2021年清华大学自强计划数学试卷 · 参考解答

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$8$	2	不存在
3	两者均存在	4	$225$
5	$105^\circ$	6	$\sqrt5-1$
7	$19/55$	8	$0$
9	最小$2\sqrt6/9$，最大$\sqrt{13}$	10	$4/3$
11	$\sqrt{15}/4$	12	C
13	ACD	14	$60585$
15	ABCD	16	D，共$5$组

逐题解析

第 1 题

题目

$a_n=\sqrt{\dfrac{2n-1}{4n^2+1}}$，前 $n$ 项和为 $S_n$，求与 $S_{128}-S_{32}$ 最接近的整数。

解答

对$n\ge2$，平方比较给

$$\frac1{\sqrt{2n+2}}<a_n<\frac1{\sqrt{2n}}.$$

再以递减函数$1/\sqrt{2t}$的积分上下夹逼，得到

$$\sqrt{260}-\sqrt{68} <\sum_{n=33}^{128}a_n <\sqrt{256}-\sqrt{64}=8.$$

左端大于$16-8.3=7.7>7.5$，所以最近的整数为$8$。

第 2 题

题目

若 $x,y$ 为两个不同的质数，是否存在正偶数 $n$，使 $(x+y)\mid(x^n+y^n)$？

解答

若$n$为正偶数，模$x+y$有$x^n+y^n\equiv2y^n$。不同素数满足$\gcd(y,x+y)=1$，因此整除条件会推出$x+y\mid2$，但$x+y\ge5$，矛盾。

第 3 题

题目

已知

$$f(x)=\frac{x+1/x}{\lfloor x\rfloor+\lfloor1/x\rfloor+2},$$

取$x\in\mathbb R\setminus\{0\}$且分母不为零。分别判断是否存在$x$使$f(x)=\frac43$或$\frac85$。

解答

题面校注：负数$x$是自然定义域的一部分，不能不加说明地只考虑$x>0$；$x=0$及分母为零的点必须排除。

令$x=-t$，其中$2<t<3$，则$\lfloor x\rfloor=-3,\lfloor1/x\rfloor=-1$，所以$f(x)=(t+1/t)/2$。要$f=4/3$可取$t=(4+\sqrt7)/3\in(2,3)$；要$f=8/5$可取$t=(8+\sqrt{39})/5\in(2,3)$。两个负数$x=-t$均满足定义域条件，故两者都存在。

第 4 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}a_n-2n^2(a_{n+1}-a_n)+1=0$，$a_1=1$，前 $n$ 项和为 $S_n$，求 $S_{15}$。

解答

由递推解出

$$a_{n+1}=\frac{2n^2a_n+1}{2n^2-a_n}.$$

归纳证明$a_n=2n-1$：初值成立；代入后，分母$2n^2-2n+1>0$，分子恰为$(2n+1)(2n^2-2n+1)$，于是$a_{n+1}=2n+1$。所以$S_{15}=1+3+\cdots+29=225$。

第 5 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$\angle DAC=15^\circ$，求 $\angle ABC$ 的最大值。

解答

令$B=(0,0),D=(1,0),C=(2,0)$，设$A=(r\cos\beta,r\sin\beta)$，$r>0$，$\beta=\angle ABC\in(0,\pi)$。夹角条件给

$$r^2-r\{3\cos\beta+(2+\sqrt3)\sin\beta\}+2=0.$$

存在正实根要求括号中的量至少为$2\sqrt2$。在$\beta=105^\circ$时该量为$2\sqrt2$，而$\beta>105^\circ$时它严格递减，故不能再满足要求。取$\beta=105^\circ,r=\sqrt2$即达到，最大值为$105^\circ$。

第 6 题

题目

四棱锥 $P-ABCD$ 中，$\angle APB=\angle APD=\angle PBC=\angle PDC=90^\circ$，且 $AP=PB=PD=BC=CD=2$，求四棱锥的高。

解答

以$P$为原点，令$A=(0,0,2)$。由$PA\perp PB,PD$及$PB=PD=2$，可取

$$B=(2\cos\theta,2\sin\theta,0),\quad D=(2\cos\theta,-2\sin\theta,0),\quad 0<\theta<\pi/2.$$

