[\chi+t(1-\chi)].$$

$\chi>1$ 时根 $t=\chi/(\chi-1)>0$，故 A 真。$\chi=1$ 时值恒为非零常数，且方向向量与法向量垂直，故 B 真。$\chi=-1$ 时 $t=1/2$，只说明过中点；例如 $l:x=0,P=(-1,0),Q=(1,1)$ 即不垂直，C 假。定义本身要求 $Q\notin l$，D 假。

第 12 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^\circ$，$\angle BAP=\angle CAP$，$P$ 在三角形内部。延长 $BP$ 交 $AC$ 于 $Q$，且 $\dfrac1{|BP|}+\dfrac1{|CP|}=\dfrac1{|PQ|}$，求 $\angle BPC$。

解答

记 $u=\angle ABQ,v=\angle PCQ$。在 $\triangle ABQ$ 中用角平分线定理及正弦定理：

$$\frac{PQ}{PB}=\frac{AQ}{AB}=\frac{\sin u}{\sin(60^\circ+u)}.$$

在 $\triangle PCQ$ 中，$\sin\angle PQC=\sin(60^\circ+u)$，故 $PQ/PC=\sin v/\sin(60^\circ+u)$。题设乘以 $PQ$ 后得到

$$\sin v=\sin(60^\circ+u)-\sin u=\sin(60^\circ-u).$$

左端为正，且 $0<u<120^\circ$，故 $u<60^\circ$。两种可能为 $v=60^\circ-u$ 或 $v=120^\circ+u$；但 $\angle BPC=60^\circ+u+v<180^\circ$，排除后一种。因此 $\angle BPC=120^\circ$。

第 13 题

题目

关于比赛名次，张三说“甲是第 $4$ 名”，李四说“乙不是第 $2$ 或第 $4$ 名”，王五说“丙排在乙前面”，刘六说“丁是第 $1$ 名”。已知只有一个人说假话，判断甲、乙、丙、丁的名次。

解答

若张三说假话，则丁第一，乙只能第三，丙第二，甲第四，反使张三说真话。若李四说假话，则丁第一、甲第四、丙在乙前，只能丙第二、乙第三，反使李四说真话。若王五说假话，则丁第一、甲第四、乙第三、丙第二，反使王五说真话。因此只有刘六说假话；甲第四、乙第三，丙在乙前，而丁不第一，故丙第一、丁第二。

第 14 题

题目

计算 $\tan\left(\arctan2+\arctan\dfrac2{2^2}+\cdots+\arctan\dfrac2{12^2}\right)$。

解答

对 $k\ge1$，$\arctan(2/k^2)=\arctan(k+1)-\arctan(k-1)$，因为右边在 $(0,\pi/2)$ 且正切为 $2/k^2$。望远镜求和得到 $\arctan13+\arctan12-\pi/4$。前两角和的正切为 $25/(1-156)=-5/31$，再减 $\pi/4$ 得 $(-5/31-1)/(1-5/31)=-18/13$。

第 15 题

题目

已知 $a,b\in\mathbb N^*$，$a+b\leqslant2024$。求使 $ab^2+b+7\mid a^2b+a+b$ 的解的组数。

解答

记 $N=ab^2+b+7,M=a^2b+a+b$。由 $N\mid M$ 得 $N\mid bM-aN=b^2-7a$。若 $b\ge3$，则 $-N<b^2-7a<N$，因此 $b^2=7a$，写成 $b=7k,a=7k^2$，此时 $M=kN$，确实可行。范围限制给 $7k(k+1)\le2024$，即 $1\le k\le16$。

若 $b=2$，则 $N=4a+9$，且 $-2N<4-7a<N$，整数倍只能为 $0$ 或 $-N$，分别要求 $a=4/7$ 或 $13/3$，均不成立。若 $b=1$，则 $N=a+8$，$M=(a+8)(a-7)+57$，故 $a+8$ 为 $57$ 的不小于 $9$ 的约数，只能为 $19,57$，得 $a=11,49$。共 $16+2=18$ 组。

第 16 题

题目

点集 $S=\{(x,y)\mid x\leqslant5,y\leqslant4,x,y\in\mathbb N^*\}$，求由 $S$ 中的点可组成的不同三角形个数。

