2021年清华大学强基计划数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$a<3/\sqrt[3]4$	2	$30$
3	$2^{15}$	4	$f\equiv1/2$
5	$2\sqrt3/27$	6	$105^\circ$
7	$\sqrt3/18$	8	$60$
9	见唯一实根表达式	10	$810$
11	$0^\circ,180^\circ$	12	$(x+1/2)^2+(y-3/2)^2=9/2$
13	和不定，积$3/4$	14	$1/3$
15	$AE=12,BD=22$	16	$1,2,\ldots,8$

逐题解析

第 1 题

题目

若恰有一个实数 $x$ 使 $x^3-ax-1=0$ 成立，求 $a$ 的取值范围。

解答

题面校注：来源为“恰有一个”，并非原正式稿中的“存在”。

方程等价于$a=x^2-1/x$，其中$x\ne0$。在$(0,\infty)$上该函数严格递增且值域为$\mathbb R$，故总有一个正根。在负半轴上导数$2x+1/x^2$仅在$x=-2^{-1/3}$处为零，函数先减后增，两端趋于$+\infty$，最小值为$3/\sqrt[3]4$。不出现负根当且仅当$a$严格小于此数；等号时还会多出一个负根。

第 2 题

题目

求满足 $\left\lfloor x/2\right\rfloor+\left\lfloor x/3\right\rfloor+\left\lfloor x/5\right\rfloor=x$ 的实数 $x$ 的组数。

解答

左端为整数，故$x$为整数。唯一地写成$x=30q+r$，其中$q\in\mathbb Z,0\le r<30$，方程变为

$$q=r-\lfloor r/2\rfloor-\lfloor r/3\rfloor-\lfloor r/5\rfloor.$$

每个$r$恰确定一个整数$q$，且不同$r$给出的$x$模$30$不同，故恰有$30$个解。

第 3 题

题目

已知 $m,n$ 的最大公因数为 $10!$、最小公倍数为 $50!$，求有序数对 $(m,n)$ 的个数。

解答

写$m=10!u,n=10!v$，则$\gcd(u,v)=1$且$uv=50!/10!$。该商含有全部不超过$50$的$15$个素因子。每个素数的完整幂必须全部分给$u$或$v$，各有两种独立选择，故有序数对数为$2^{15}$。

第 4 题

题目

$a$ 为实常数，$f:\mathbb R\to\mathbb R$，$f(0)=\frac12$，且对任意实数$x,y$有 $f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$。求$f$。

解答

令$x=y=0$得$f(a)=1/2$；令$y=0$得$f(x)=f(a-x)$。于是函数式成为$f(x+y)=2f(x)f(y)$。取$y=a-x$得$f(x)^2=1/4$，而$f(x)=2f(x/2)^2\ge0$，所以$f(x)=1/2$。此常函数代回满足所有条件。

第 5 题

题目

在三棱锥 $D-ABC$ 中，$AC=BC=AD=BD=1$，求其体积的最大值。

解答

设$E$为$AB$中点，$AB=2t$，$0<t<1$。则$CE=DE=\sqrt{1-t^2}$，且均垂直于$AB$，故

$$V=\frac{t(1-t^2)}3|\sin\angle CED| \le\frac{t(1-t^2)}3\le\frac{2\sqrt3}{27}.$$

最后一步对$t$求导，最大点$t=1/\sqrt3$。取$\angle CED=90^\circ$，上述边长条件和体积等号同时成立。

第 6 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 的中点，且 $\angle CAD=15^\circ$，求 $\angle ABC$ 的最大值。

解答

取$B=(0,0),D=(1,0),C=(2,0)$，设$A=(r\cos\beta,r\sin\beta)$，$r>0,0<\beta<\pi$。由向量夹角$\angle CAD=15^\circ$，

$$r^2-r(3\cos\beta+\cot15^\circ\sin\beta)+2=0.$$

正实根的存在要求$g(\beta)=3\cos\beta+(2+\sqrt3)\sin\beta\ge2\sqrt2$。而$g(105^\circ)=2\sqrt2$；在$[105^\circ,180^\circ)$上，$g'=-3\sin\beta+(2+\sqrt3)\cos\beta<0$，故$\beta\le105^\circ$。取$\beta=105^\circ,r=\sqrt2$，所写二次式成立且夹角为$15^\circ$，因此上界达到。