$B,D$不能反向共线，因为条件$C\cdot B=C\cdot D=4$会矛盾。由$BC=CD=2$与直角条件，$|C|^2=8$且$C=(2/\cos\theta,0,z)$。底面共面使$C$满足平面$ABD$的方程$x/(2\cos\theta)+z/2=1$，故$z=2-2/\cos^2\theta$。

记$q=1/\cos^2\theta$，则$|C|^2=8$化为$q+(1-q)^2=2$，正根为$q=(1+\sqrt5)/2$。所求高是原点到该平面的距离：

$$H=\frac2{\sqrt{q+1}}=\frac2q=\sqrt5-1.$$

该$q>1$确给非退化凸底面，故几何构型存在。

第 7 题

题目

从 $\{1,2,\ldots,12\}$ 中任取 $3$ 个数，求其和能被 $3$ 整除的概率。

解答

三个余数类各有$4$个数。和能被$3$整除时，或三数余数相同，或三个余数各一个，合计$3\binom43+4^3=76$种。总样本数$\binom{12}3=220$，概率为$19/55$。

第 8 题

题目

（教学补订）令$f(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-100)$，$f'(x)=0$的$99$个不同实根记为$a_i$（$i=1,\ldots,99$）。求

$$\sum_{i=1}^{99}\sum_{i\ne j}\bigl[(a_i-a_j)^{-1}\bigr].$$

解答

题面校注：原稿把多项式写成含$f(x-1)$的函数方程，不能支持“导数有99根”的叙述；现明确补订为100个不同一次因子的乘积。

Rolle定理保证$f'$在每个$(j,j+1)$内有一个根，导数次数为$99$，因此这些根恰为全部根且互异。双重和中每个有序对$(i,j)$与$(j,i)$相抵：

$$\frac1{a_i-a_j}+\frac1{a_j-a_i}=0.$$

故总和为$0$。

第 9 题

题目

复数 $z$ 满足 $|z|=1$，求 $|z^3-z+2|$ 的最值。

解答

设$z=e^{i\theta},t=\cos\theta\in[-1,1]$，则

$$|z^3-z+2|^2=8-4t^2+16t^3-16t.$$

导数为$8(3t-2)(2t+1)$，只须比较$t=-1,1,-1/2,2/3$。对应值分别为$4,4,13,8/27$，故最大值$\sqrt{13}$、最小值$\sqrt{8/27}=2\sqrt6/9$；上述$t$均可取，极值达到。

第 10 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$D,E$ 分别为 $BC,AC$ 的中点，$AD=1,BE=2$，求 $S_{\triangle ABC}$ 的最大值。

解答

设重心为$G$，则$GA=2/3,GB=4/3$。三角形面积为$3[ABG]$，故

$$[ABC]=\frac32\,GA\cdot GB\,|\sin\angle AGB| \le\frac43.$$

取$GA\perp GB$，再定义$C$使$G$为重心，就得到满足两条中线长度的非退化三角形并达到等号。

第 11 题

题目

矩形 $ABCD$ 中，$AB=2,BC=1$。折叠使 $A,C$ 重合，折痕为 $MN$；打开平面 $ADMN$，使二面角 $A-MN-C=\pi/3$。求直线 $MN$ 与直线 $AC$ 的距离。

解答

折痕是$AC$的垂直平分线，设它与原对角线交于$O$，则$OA=OC=\sqrt5/2$。折叠后，$OA,OC$仍在垂直折痕的同一截面内，且夹角为二面角$\pi/3$。故该截面中的等腰三角形$AOC$满足

$$d(O,AC)=OA\cos(\pi/6)=\frac{\sqrt{15}}4.$$

折痕垂直此截面，以上从$O$到$AC$的垂线同时垂直两条空间直线，因而就是所求公垂线长。

第 12 题

题目

双曲线 $x^2-y^2=a^2$（$a>0$）的左右顶点为 $A,B$，$P$ 为右支上异于顶点的一点，设三角形内角 $\angle PAB=\alpha,\angle PBA=\beta,\angle APB=\gamma$。判断下列等式：A. $\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=0$；B. $\tan\alpha+\tan\beta-\tan\gamma=0$；C. $\tan\alpha+\tan\beta+2\tan\gamma=0$；D. $\tan\alpha+\tan\beta-2\tan\gamma=0$。