解答

从二十点任选三点共 $\binom{20}3=1140$ 组。共线三点中，横向有 $4\binom53=40$ 组，纵向有 $5\binom43=20$ 组；斜率 $1,-1$ 各有 $10$ 组；斜率 $1/2,-1/2$ 各有 $2$ 组。其余非零有限斜率的最简方向向量若能容纳三点，必须满足 $2|\Delta x|\le4,2|\Delta y|\le3$，已被上述列举穷尽。因此三角形数为 $1140-40-20-20-4=1056$。

第 17 题

题目

已知 $2a_na_{n+1}-3a_{n+1}+1=0$，$a_1=1/3$，前 $n$ 项和为 $S_n$。判断：

• A. $\lim a_n=1/2$
• B. $S_n>(n-1)/6$
• C. $\{(a_n-1)/(a_n+1)\}$ 是等比数列
• D. $S_n<n/2$

解答

递推为 $a_{n+1}=1/(3-2a_n)$。固定点为 $1/2,1$，令 $t_n=(a_n-1/2)/(a_n-1)$，则 $t_{n+1}=t_n/2,t_1=1/4$。从而

$$a_n=\frac{2^n-1}{2^{n+1}-1},\qquad \frac13\le a_n<\frac12.$$

故极限为 $1/2$，且 $S_n\ge n/3>(n-1)/6$、$S_n<n/2$。另 $(a_n-1)/(a_n+1)$ 前三项为 $-1/2,-2/5,-4/11$，相邻比不同，并非等比数列。选 A、B、D。

第 18 题

题目

已知复数 $|z|=1$，且 $z^n=z+\sqrt2$，求正整数 $n$ 的最小值。

解答

由 $|z+\sqrt2|=|z^n|=1$ 得 $\operatorname{Re}z=-1/\sqrt2$，故 $z=e^{\pm3\pi i/4}$，$z+\sqrt2=e^{\pm\pi i/4}$（符号相同）。所以 $3n\equiv1\pmod8$，即 $n\equiv3\pmod8$，最小为 $3$。

第 19 题

题目

正四面体边长为 $2\sqrt2$，点 $P$ 满足 $|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|=2$。判断 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AD}$ 的最大值或最小值。

解答

令 $H$ 为 $AB$ 中点，题设为 $2|PH|=2$，所以 $P$ 在半径 $1$ 的球面上。又

$$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{HP}\cdot\overrightarrow{AD} =2+\overrightarrow{HP}\cdot\overrightarrow{AD}.$$

最后一项的范围为 $[-2\sqrt2,2\sqrt2]$，在 $HP$ 与 $AD$ 平行或反向时可达，故两最值为 $2\pm2\sqrt2$。

第 20 题

题目

已知 $f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac a{b+c}}+\sqrt{\dfrac b{c+a}}+\sqrt{\dfrac c{a+b}}$（$a,b,c\geqslant0$，且三个分母均非零），求其最大值与最小值。

解答

定义域校注： 非负条件还须排除分母为零的点。令 $p=a/(a+b+c),q=b/(a+b+c),r=c/(a+b+c)$，三者在 $[0,1)$ 中且和为 $1$。记 $g(t)=\sqrt{t/(1-t)}$。若三者均不大于 $1/2$，则 $g(t)\ge2t$，故和至少为 $2$。

若 $p>1/2$，则 $q+r<1/2$，而 $g(t)/t=1/\sqrt{t(1-t)}$ 在 $(0,1/2]$ 上递减，所以 $g(q)+g(r)\ge g(q+r)=g(1-p)$（零项按连续延拓处理）。故

$$g(p)+g(q)+g(r)\ge\sqrt{\frac p{1-p}}+\sqrt{\frac{1-p}p}\ge2.$$

在 $(a,b,c)=(1,1,0)$ 及其排列处取等，最小值为 $2$。令 $(a,b,c)=(1,\varepsilon,\varepsilon)$ 且 $\varepsilon\to0^+$，原式无界增大，无最大值。