第 7 题

题目

非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，求 $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ 的最大值。

解答

目标等于$(a-b)(a-c)(b-c)$。如果其值为正且三数均正，令$m=\min(a,b,c)$，把三数减去$m$后再除以$1-3m$，得到和为$1$的非负三元组；所有差同时放大，目标严格增大。因此正最大值必在边界达到。利用循环对称可令$a=0$，并取$b\ge c$，于是目标为

$$bc(b-c)=b(1-b)(2b-1),\qquad 1/2\le b\le1.$$

导数为$-6b^2+6b-1$，最大点$b=(3+\sqrt3)/6$，最大值$\sqrt3/18$。

第 8 题

题目

从正十边形的顶点中选出四点作为顶点，能组成多少个凸梯形？这里梯形恰有一组对边平行，不包括矩形。

解答

题面校注：源页实际为取四顶点组成梯形，与染色无关；按来源约定不计矩形。

每个非矩形圆内接梯形有唯一短底。短底若跨$1,2,3$条十边形边，分别有$3,2,1$条更长且平行的弦可作另一底；跨$4$条边的弦不存在更长的平行弦。每类短底都有$10$条，故共有$10(3+2+1)=60$个。上述按短底分类不重复计数。

第 9 题

题目

在 $x\in(0,\pi/2)$ 上，求 $f(x)=\sin x\cos x+\sin x+\dfrac52\cos x$ 的最大值（可用唯一实根表示精确答案）。

解答

题面校注：保留源页题面中的系数$5/2$。来源解析后段实质上把它换成了$2/5$，不能沿用那个结论。

有$f''(x)=-4\sin x\cos x-\sin x-\frac52\cos x<0$，且$f'(0)=2>0,f'(\pi/2)=-7/2<0$，所以唯一驻点即全局最大点。令$t=\tan(x/2)\in(0,1)$，方程$f'(x)=0$化为

$$5t^3+6t^2+5t-2=0.$$

左端导数$15t^2+12t+5>0$，在$0,1$处异号，故有唯一根$t_0$。精确最大值为

$$\boxed{\frac{4t_0+\frac52(1-t_0^4)}{(1+t_0^2)^2}}.$$

这是唯一代数数的明确表达，不依赖来源中的错误简化。

第 10 题

题目

集合 $S\subseteq\{1,2,\ldots,2021\}$，且 $S$ 中任意两个不同的数之和不是 $5$ 的倍数，求 $|S|$ 的最大值。

解答

模$5$余$1$的数有$405$个，其他各余数有$404$个。余$1$与余$4$不能同时出现，合计至多$405$个；余$2$与余$3$不能同时出现，合计至多$404$个；余$0$至多一个。因此$|S|\le810$。取所有余$1,2$的数及单个数$5$，达到$810$。

第 11 题

题目

函数 $f(x)=\sqrt{4+6x-x^2}-2$ 取自然定义域。将其完整图像绕原点逆时针旋转$\theta$，其中$0\le\theta<360^\circ$，求旋转后仍为函数图像的所有$\theta$。

解答

题面校注：完整自然定义域对应上半圆，不人为限制$x\in[0,6]$；旋转一周内的所有角度是明确的有限问题。

原图为圆$(x-3)^2+(y+2)^2=13$的上半圆。旋转后仍为半圆弧。只有当端点连线水平时，这条半圆弧的横坐标才单调；否则弧的内部包含一个横坐标极值点，该点两侧出现相同横坐标不同纵坐标，违背函数定义。直径旋转后水平当且仅当$\theta=0^\circ$或$180^\circ$，两者分别是上半圆和下半圆，均符合。

