2022年清华大学强基计划数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5	6	7
答案	$-22$	$4$	$3\sqrt3$	$-1,3$	$4$	$1/32$	$504$

题号	8	9	10	11	12	13
答案	$1297$	最大$9$，最小$1$	$2/\pi$	ABD	$	\vec a

逐题解析

第 1 题

题目

定义运算 $\&$ 满足 $x\&(y\&z)=x\&y+z$、$x\&x=0$，求 $2000\&2022$。

解答

令$y=z=x$，得$x\&0=x$。再令$z=y$，得$x=x\&y+y$，所以$x\&y=x-y$。该运算也满足原式，故答案为$2000-2022=-22$。

第 2 题

题目

若 $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=1$，求 $|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|$ 的最大值。

解答

记$a_1,\ldots,a_5=a,b,c,d,e$，下标循环。对任意符号$\varepsilon_i\in\{-1,1\}$，

$$\sum_{i=1}^5\varepsilon_i(a_i-a_{i+1}) =\sum_{i=1}^5(\varepsilon_i-\varepsilon_{i-1})a_i.$$

五个循环符号的变号次数为偶数，至多为$4$，故系数平方和至多$16$。由柯西不等式，上式至多$4$。取各符号为对应差的符号，便得到所求绝对值之和不超过$4$。当$(a,b,c,d,e)=(0,-1/2,1/2,-1/2,1/2)$时取等号。

第 3 题

题目

已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，求 $|(z-2)(z+1)^2|$ 的最大值。

解答

设$t=\operatorname{Re}z\in[-1,1]$，所求量的平方为

$$(5-4t)(2+2t)^2.$$

令$u=2+2t\in[0,4]$，则为$u^2(9-2u)$，其导数为$6u(3-u)$，最大值为$27$。取$t=1/2$可达，故答案为$3\sqrt3$。

第 4 题

题目

在复平面内，复数 $z_1$ 的终点在线段（端点为 $1+i$ 与 $1+ai$）上移动，$|z_2|=1$。若 $z=z_1+z_2$ 的终点构成区域的面积为 $\pi+4$，求 $a$ 的可能值。

解答

设线段长度为$L=|a-1|$。沿此线段移动的单位圆周扫出的集合，是单位半径的胶囊形区域减去同时位于两个端点单位开圆盘内的区域。理由是：一点到线段上各点的距离连续，其最小值不超过$1$且最大值不小于$1$，恰为落在某个移动圆周上的条件；最大距离在端点达到。

当$L\ge2$时两端点开圆盘无交，面积为$\pi+2L$；当$L<2$时，面积严格小于$\pi+2L<\pi+4$。因此只能有$L=2$，即$a=-1$或$3$。不能在任意短线段上直接把圆周扫过的面积当成胶囊面积。

第 5 题

题目

（教学补订）在棱长为$2$的正方体$[0,2]^3$中，以平面$x+y+z=3$截取满足$x+y+z\ge3$的部分，求所得凸多面体的体积。选项：$\dfrac{23}{6},\dfrac{13}{3},3,4$。

解答

题面校注：来源图未在原正式稿中附入，且参考解答跳过此题。现明确采用正方体被中心平面截取的凸实体作为教学补订，不冒充原题文字的完整恢复。

变换$(x,y,z)\mapsto(2-x,2-y,2-z)$保持体积，并把$x+y+z\ge3$与$x+y+z\le3$两半互换；公共截面的三维体积为$0$。故所求体积为$2^3/2=4$。

第 6 题

题目

函数 $f:[0,1]\to\mathbb R$ 满足：对所有$x\in[0,1]$，$f(x)+f(1-x)=1$、$f(x)=2f(x/5)$，且当 $0\le x_1\le x_2\le1$ 时 $f(x_1)\le f(x_2)$。求 $f(1/2022)$。

解答

题面校注：两恒等式只能在所指定的$[0,1]$区间内使用。若要求在全体实数上成立，则由两式可推出$f(t+4)=f(t)+1$；再分别用五次平移与$f(5t)=2f(t)$，会得到同一差值同时为$5$和$2$，不存在这样的函数。

