2023年清华大学强基计划数学试题 · 参考解答

本解析对应校订教学版。来源第 2、5、8、9 题的量词、数值或信息条件不足以形成预期问题，已在正式题面明确标记教学改编；不将改编内容宣称为原题。第 10 题按来源原条件解答，答案确为零。

答案速览

题号	答案
1	$270$
2	$[0,2/e]$（改编题）
3	$9/20$
4	$20$
5	$\{-4/5,4/5\}$（改编题）
6	$e^{1/e}$
7	$2$
8	$5\sqrt2$（改编题）
9	$4,13$（改编题）
10	$0$
11	$\{8,9,10\}$

逐题解析

第 1 题

题目

有六面旗，其中两面蓝、两面红、两面黄，同色旗除颜色外完全相同。从中取出至少一面，从上到下悬挂在同一旗杆上组成信号序列，求不同信号序列的种数。

解答

记三种颜色各使用 $a,b,c$ 面，其中 $0\le a,b,c\le2$，且 $a+b+c>0$。每种数量组合对应 $(a+b+c)!/(a!b!c!)$ 种序列。按总长度一至六分类，计数分别为

$$3,\ 9,\ 24,\ 54,\ 90,\ 90,$$

合计 $270$。例如长度四分为 $(2,2,0)$ 的三种颜色安排，各六种序列；以及 $(2,1,1)$ 的三种颜色安排，各十二种序列，共五十四种。

第 2 题

题目

【教学改编】求所有实数 $k$，使得对每个实数 $a$，均存在实数 $x>-a$ 满足 $\ln(x+a)=kax$。

解答

令 $t=x+a>0$，方程成为

$$H_a(t)=\ln t-ka t+ka^2=0.$$

当 $k=0$，取 $t=1$ 即可。

若 $k<0$，取 $a<0$，则 $ka>0$。$H_a$ 的最大值在 $t=1/(ka)$ 取得，为 $-\ln(ka)-1+ka^2$。令 $a\to-\infty$，此最大值趋于负无穷，故不可能对所有 $a$ 均有解。

设 $k>0$。当 $a\le0$ 时，$H_a$ 严格递增，从负无穷趋向正无穷，所以有解。当 $a>0$ 时，$H_a$ 两端均趋于负无穷，故有解等价于其最大值非负，即

$$ka^2-\ln(ka)-1\ge0.$$

要对一切 $a>0$ 成立，取左边关于 $a$ 的最小值。导数为 $2ka-1/a$，极小点为 $a=1/\sqrt{2k}$，极小值为

$$\frac12\ln\frac2k-\frac12.$$

所以 $k\le2/e$。综合得 $k\in[0,2/e]$。

来源写的是固定 $x$ 的等式对所有实数 $a$ 恒成立，连 $\ln(x+a)$ 的定义域都无法满足。本题改为“每个 $a$ 对应存在 $x$”，并求完整参数范围，是明确的教学改编。

第 3 题

题目

$11$ 个黑球、$9$ 个红球，每次从剩余球中等概率取出一个且不放回，剩下的球全为一种颜色时停止，求最后只剩红球的概率。

解答

预先将二十个球作等概率随机排列。按照排列依次取出，与题设过程等价。停止时剩余球的颜色，恰是排列末尾那个球的颜色。因此所求概率为 $9/20$。

第 4 题

题目

三个复数的模分别为 $1,5,5\sqrt2$，且实部、虚部均为整数，求这三个复数的积可能有多少个不同值。

解答

模为一的整数复数为 $\{1,-1,i,-i\}$。忽略这四种单位倍数，模为五的数可用

$$5,\quad 3+4i,\quad 3-4i$$

代表；模为 $5\sqrt2$ 的数可用这三者分别乘 $1+i$ 代表（平方和为五十的整数点只有绝对值组合 $(1,7),(5,5),(7,1)$）。 两个三元素代表集的乘积，去掉重复后为以下五类的单位倍数：

$$25+25i,\quad -5+35i,\quad35-5i,\quad-31+17i,\quad17-31i.$$

因为 $(3+4i)(3-4i)=25$，九个代表乘积恰缩为这五类。直接比较实虚部，可见五类彼此不是单位倍数；每类又有四个不同单位倍数。故共 $5\cdot4=20$ 个值。

第 5 题

题目

【教学改编】椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，$F$ 为左焦点，$A,B$ 为椭圆上两点且 $FA=5,FB=8$，求直线 $AB$ 斜率 $k$ 的所有可能值。

解答

修订后椭圆的长半轴 $a=5$，焦半距 $c=3$。对椭圆点 $(x,y)$，到左焦点的距离为 $5+3x/5$（由焦半径公式，亦可平方核对）。 所以 $FA=5$ 给 $x_A=0$，即 $A=(0,\pm4)$；$FB=8$ 给 $x_B=5$，即 $B=(5,0)$。斜率为 $\pm4/5$。 来源的半轴为 $2,\sqrt3$，左焦距只能落在 $[1,3]$，与题设五、八矛盾；更换椭圆是教学改编，不是有来源依据的恢复。

第 6 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\frac32$，$a_{n+1}=x^{a_n}$（$x>0$），求使数列有有限极限的 $x$ 的最大值。

解答

若数列收敛到有限 $L$，由于 $x>0$，由递推及连续性得 $L=x^L>0$，故

$$x=L^{1/L}\le e^{1/e}.$$

最后一步由 $\ln L/L$ 在 $L=e$ 处取最大值得到。

取 $x=e^{1/e}$。对 $0<t<e$，$\ln t<t/e$，故 $t<e^{t/e}<e$。从 $a_1=3/2<e$ 出发，数列严格递增且小于 $e$，因而收敛；极限方程在这一情形只有 $L=e$。上界可以达到，最大值为 $e^{1/e}$。