第 12 题

题目

抛物线 $y^2=4x$ 过点 $A(-2,3)$ 作两条切线，分别交 $y$ 轴于 $B,C$。求 $\triangle ABC$ 的外接圆方程。

解答

设过$A$切线为$y=k(x+2)+3$。代入$y^2=4x$，判别式为零给出$2k^2+3k-1=0$。故两个纵截距为$(3\pm\sqrt{17})/2$，即$B,C$的纵坐标。外心在$y=3/2$上，设为$(h,3/2)$。由到$A,B$等距，

$$(h+2)^2+\frac94=h^2+\frac{17}4,$$

得$h=-1/2,R^2=9/2$，即答案中的圆。

第 13 题

题目

椭圆 $x^2/4+y^2=1$，$A(-2,0),P(1,0)$。过 $P$ 作不与$x$轴重合的直线交椭圆于 $M,N$，直线$AM,AN$分别交直线$x=1$于$B,D$。判断 $BP+DP$、$BP\cdot DP$ 是否为定值，并求定值。

解答

题面校注：源椭圆为$x^2/4+y^2=1$；$B,D$是$AM,AN$与直线$x=1$的交点，而非椭圆上的反射点。

设$AM,AN$斜率为$s,t$。从$A(-2,0)$发出的斜率$s$直线与椭圆的另一交点为

$$M=\left(\frac{2-8s^2}{1+4s^2},\frac{4s}{1+4s^2}\right).$$

设弦$MN$为$ux+vy=w$。因为过$P$，$w=u$。代入上述参数可得$s,t$为$4(w+2u)z^2-4vz+w-2u=0$的根。当$u\ne0$，有$st=-1/12$；当$u=0$，弦为$x$轴，被题面排除。而$B=(1,3s),D=(1,3t)$，所以$BP\cdot DP=9|st|=3/4$。和为$3(|s|+|t|)$，不定：垂直弦给出$\sqrt3$，而令$s\to0$、$t=-1/(12s)$，和趋于无穷。所有非零实$s$与该$t$确实产生过$P$的弦，故反例可实现。

第 14 题

题目

将四个互不相等的正实数随机排列为 $x_{i1},x_{i2},x_{i3},x_{i4}$。令

$$\begin{aligned} X&=\max\{\min(x_{i1},x_{i2}),\min(x_{i3},x_{i4})\},\\ Y&=\min\{\max(x_{i1},x_{i2}),\max(x_{i3},x_{i4})\}. \end{aligned}$$

求 $P(X>Y)$。

解答

把四数由小到大记为$a<b<c<d$。忽略组内顺序和两组顺序，三种等概率配对为$(a,b)|(c,d)$、$(a,c)|(b,d)$、$(a,d)|(b,c)$。第一种给$X=c>Y=b$，后两种均给$X=b<Y=c$，故概率为$1/3$。

第 15 题

题目

$BC$为圆$O$的直径，点$E,A$依次位于从$B$到$C$的上半圆弧上，$D$在线段$AC$内部，$DE\parallel BC$，$BE=12,DE=DC=14$。求$AE$与$BD$的长度。

解答

题面校注：依源图恢复$BC\parallel DE$及各点位置，删除原稿中自相矛盾的交点叙述。

在$\triangle DOE$与$\triangle DOC$中，$OE=OC,DE=DC$且$OD$公共，故二者全等，$\angle EDO=\angle ODC$。由$DE\parallel BC$又有$\angle EDO=\angle DOC$，所以$OC=DC=14$。因此$CDEO$是菱形，$DE=BO=14$且平行，从而$BEDO$是平行四边形，$OD=BE=12$。平行四边形对角线公式给出

$$BD^2+OE^2=2(BO^2+OD^2),$$

故$BD^2=2(196+144)-196=484$，即$BD=22$。又$OE\parallel AC$，且$\angle OAC=\angle OCA$，所以$\angle AOE=\angle BOE$；相等圆心角对等弦，$AE=BE=12$。

第 16 题

题目

有一等差数列，公差为 $4$，第二项起各项之和加首项的平方小于 $100$，求该数列可能的项数。

解答

设首项为$a$，项数$n\ge1$，则条件为

$$a^2+(n-1)a+2n(n-1) =\left(a+\frac{n-1}2\right)^2+\frac{(n-1)(7n+1)}4<100.$$

存在实数$a$当且仅当$(n-1)(7n+1)<400$。左式在正整数$n$上递增，在$n=8$时为$399$，在$n=9$时为$512$。所以项数恰为$1$至$8$；各$n$取$a=-(n-1)/2$即可。