解答

排除顶点使三角形非退化。利用关于$x$轴的对称性可令$P=(u,v)$且$v>0$，于是

$$\tan\alpha=\frac v{u+a},\qquad \tan\beta=-\frac v{u-a},\qquad \tan\alpha\tan\beta=-1.$$

由$\alpha+\beta=\pi-\gamma$，

$$\tan\alpha+\tan\beta=(1-\tan\alpha\tan\beta)\tan(\alpha+\beta)=-2\tan\gamma.$$

所以C正确，其余等式均不成立。这里$\gamma$不为直角，因为$(P-A)\cdot(P-B)=2v^2>0$。

第 13 题

题目

（教学补订）已知 $\dfrac{x|x|}4+\dfrac{y|y|}3=1$，$y=f(x)$。判断：A. $f$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减；B. $2f(x)+\sqrt3x=0$ 有实数解；C. 图象不过第三象限；D. 值域为 $\mathbb R$。

解答

题面校注：$x^{|x|}$在负实数上一般没有实数定义，不能给出题称的$\mathbb R$上函数。此题明确作教学补订，采用有符号平方$x|x|$，不声称已找到缺失原件。

函数$g(t)=t|t|$在$\mathbb R$上连续严格递增，值域为$\mathbb R$，所以

$$f(x)=g^{-1}\left(3-\frac34g(x)\right)$$

在$\mathbb R$上严格递减且值域为$\mathbb R$，A、D正确。若$y=-\sqrt3x/2$，则$y|y|/3=-x|x|/4$，原式左端为$0$，不可能等于$1$，B错误。若$x,y$都负，左端小于$0$，所以图象不经过第三象限，C正确。

第 14 题

题目

$a_n$ 是离 $\sqrt n$ 最近的整数，求 $S_{2021}$。

解答

$\sqrt n$不会恰为半整数。最近整数为$k$当且仅当$k^2-k+1\le n\le k^2+k$，共$2k$项。$k=1,\ldots,44$均完整出现，覆盖到$1980$；其余$41$项都等于$45$。故

$$S_{2021}=2\sum_{k=1}^{44}k^2+41\cdot45 =\frac{44\cdot45\cdot89}3+1845=60585.$$

第 15 题

题目

$a,b,c$ 成等差数列且$(a,b)\ne(0,0)$，点 $P$ 到直线 $l:ax+by+c=0$ 的垂足为 $M$，$P(-1,0),N(2,1)$。判断：A. $l$ 过定点；B. $P$ 到 $l$ 的最大距离为 $2\sqrt2$；C. $MN$ 的最大值为 $3\sqrt2$；D. $MN$ 的最小值为 $\sqrt2$。

解答

由$c=2b-a$，直线族为$a(x-1)+b(y+2)=0$，恰为通过$K=(1,-2)$的所有直线。点$P$到这些直线的距离至多$PK=2\sqrt2$，当直线垂直$PK$时达到。

垂足$M$的轨迹是以$PK$为直径的圆（包括$P,K$），圆心$H=(0,-1)$、半径$\sqrt2$。而$NH=2\sqrt2$，所以$MN$最小、最大分别为$\sqrt2,3\sqrt2$，两者均达到，四项全部正确。

第 16 题

题目

实数 $a,b,c$ 满足 $a+bc=b+ac=c+ba=1$。判断：A. $a=b=c$；B. $a,b,c$ 不全相等；C. $(a,b,c)$ 有 $2$ 组；D. $(a,b,c)$ 有 $5$ 组。

解答

两式相减给$(a-b)(1-c)=(b-c)(1-a)=(c-a)(1-b)=0$。若三数相同，则$a^2+a=1$，得到两组相等解。若不全相同，不妨$a\ne b$，则$c=1$；原式给$ab=0,a+b=1$，即$(a,b)=(0,1)$或$(1,0)$。所有不全相等解恰为$(0,1,1)$的三个排列。合计$5$组，D正确；A、B都不能作为对所有解成立的结论。