2023年清华大学自强计划数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	答案
1	$-2$
2	$(\sqrt{13}-1)/2$
3	$10,1/10$
4	B；比值为$1,7/2,11$
5	B，$2023$
6	$(4,4+2\sqrt3)$
7	$(-\infty,1/4)$
8	ABD
9	$\frac2{\sqrt3}\sqrt{1-2^{-2^{n+2}}}$
10	ABD
11	最小面积$4$；轨迹$y=x-2$

逐题解析

第 1 题

题目

已知

$$z=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7},$$

求

$$\frac{z}{1+z^2}+\frac{z^4}{1+z^3}+\frac{z^3}{1+z^4}$$

的值。

解答

由$z^7=1$及$1+z+\cdots+z^6=0$，原式为

$$\frac z{1+z^2}+\frac{z^4+z^6}{1+z^3}.$$

通分后，分子加上两倍分母为

$$z+z^4+(z^4+z^6)(1+z^2)+2(1+z^2)(1+z^3) =2(1+z+\cdots+z^6)=0,$$

其中使用了$z^7=1,z^8=z$。分母非零，故原式为$-2$。

第 2 题

题目

已知 $\operatorname{Re}z\ge 1$，求

$$\min\left|\frac{1}{z}+1+i\right|$$

的值。

解答

令$w=1/z=u+iv$，条件$\operatorname{Re}z\ge1$等价于$u/(u^2+v^2)\ge1$，即

$$(u-1/2)^2+v^2\le1/4,\qquad w\ne0.$$

目标是$w$到$-1-i$的距离。该点到圆心$1/2$的距离为$\sqrt{13}/2$，故最小距离为$(\sqrt{13}-1)/2$，在圆周朝向$-1-i$的点达到；此点不是被排除的原点。

第 3 题

题目

已知

$$X^{\lg X}Y^{\lg Y}Z^{\lg Z}=5, \qquad X^{\lg Y}Y^{\lg Z}Z^{\lg X}=\sqrt{2},$$

求 $XYZ$ 的可能取值。

解答

令$u=\lg X,v=\lg Y,w=\lg Z$，得到$u^2+v^2+w^2=\lg5$及$uv+vw+wu=\frac12\lg2$。因此$(u+v+w)^2=1$，所以$XYZ=10$或$1/10$。

两者均可实现：平面$u+v+w=\pm1$到原点的距离平方为$1/3<\lg5$，与半径$\sqrt{\lg5}$的球面相交。任何交点同时满足第二个等式，且取$X=10^u,Y=10^v,Z=10^w$均为正数。

第 4 题

题目

已知$x,y$为正整数，$4x+y$ 整除 $4y+x$，则 $\dfrac{y}{x}$（　）

• A. 所有的和为 $14.5$
• B. 所有的和为 $15.5$
• C. 可能有 $4$ 组取值
• D. 可能有 $5$ 组取值

解答

题面校注：补充$x,y$为正整数，否则原题的“所有比值之和”不具有所需的有限含义。

设$t=y/x>0$，则$k=(4t+1)/(t+4)$是整数，并有$1/4<k<4$，故$k=1,2,3$。解得$t=(4k-1)/(4-k)=1,7/2,11$，均有正整数$x,y$实现。比值之和为$31/2=15.5$，故仅B正确。

第 5 题

题目

将 $2023$ 拆分为一个或多个正整数之和，不计加数顺序，所有加数的最大值和最小值相差不超过 $1$，有多少种可能？（　）

• A. $2024$
• B. $2023$
• C. $2022$
• D. $2021$

解答

规定项数为$m$时，写$2023=qm+r$，$0\le r<m$。加数只能为$q,q+1$，并且恰有$r$个$q+1$、$m-r$个$q$，故每个$m=1,\ldots,2023$恰对应一种拆分。若不允许单项拆分，答案会少一；正式稿已明确包含单项。

第 6 题

题目

（教学补订）已知椭圆 $C\colon \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，过右顶点 $A$ 作斜率为 $\dfrac12$ 的直线交 $y$ 轴于 $P$，交 $C$ 于另一点 $B$。过点 $P$ 作斜率大于 $\dfrac12$ 的直线交 $C$ 于 $M,N$，并规定$|PM|<|PN|$，求 $S_{\triangle APN}/S_{\triangle BPM}$ 的取值范围。

解答

题面校注：来源条件$PM<MN$在$P$位于弦内部时自动成立，不能区分$M,N$，面积比也不是定值。现明确端点顺序并求范围，属于教学补订。

有$A=(2,0),P=(0,-1),B=(-1,-3/2)$，故$AP/BP=2$。设新直线为$y=kx-1$，$k>1/2$，与椭圆联立得

$$(3+4k^2)x^2-8kx-8=0.$$

两根异号且和为正，故正根对应较远点$N$。令$D=\sqrt{96+192k^2}$，则

$$\frac{S_{APN}}{S_{BPM}} =\frac{AP\cdot PN}{BP\cdot PM} =2\frac{D+8k}{D-8k}.$$

其中$8k/D$随$k>0$严格增加；在$k\downarrow1/2$时面积比趋于$4$，在$k\to\infty$时趋于$2(\sqrt3+1)/(\sqrt3-1)=4+2\sqrt3$。连续性说明中间值全部取得，两端不取。

