2021年清华大学新领军数学试卷 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	$235$	$9$	$42$	$7$	$80$

题号	6	7	8	9	10
答案	$720$	$48$	$240(\sqrt2-1)$	$36$	$2$

题号	11	12	13	14	15
答案	$28$	$67$	$524800$	$6$	$9$

逐题解析

第 1 题

题目

正整数 $a,b,c,d$ 满足 $a^3=b^2,c^5=d^4,c-a=77$，求 $d-b$。

解答

按素因子指数比较，$a^3=b^2$给$a=u^2,b=u^3$，$c^5=d^4$给$c=v^4,d=v^5$，其中$u,v$为正整数。于是$(v^2-u)(v^2+u)=77$。两个正因子对只能为$(1,77)$或$(7,11)$：前者给$v^2=39$不可能；后者给$v=3,u=2$。所以$d-b=3^5-2^3=235$。

第 2 题

题目

对任意 $x\in\mathbb R$，$f(x)=2x^4+mx^3+(m+6)x^2+mx+2>0$，求正整数 $m$ 的最大值。

解答

$x=0$时$f(0)=2>0$。当$x\ne0$，令$t=x+1/x$，则

$$f(x)/x^2=2t^2+mt+m+2,\qquad t\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty).$$

对正整数$m$，$t\ge2$部分始终为正。置$t=-u,u\ge2$，要$2u^2-mu+m+2>0$。当$m\le8$时最小值在$u=2$达到，等于$10-m>0$；当$m\ge8$时最小值为$m+2-m^2/8$，故要求$m<4+4\sqrt2$。最大正整数为$9$，而$m\ge10$会在可实现的$u=m/4$处使$f\le0$。

第 3 题

题目

矩阵 $X$ 满足：元素属于 $\{0,1,-1\}$；每行每列不全为 $0$；

去掉 $0$ 后，每行每列均依次为 $1,-1,\ldots,-1,1$。

三阶这样的矩阵有 $7$ 个，问四阶有多少个？

解答

这是四阶交错符号矩阵的直接分类。首末行、首末列不能出现$-1$，否则相应列或行的非零序列无法以$1$开头、结尾；每行至多一个$-1$，因为两个$-1$至少需要五个非零项。故$-1$只可能在中央$2\times2$中，且至多两个。

没有$-1$时，每行列恰有一个$1$，共$4!=24$个。只有一个$-1$时，其位置有四种。以位置$(2,2)$为例，同一行左边的$1$被迫在第一列，右边的$1$可在第三或第四列；同一列上方的$1$被迫在第一行，下方的$1$可在第三或第四行。四种选择均唯一补全其余行列，共$4$个；四个中央位置由对称性各贡献$4$，共$16$个。

有两个$-1$时，它们必须在中央方块的一条对角线上。给定这两个位置后，每行列中的交错要求唯一确定所有其他项；两条对角线各给一个合法矩阵，共$2$个。总数$24+16+2=42$。

第 4 题

题目

互不同构的 $k$ 阶群的个数记为 $a_k$，求 $a_2+a_3+a_4+a_5+a_6$。

解答

素数阶群必为循环群，所以$a_2=a_3=a_5=1$。四阶群若有四阶元素则为循环群$C_4$；否则三个非单位元素阶都为$2$，得到$C_2\times C_2$，所以$a_4=2$。

六阶群的三阶子群由 Sylow 定理唯一，故正规；取生成元$r$及一个二阶元素$s$，共轭作用只能为$srs^{-1}=r$或$r^{-1}$。前者给$C_6$，后者给$S_3$，两者均存在且不构同，所以$a_6=2$。所求和为$1+1+2+1+2=7$。

第 5 题

题目

二元函数

$$f(x,y)=\sqrt{4y^2-12y+10}+\sqrt{18x^2-18x+5}+\sqrt{18x^2+4y^2-12xy+6x-4y+1}$$

的最小值为 $a$，求 $\lfloor8a^2\rfloor$。

解答

取平面点$A=(1,2),B=(2,1),Q=(3x,3x),P=(2y-1,0)$，则目标恰为$AQ+QP+PB$。把$B$关于$x$轴反射为$B'=(2,-1)$，有$PB=PB'$，三角不等式给

$$AQ+QP+PB'\ge AB'=\sqrt{10}.$$

线段$AB'$依次与$y=x$、$y=0$交于$Q=(5/4,5/4)$、$P=(5/3,0)$，所以取$x=5/12,y=4/3$可达等号。因此$a=\sqrt{10}$，$\lfloor8a^2\rfloor=80$。

第 6 题

题目

求 $\displaystyle\int_0^{+\infty}x^6e^{-x}\,dx$。

解答

令$I_m=\int_0^\infty x^me^{-x}\,dx$。分部积分得$I_m=mI_{m-1}$，因$x^me^{-x}\to0$，无穷端边界项为零；$I_0=1$。所以$I_6=6!=720$。

