2020年清华大学强基计划数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	最大$\sqrt5/2$，最小$-\sqrt5/2$	2	第一、四项
3	$5^{2020}$	4	$2,10$可以，$0,12$不可以
5	最小$4-\sqrt5$，最大$4+\sqrt5$	6	仅$4$可以
7	第一、三项，分别为$-1/4,-8/5$	8	甲或乙，不能唯一判断
9	四项均成立	10	$3\pi/4$
11	$1/315$	12	$8/7$
13	最大$2\sqrt5$，最小$0$	14	第三、四组
15	$1$	16	$\cos\alpha=-1/(1+2\tan^2\beta)$
17	$2$	18	$f(c),f'(a)$
19	ABD

逐题解析

第 1 题

题目

已知 $x^2+y^2\le1$，求 $x^2+xy-y^2$ 的最值。

解答

写$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，其中$0\le r\le1$，则目标为$r^2(\cos2\theta+\frac12\sin2\theta)$。括号的值域为$[-\sqrt5/2,\sqrt5/2]$，取$r=1$可达两个端点，故即为最小值、最大值。

第 2 题

题目

在非等边三角形 $ABC$ 中，$BC=AC$，$O,P$ 分别为外心、内心，$D$ 在 $BC$ 上且 $OD\perp BP$。判断：$B,O,D,P$ 四点共圆；$OD\parallel AC$；$OD\parallel AB$；$DP\parallel AC$。

解答

利用相似变换可设$A=(-1,0),B=(1,0),C=(0,h)$，$h>0$。记$s=\sqrt{1+h^2}$，则外心$O=(0,o)$、内心$P=(0,r)$满足

$$o=\frac{h^2-1}{2h},\qquad r=\frac{h}{s+1}.$$

由$OD\perp BP$及$D\in BC$，解得$D=(t,h(1-t))$，$t=s/[2(s+1)]$。于是$D-P=t(1,h)$，故$DP\parallel AC$；而$OD$方向为$(r,1)$，不平行于水平的$AB$，也不平行于方向$(1,h)$的$AC$（后者要求$rh=1$，即$s=2$，恰为被排除的等边情形）。

过$B,O,P$的圆方程为

$$x^2+y^2-(1+or)x-(o+r)y+or=0.$$

代入$D=P+t(1,h)$，左端为

$$t\{(1+h^2)t+h(r-o)-1-or\}.$$

利用$h^2=s^2-1$，大括号乘以$2(s+1)$后的值为 $s^3+2(s^2-1)-(s^2-2)(s+1)-2(s+1)-(s^2-2)=0$。 故四点共圆，第一、四项正确。

第 3 题

题目

$A,B,C$ 均为 $\{1,2,\ldots,2020\}$ 的子集，且 $A\subseteq C,B\subseteq C$。求有序三元组 $(A,B,C)$ 的个数。

解答

每个元素只有五种归属：不在$C$；仅在$C$；在$A,C$而不在$B$；在$B,C$而不在$A$；同时在三者中。各元素独立选择，答案为$5^{2020}$。

第 4 题

题目

数列满足 $a_0=0$、$|a_{i+1}|=|a_i+1|$。令 $A=\left|\sum_{k=1}^{20}a_k\right|$，判断 $A$ 是否可能等于 $0,2,10,12$。

解答

递推说明$a_k$为整数且$a_k\equiv k\pmod2$。一对相邻项之和$a_{2j-1}+a_{2j}$等于$-1$或$2a_{2j-1}+1$，两者模$4$均为$-1$。所以总和模$4$为$-10\equiv2$，绝对值也模$4$余$2$，排除$0,12$。取$(-1,0)$重复十次得到$A=10$。取前四项$(1,2,3,4)$，随后将$(-5,-4,3,4)$重复四次，满足递推且总和为$2$，所以$A=2$也可以。

第 5 题

题目

$P$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 上一点，$A(1,0),B(1,1)$，求 $|PA|+|PB|$ 的最值。

解答

设另一焦点$F=(-1,0)$，则$PA+PF=4$，故目标$PA+PB=4+PB-PF$。三角不等式给$-\sqrt5\le PB-PF\le\sqrt5$。$F,B$均在椭圆内部，直线$FB$与椭圆的两个交点分别在射线$FB$及反向射线的外端，分别实现差值$-\sqrt5$与$\sqrt5$。故上下界均达到。

第 6 题

题目

$\triangle ABC$ 三边均为整数且面积为有理数，判断某一边长 $a$ 是否可以为 $1,2$ 或 $4$。

解答

若一边长为$1$，另两条整数边只能相等，设为$m,m$，则$4S=\sqrt{4m^2-1}$。被开方数严格介于$(2m-1)^2$与$(2m)^2$之间，不是整数平方，因此面积非有理数。

若一边长为$2$，另两边相等或相差$1$。相等时$S=\sqrt{m^2-1}$（$m\ge2$），不是有理数；相差$1$时$16S^2=3(2m-1)(2m+3)=3(2m+1)^2-12\equiv3\pmod4$，不能为整数平方，也不是有理数平方。若一边为$4$，三角形$(3,4,5)$面积为$6$，符合条件。