第 7 题

题目

已知

$$ax^3+bx^2+x+1=0\qquad (a<0)$$

恰有两个零点，求 $a+b$ 的取值范围。

解答

三次实系数多项式恰有两个不同实零点，当且仅当有一个二重根$r$和另一个单根$s$。比较$a(x-r)^2(x-s)$的常数项与一次项得

$$s=-\frac r{r+2},\quad a=\frac{r+2}{r^3},\quad b=-\frac{2r+3}{r^2}.$$

条件$a<0$恰给$-2<r<0$，此时$s>0$，根确实不同。令$t=-r\in(0,2)$，

$$a+b=\frac{2(t^2-t-1)}{t^3},\qquad \frac{d}{dt}(a+b)=\frac{2(-t^2+2t+3)}{t^4}>0.$$

两端极限分别为$-\infty,1/4$，故取值范围为$(-\infty,1/4)$。

第 8 题

题目

已知 $|z|=1$，方程$zx^2+2\overline{z}x+2=0$存在实数解$x$，$z$ 的虚部可能为（　）

• A. $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
• B. $-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
• C. $1$
• D. $0$

解答

题面校注：必须要求方程有实数解；若允许复数$x$，所有单位复数$z$均可，选项含义完全不同。

写$z=u+iv$。虚部方程为$v(x^2-2x)=0$。若$v\ne0$，只能$x=2$（$x=0$不满足实部），实部给$8u+2=0$，故$v=\pm\sqrt{15}/4$。若$v=0$，取$z=-1$时方程有两个实根，所以$v=0$可行。正确选项为ABD。

第 9 题

题目

已知

$$I_n=\left(1+\frac{i}{2}\right)\left(1+\frac{i}{4}\right)\left(1+\frac{i}{16}\right)\cdots\left(1+\frac{i}{2^{2^n}}\right),$$

求 $|I_n|$。

解答

从指数$j=0$至$n$，

$$|I_n|^2=\prod_{j=0}^n\left(1+2^{-2^{j+1}}\right).$$

恒等式$(1-q)\prod_{j=0}^n(1+q^{2^j})=1-q^{2^{n+1}}$取$q=1/4$，得$|I_n|^2=\frac43(1-2^{-2^{n+2}})$，取正平方根即得答案。

第 10 题

题目

已知 $5+6+7+\cdots+n$ 是完全平方数，则（　）

• A. $n$ 的取值有无数个
• B. $n$ 的最小值小于 $15$
• C. $n$ 为奇数
• D. $n\equiv 4\pmod 9$

解答

写$n(n+1)/2-10=m^2$，其中$n\ge5,m\ge0$，即$(2n+1)^2-8m^2=81$。$n=13,m=9$可行，故B正确。若$(u,m)$为正整数解$u^2-8m^2=81$且$u$奇，则

$$(u',m')=(3u+8m,u+3m)$$

仍是此方程的解，$u'$为奇数且严格增大。从$(27,9)$开始产生无穷多$n=(u-1)/2$，故A正确；下一个为$n=76$，否定C。

模$3$考察$u^2+m^2\equiv0$，得$3\mid u,m$。约去$9$后，新式右端为$9$，再次模$3$得$9\mid u,m$。于是$2n+1\equiv0\pmod9$，即$n\equiv4\pmod9$，D正确。

第 11 题

题目

已知抛物线 $x^2=4y$，$M(2,2)$，过 $M$ 点的直线交抛物线于 $A,B$ 两点。过 $A,B$ 两点作抛物线的切线交于点 $P$，求 $S_{\triangle ABP}$ 的最小值和 $P$ 的轨迹。

解答

设$A=(2s,s^2),B=(2t,t^2)$，$s\ne t$。弦方程$y=(s+t)x/2-st$过$M(2,2)$，所以$st=s+t-2$。两切线为$y=sx-s^2$与$y=tx-t^2$，其交点$P=(s+t,st)$，故$P$在$y=x-2$上。

反过来任取$u=s+t\in\mathbb R$，方程$z^2-uz+u-2=0$的判别式为$(u-2)^2+4>0$，确有两个不同实根，故整条直线都是轨迹。计算行列式得到

$$S_{ABP}=\frac{|s-t|^3}{2} =\frac{((u-2)^2+4)^{3/2}}2\ge4.$$

$u=2$时达到等号，故最小面积为$4$。