第 7 题

题目

已知

$$f(x)=16\int_{\pi^2/4+\cos(3x+\pi/2)}^{25\pi^2/4+2x^2}\sin\sqrt t\,dt,$$

求 $f'(0)$。

解答

按变上、下限积分求导，

$$f'(0)=16\left[\sin(5\pi/2)\cdot0-\sin(\pi/2)\cdot(-3)\right]=48.$$

在$0$附近上下限均为正，所用被积函数与求导规则合法。

第 8 题

题目

求 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{120}{\sqrt{n^2+kn}}$。

解答

原式为$\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}120/\sqrt{1+k/n}$，是连续函数在$[0,1]$上的左端点黎曼和，极限为

$$120\int_0^1(1+t)^{-1/2}\,dt=240(\sqrt2-1).$$

第 9 题

题目

求 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left[\frac12(2^x+3^x)\right]^{4/x}$。

解答

取对数后极限为

$$4\lim_{x\to0}\frac{\ln((2^x+3^x)/2)}x =4\frac{\ln2+\ln3}{2}=2\ln6.$$

指数函数连续，所求极限为$e^{2\ln6}=36$。

第 10 题

题目

$f_n(x)=x^{n+1}-2x^n+3x^{n-1}-2x^{n-2}+3x-3$（$n\in\mathbb N^*,n\ge4$）。记 $f_n(x)=0$ 的实根个数为 $a_n$，求 $\max\{a_4,a_5,\ldots,a_{2021}\}$。

解答

因式分解为

$$f_n(x)=(x-1)\left[x^{n-2}(x^2-x+2)+3\right].$$

$x^2-x+2>0$。当$n$偶时，方括号恒正，只有根$1$。当$n$奇时，方括号在$x\ge0$上为正；令$x=-t<0$，它变成$3-t^{n-2}(t^2+t+2)$，关于$t>0$严格递减，从$3$降至$-\infty$，恰有一个负根。故$a_n$分别为$1,2$，所求最大值为$2$。

第 11 题

题目

矩阵

$$\begin{pmatrix}t^2+2t+2&0&0&t\\0&2t+1&t&t\\0&t&3t+1&t\\t&t&t&8t+1\end{pmatrix}$$

的行列式为 $F(t)$，求 $F'(0)$。

解答

行列式展开中，非恒等置换至少含两个非对角元，每个均含因子$t$，所以它们不贡献一次项。只需求对角乘积 $(t^2+2t+2)(2t+1)(3t+1)(8t+1)$的一次系数，等于$2+2(2+3+8)=28$。

第 12 题

题目

矩阵 $\begin{pmatrix}4&1&1&1\\1&4&1&1\\1&1&4&1\\1&1&1&4\end{pmatrix}$ 的特征值为 $\lambda_1\ge\lambda_2\ge\lambda_3\ge\lambda_4$，求 $\lambda_1^2+\lambda_3^2+\lambda_4^2$。

解答

矩阵为$3I+J$，其中$J$为全$1$矩阵。向量$(1,1,1,1)$对应特征值$7$，与它正交的三维空间上$J=0$，故其余三个特征值均为$3$。所求为$7^2+3^2+3^2=67$。

第 13 题

题目

$A=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&3&1\\-1&1&3\end{pmatrix}$，$A^{10}=(b_{ij})$，求 $b_{22}$。

解答

矩阵为分块下三角矩阵，右下$2\times2$块为$B=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$，所以$b_{22}$是$B^{10}$的第一对角元。$B$对特征向量$(1,1),(1,-1)$的特征值分别为$4,2$，故

$$b_{22}=\frac{4^{10}+2^{10}}2=524800.$$

第 14 题

题目

已知：若复平面多项式 $f(z),g(z)$ 和 $r>0$ 满足在 $|z|=r$ 上 $|g(z)|<|f(z)|$，则在 $|z|<r$ 中，$f(z)$ 与 $f(z)+g(z)$ 的零点数相等（计重数）。求 $z^9+2z^5-8z^3+3z+1$ 在 $1<|z|<2$ 上的零点数（计重数）。

解答

在$|z|=1$上，$|-8z^3|=8>1+2+3+1=7$，所以题给定理表明单位圆内恰有$3$个零点，且圆周上无零点。在$|z|=2$上，

$$|z^9|=512>2\cdot32+8\cdot8+3\cdot2+1=135,$$

故半径$2$圆内有$9$个零点，圆周上也无零点。因此开圆环内计重数有$9-3=6$个零点。

第 15 题

题目

线性方程组

$$\begin{cases}a_1+2a_2+a_3+a_4=0,\\3a_1+aa_2+4a_3+3a_4=0,\\5a_1+8a_2+6a_3+ba_4=0\end{cases}$$

的解空间维数为 $2$，求 $|a+b|$。

解答

四个未知量的解空间维数为$2$，等价于系数矩阵秩为$2$。第二行减去第一行的$3$倍，第三行减去第一行的$5$倍，得到后两行

$$(0,a-6,1,0),\qquad(0,-2,1,b-5).$$

第一行首坐标非零，而第二行恒非零，因此秩为$2$当且仅当后两行成比例。第三坐标同为$1$，比例只能为$1$，所以$a=4,b=5$，答案为$9$。