在订正后的定义域内，$f(0)=0$，$f(1)=1$，$f(1/2)=f(1/5)=1/2$。单调性给出$f(x)=1/2$（$1/5\le x\le1/2$）。而

$$f(1/2022)=\frac1{16}f(625/2022)=\frac1{32}.$$

这些条件相容：以五进制中只用数字$0,4$的 Cantor 型集合定义连续分布函数，在每个中间删去区间取常数，即得满足条件的单调函数。

第 7 题

题目

用蓝、红两色给一排 $10$ 个方格染色，要求不能出现连续三个蓝色方格，求染色方法数。

解答

令$u_n$为不含连续三个蓝格的长度$n$染色数，空串计$u_0=1$，另有$u_1=2,u_2=4$。按末尾连续蓝格数$0,1,2$分类，得$u_n=u_{n-1}+u_{n-2}+u_{n-3}$。递推得到

$$u_3,\ldots,u_{10}=7,13,24,44,81,149,274,504.$$

第 8 题

题目

对于三个正整数 $a,b,c$，$\sqrt{a+b}$、$\sqrt{b+c}$、$\sqrt{c+a}$ 为三个连续正整数，求 $a^2+b^2+c^2$ 的最小值。

解答

交换变量不影响平方和，可设三个平方根依次为$k-1,k,k+1$，从而三个变量为

$$\frac{k^2}{2}-2k,\qquad \frac{k^2}{2}+1,\qquad \frac{k^2}{2}+2k.$$

整数性要求$k$为偶数，正性要求$k>4$，故$k\ge6$。三个表达式在偶数$k\ge6$上均递增，最小三元组为$(6,19,30)$，平方和$36+361+900=1297$。

第 9 题

题目

已知 $a^2+ab+b^2=3$，求 $a^2+b^2-ab$ 的最大值和最小值。

解答

由$(a-b)^2\ge0$及$(a+b)^2\ge0$，有$-3\le ab\le1$。目标为$3-2ab$，所以最小值$1$，在$a=b=\pm1$时达到；最大值$9$，在$a=-b=\pm\sqrt3$时达到。

第 10 题

题目

计算 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1n\sin\frac{(2k-1)\pi}{2n}$。

解答

这是$\sin(\pi x)$在$[0,1]$上的中点黎曼和，其极限为

$$\int_0^1\sin(\pi x)\,dx=\frac2\pi.$$

第 11 题

题目

对于曲线 $C:(x^2+y^2)^3=16x^2y^2$，判断：

(A) 仅过 $(0,0)$ 一个整点；(B) 曲线上点距原点最大距离为 $2$；(C) 所围成图形面积大于 $4\pi$；(D) 曲线为轴对称图形。

解答

题面校注：原正式稿中的减号依另一来源校正为加号。用极坐标表示，非原点满足$r^2=4\sin^2(2\theta)$，故最大半径为$2$，围成面积为

$$\frac12\int_0^{2\pi}4\sin^2(2\theta)\,d\theta=2\pi.$$

方程对$x,y$各自变号均不变，故轴对称。整点满足$x^2+y^2\le4$：若某坐标为$0$，另一坐标也为$0$；若两者非零，只需检查$(|x|,|y|)=(1,1)$，其左右两边为$8,16$，不成立。故只有原点为整点，正确选项为ABD。

第 12 题

题目

任意四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AC}=\vec a$、$\overrightarrow{BD}=\vec b$，用 $\vec a,\vec b$ 表示 $(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$。

解答

以$A$为原点，设$\overrightarrow{AB}=\vec u$，则$C=\vec a,D=\vec u+\vec b$。于是

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b,\qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec a-\vec b.$$

点积为$|\vec a|^2-|\vec b|^2$。

第 13 题

题目

已知 $ax+by=1$、$ax^2+by^2=2$、$ax^3+by^3=7$、$ax^4+by^4=18$，求 $ax^5+by^5$。

解答

记$S_k=ax^k+by^k$，$u=x+y,v=xy$，则$S_{k+2}=uS_{k+1}-vS_k$。由$7=2u-v$和$18=7u-2v$，解得$u=4/3,v=-13/3$。因此

$$S_5=\frac43\cdot18+\frac{13}3\cdot7=\frac{163}3.$$

$u^2-4v=172/9>0$，且$x,y$均非零，前三个矩条件并不矛盾：以相异实根$x,y$解线性方程$ax+by=1,ax^2+by^2=2$后，后两项由同一递推自动满足。