第 21 题

题目

【据所求补全一次项】方程 $x^3+px^2+qx+r=0$ 在 $(0,2)$ 上有三个不同实根，求 $p+q+r$ 的取值范围。

解答

教学补订： 源式缺少 $qx$，却询问 $p+q+r$；若按无一次项的三次式，其三个正根的两两乘积和应为零，不可能。教学版补为 $x^3+px^2+qx+r$。

设三个不同根为 $u,v,w\in(0,2)$。则 $1+p+q+r=(1-u)(1-v)(1-w)\in(-1,1)$，故所求在 $(-2,0)$。为确认全范围可达，在连通开集 $0<u<v<w<2$ 上该乘积连续；三根均趋近 $0$ 或均趋近 $2$ 时分别趋近 $1,-1$，所以其像恰为 $(-1,1)$，答案为 $(-2,0)$。

第 22 题

题目

四面体 $V-ABC$ 中，$VA=VB=2\sqrt2$，$VC=3$，$CA=CB=4$，求直线 $CA$ 与 $VB$ 所成角的取值范围。

解答

取 $V=(0,0,0),C=(0,0,3)$。由 $VA^2=8,CA^2=16$，得 $A$ 的第三坐标为 $1/6$，$B$ 同理。旋转坐标后可设

$$A=(\sqrt{287}/6,0,1/6),\quad B=(\sqrt{287}\cos t/6,\sqrt{287}\sin t/6,1/6).$$

四面体非退化要求 $\sin t\ne0$。直线所成锐角或直角记为 $\theta$，则

$$\cos\theta=\frac{|(A-C)\cdot B|}{4\cdot2\sqrt2} =\frac{|287\cos t-17|}{288\sqrt2}.$$

由于 $\cos t\in(-1,1)$，右端范围为 $[0,19\sqrt2/36)$，故 $\theta\in(\arccos(19\sqrt2/36),\pi/2]$。下端只在退化极限达到，不应包含。

第 23 题

题目

已知 $f(x)=\dfrac{x-1}{e^x}$。判断：

• A. 若 $f(x)=a$ 有两个不同实根 $x_1,x_2$，则 $x_1+x_2=4$。
• B. $f(x)=a$ 有两个不同实根的充要条件为 $a\in(0,e^{-2})$。
• C. 对任意 $m\in\mathbb R$，$|f(x)+m|$ 均有最小值。
• D. 对任意 $m\in\mathbb R$，$|f(x)+m|$ 均有最大值。

解答

$f'(x)=(2-x)e^{-x}$，故 $f$ 在 $(-\infty,2]$ 递增、在 $[2,\infty)$ 递减，最大值 $e^{-2}$，两端极限分别为 $-\infty,0^+$。因此方程恰有两个不同实根的范围为 $0<a<e^{-2}$，B 真。

若两根之和为 $4$，写成 $2-t,2+t$，其中 $0<t<1$。但

$$\ln\frac{f(2-t)}{f(2+t)}=\ln\frac{1-t}{1+t}+2t<0,$$

因为该式在 $t=0$ 为零，导数为 $-2t^2/(1-t^2)<0$，矛盾，A 假。由于 $f$ 的值域为 $(-\infty,e^{-2}]$，若 $-m$ 在值域内，则绝对值最小为零；否则最小在 $x=2$ 取得，故 C 真。$x\to-\infty$ 时 $|f(x)+m|\to\infty$，无最大值，D 假。

第 24 题

题目

$f$ 是 $[0,1]$ 上连续函数，设 $A_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|f\left(\frac{k-1}{n}\right)-f\left(\frac kn\right)\right|$。对正整数 $m,n$，判断：

• A. $A_n\le A_{2n}$
• B. $A_n\le A_{n+m}$
• C. $2A_n\le A_{2n}$
• D. $2A_n\le A_{n+m}$

解答

将每个长度 $1/n$ 区间在中点拆开，由三角不等式逐段相加得 $A_n\le A_{2n}$，A 真。取连续分段线性函数，在 $0,1/3,2/3,1$ 处为零、在 $1/2$ 处为 $1$，则 $A_2=2,A_3=0$；取 $n=2,m=1$ 否定 B、D。取 $f(x)=x$，有所有 $A_n=1$，否定 C。