第 7 题

题目

方程 $\frac4{x+1}+\frac9{x+2}+\frac{16}{x+3}=(4x+5)(2-x)$ 有几个正实数解？

解答

对 $x>0$，三个分母均为正，通分整理并除去非零常数后得到

$$(x-1)(4x^4+25x^3+41x^2+x-23)=0.$$

四次多项式 $G$ 满足 $G(0)=-23,G(1)=48$，且

$$G'(x)=16x^3+75x^2+82x+1>0\qquad(x>0).$$

因此它在 $(0,1)$ 恰有一个根；再加 $x=1$，共两个正实根。

第 8 题

题目

【教学改编】已知 $M(8,1)$，直线 $L$ 可绕 $N(1,0)$ 任意转动，点 $P$ 可在 $L$ 上移动。当 $L$ 与 $P$ 均可变化时，求 $|PN|+2|PM|$ 的最小值。

解答

三角不等式给

$$PN+2PM=(PN+PM)+PM\ge MN+PM\ge MN=5\sqrt2.$$

取 $L=MN,P=M$ 达到等号，故最小值为 $5\sqrt2$。 这里将 $L$ 明确为可变化的直线。若 $L$ 是一条未给斜率的固定直线，通常不允许 $P=M$，答案依赖于 $L$，不能直接写出上述数值。

第 9 题

题目

【教学改编】从 $2$ 到 $99$ 的整数中取两个不同数，把它们的和告诉甲，把它们的积告诉乙。双方均知道数的范围、互异条件和告知规则，且均如实作出正确推理。甲说：“虽然我不知道是哪两个数，但是肯定乙也不知道。”乙说：“本来我不知道，但听到甲的话，现在我知道了。”甲说：“现在我也知道了。”求这两个数。

解答

这是有限信息筛选题。将所有候选无序对写作 $2\le a<b\le99$。甲第一次发言表示：与其所知和相容的每一对数，都有不唯一的积。由所有候选对按和、积分类，得到甲第一次发言后可能的和为

$$11,17,23,27,29,35,37,41,47,53.$$

乙第二次发言表示：其所知积，在上述候选中只对应一对。甲最后的发言又表示：在通过乙筛选的候选中，其所知和只对应一对。逐项执行这两轮唯一性筛选，唯一留下 $(4,13)$。

下面给出完整、可复算的穷举证明；范围有限，程序每一步恰对应一次陈述，不使用猜答案或随机检验。

from collections import defaultdict, Counter

pairs = [(a, b) for a in range(2, 100) for b in range(a + 1, 100)]
by_sum, by_product = defaultdict(list), defaultdict(list)
for a, b in pairs:
    by_sum[a + b].append((a, b))
    by_product[a * b].append((a, b))

allowed_sums = {
    s for s, candidates in by_sum.items()
    if len(candidates) > 1
    and all(len(by_product[a * b]) > 1 for a, b in candidates)
}
after_A = [(a, b) for a, b in pairs if a + b in allowed_sums]
product_counts = Counter(a * b for a, b in after_A)
after_B = [(a, b) for a, b in after_A if product_counts[a * b] == 1]
sum_counts = Counter(a + b for a, b in after_B)
answer = [(a, b) for a, b in after_B if sum_counts[a + b] == 1]
assert sorted(allowed_sums) == [11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53]
assert answer == [(4, 13)]

来源把同一个和告诉两人，二人信息相同，不可能发生这种信息更新。仅把乙改为听积仍不足以修复：若范围仍为 $2$ 至 $30$，第一次允许的和只有 $11,17$，第二次筛选后各仍有三对、六对候选，甲最后均不能确定。本题因此同时将范围改为 $2$ 至 $99$，明确标作教学改编。

第 10 题

题目

$p,q$ 均为质数，$p\mid 7p+1$，$q\mid 7p+1$，求 $(p,q)$ 的组数。

解答

任何质数 $p$ 都满足 $7p+1\equiv1\pmod p$，不可能有 $p\mid7p+1$。故不论 $q$ 如何选择，均无解，组数为零。来源题面确实如此；没有证据把首个 $7p+1$ 擅自改成 $7q+1$。

第 11 题

题目

正整数 $a,b,c,x,y,z$ 满足 $ax=b+c$，$by=c+a$，$cz=a+b$，求 $xyz$ 的可能值。

解答

令 $T=a+b+c$，则 $a(x+1)=b(y+1)=c(z+1)=T$，因此

$$\frac1{x+1}+\frac1{y+1}+\frac1{z+1}=1.$$

不妨将 $u=x+1,v=y+1,w=z+1$ 排序为 $2\le u\le v\le w$。由 $1\le3/u$ 得 $u\le3$。

若 $u=3$，三项均不大于 $1/3$，只能 $u=v=w=3$，于是 $xyz=8$。 若 $u=2$，则 $1/v+1/w=1/2$，化为 $(v-2)(w-2)=4$，从而 $(v,w)=(3,6)$ 或 $(4,4)$，给 $xyz=10$ 或 $9$。 这三种均可实现：依次取 $(a,b,c)=(1,1,1),(3,2,1),(2,1,1)$，分别对应 $(x,y,z)=(2,2,2),(1,2,5),(1,3,3)$。所以全部可能值为 $\{8,9,10\}$。