第 25 题

题目

双曲线 $C:x^2/a^2-y^2/b^2=1$（$a,b>0$），斜率为 $1$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A,B$。点 $D$ 是 $C$ 上另一点且 $AD\perp BD$，$O$ 为原点。$\triangle AOD,\triangle BOD$ 的重心分别为 $P,Q$，$\triangle ABD$ 外心为 $M$。若 $k_{OP}k_{OQ}k_{OM}=-8$，求双曲线离心率。

解答

转写校注： 源页明确 $D$ 在双曲线上，不在直线 $AB$ 上；原转写会使三点共线却要求垂直，构型不存在。

记 $\rho=b^2/a^2$。对于双曲线上两点 $U,V$，两式相减得

$$\frac{(x_U-x_V)(x_U+x_V)}{a^2} =\frac{(y_U-y_V)(y_U+y_V)}{b^2}.$$

所以连接两点的直线斜率与原点到其中点的斜率之积为 $\rho$（本题涉及的斜率均存在且非零）。重心 $P,Q$ 分别在 $A+D,B+D$ 的方向上，故 $k_{OP}=\rho/k_{AD},k_{OQ}=\rho/k_{BD}$。又直角三角形 $ABD$ 的外心为 $AB$ 中点，$k_{AB}=1$，得 $k_{OM}=\rho$。由 $k_{AD}k_{BD}=-1$，三斜率之积为 $-\rho^3=-8$，所以 $\rho=2,e=\sqrt{1+\rho}=\sqrt3$。

第 26 题

题目

过抛物线 $x^2=4y$ 焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。过 $B$ 作与抛物线在 $A$ 处切线平行的直线，交抛物线于另一点 $D(x_3,y_3)$，交 $y$ 轴于 $E$。判断 $x_2+x_3=3x_1$、$|FB|=|FE|$、$\triangle ABD$ 面积最小值为 $16$、$y_1y_2=1$ 中哪些正确。

解答

设 $A=(2t,t^2)$，焦弦另一端为 $B=(-2/t,1/t^2)$，其中 $t\ne0$。过 $B$ 的平行线斜率为 $t$，与抛物线联立得两横坐标之和为 $4t$，所以 $x_2+x_3=2x_1$，A 错。该线与纵轴交于 $E=(0,2+1/t^2)$，故 $FE=1+1/t^2=FB$，B 对；同时 $y_1y_2=1$，D 对。

令 $u=t+1/t$。$|x_A-x_B|=2|u|,|x_D-x_B|=4|u|$，两线斜率差为 $|t-(t-1/t)/2|=|u|/2$。故

$$S_{ABD}=\frac12(2|u|)(4|u|)\frac{|u|}{2}=2|u|^3\ge16,$$

$t=\pm1$ 时取等，C 对。

第 27 题

题目

$f(x)=\ln x+\cos x$ 的所有极值点依次为 $a_1,a_2,\ldots$，求 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}|a_{n+1}-a_n|$。

解答

$f'(x)=1/x-\sin x$，仅在正弦为正的半周期内可能为零。在每个 $(2k\pi,(2k+1)\pi)$ 内，$x\sin x$ 从零上升后下降至零，且中间最大值大于 $1$，故恰有两个交点（首个半周期亦如此）。上升半段导数为正，下降半段的导数 $\sin x+x\cos x$ 严格递减，保证只有一个峰。两个驻点均变号，均为极值点。随着 $k\to\infty$，方程 $\sin x=1/x$ 的两根分别趋近该半周期左右端点，偏差趋于零。因此相邻极值点间距均趋于 $\pi$。

第 28 题

题目

$f(u)=u^2+au+b-2$，$u=x+1/x$（$x\in\mathbb R\setminus\{0\}$）。若存在这样的 $u$ 使 $f(u)=0$，求 $a^2+b^2$ 的最小值。

解答

转写校注： 原图为 $f(u)$ 有零点，不是 $f'(u)$ 有零点。$x$ 为非零实数时，$u=x+1/x$ 的值域为 $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$。存在零点要求某个 $|u|\ge2$ 满足 $au+b=2-u^2$。由柯西不等式，

$$a^2+b^2\ge\frac{(u^2-2)^2}{u^2+1}.$$

令 $s=u^2\ge4$，右端导数为 $(s-2)(s+4)/(s+1)^2>0$，最小为 $4/5$。取 $u=2,a=-4/5,b=-2/5$（对应 $x=1$）可同时取等，所求为 $4/5$。