第 7 题

题目

$P$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ 上异于顶点的一点，$A(-2,0),B(2,0)$，令三角形内角 $\angle PAB=\alpha,\angle PBA=\beta$，判断下列量中的定值：$\tan\alpha\tan\beta$、$\tan\dfrac\alpha2\tan\dfrac\beta2$、$S_{\triangle PAB}\tan(\alpha+\beta)$、$S_{\triangle PAB}\cos(\alpha+\beta)$。

解答

题面校注：按三角形内角解释，来源解析把一个钝角正切的符号写错，因而漏选第三项。

利用对称可令$P=(x,y)$，$x>2,y>0$；反射不改变三角形内角。则

$$\tan\alpha=\frac y{x+2},\quad \tan\beta=-\frac y{x-2},\quad x^2-4=4y^2.$$

所以$\tan\alpha\tan\beta=-1/4$，且

$$\tan(\alpha+\beta)=-\frac4{5y},\qquad S_{\triangle PAB}\tan(\alpha+\beta)=2y\left(-\frac4{5y}\right)=-\frac85.$$

半角积为$(PA+PB-4)/(PA+PB+4)$，随$P$变化；第四项为$-10y^2/\sqrt{25y^2+16}$，也不恒定。故第一、三项为定值。

第 8 题

题目

甲、乙、丙做同一道题。甲说“我做错了”，乙说“甲做对了”，丙说“我做错了”。老师说仅一人做对且一人说错。判断甲、乙、丙谁做对。

解答

甲、乙的陈述恰好相反，必有一真一假。既然仅一人说错，丙的陈述必须真，即丙确实做错。因此唯一做对者可以是甲，也可以是乙，两种情形都满足条件，不能进一步区分。

第 9 题

题目

在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ABC=90^\circ,AB=\sqrt3,BC=1$。若 $\dfrac{\overrightarrow{PA}}{|PA|}+\dfrac{\overrightarrow{PB}}{|PB|}+\dfrac{\overrightarrow{PC}}{|PC|}=\vec0$，判断 $\angle APB,\angle BPC$ 是否为 $120^\circ$，以及 $2BP=PC$、$AP=2PC$ 是否成立。

解答

三个单位向量和为零。任取两个，其和的模为$1$，故点积为$-1/2$，对应夹角均为$120^\circ$。原向量等式还把$P$表示为$A,B,C$的严格正权重重心（权重分别正比于距离的倒数），故$P$在三角形内部。设$AP=u,BP=v,CP=w$，由余弦定理有

$$u^2+v^2+uv=3,\quad v^2+w^2+vw=1,\quad u^2+w^2+uw=4.$$

前两式减去第三式，得$2v^2+v(u+w)-uw=0$，即$(u-2v)(w-2v)=6v^2$。也可直接解这组三式：令$T=u+v+w$，两两相减得$(u-w)T=2$、$(u-v)T=3$、$(w-v)T=1$，故$u=v+3/T,w=v+1/T$。代入三角形面积的分割， $[ABC]=\frac{\sqrt3}4(uv+vw+uw)=\sqrt3/2$，所以$uv+vw+uw=2$；三式求和给$u^2+v^2+w^2=3$，从而$T^2=7$。于是$v=(T-4/T)/3=1/\sqrt7$，$w=2/\sqrt7,u=4/\sqrt7$。因此$2BP=PC,AP=2PC$均成立。

第 10 题

题目

计算 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\arctan\frac2{k^2}$。

解答

因为两端反正切差属于$(0,\pi/2)$，正切相等即可得到

$$\arctan\frac2{k^2}=\arctan(k+1)-\arctan(k-1).$$

前$n$项和为$\arctan n+\arctan(n+1)-\pi/4$，极限为$3\pi/4$。

第 11 题

题目

从 $0,1,\ldots,9$ 中任取 $5$ 个不同数字组成一个五位数或以 $0$ 开头的“四位数”。求所得数能被 $396$ 整除的概率。

解答

题面校注：等概率样本为五个互异数字的有序排列，允许首位为$0$。来源漏计，符合条件的是$96$个而不是$64$个。

设五位数字依次为$a,b,c,d,e$。整除$396=4\cdot9\cdot11$等价于

$$10d+e\equiv0\pmod4,\quad a+b+c+d+e\equiv0\pmod9,\quad a-b+c-d+e\equiv0\pmod{11}.$$

以下按末两位列出前面三个互异且避开$d,e$的数字的有序解数；可对每个$a,b$用后两个同余式确定并检验$c\in\{0,\ldots,9\}$，不需搜索所有五位数：

末两位	每个末尾对应个数
12、16、20、40、52、56、60、76、80、84	6
04、24、28、32、64、68、92	4
36、48、72、96	2
其余互异数字组成的$4$的倍数	0

总计$10\cdot6+7\cdot4+4\cdot2=96$，概率为$96/(10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6)=1/315$。

第 12 题

题目

随机变量 $X$ 满足 $P(X=k)=2^{-k}$（$k=1,2,\ldots$），令 $Y$ 为 $X$ 除以 $3$ 的余数，求 $E(Y)$。

解答

将正整数按模$3$分类，得到

$$P(Y=0)=\frac17,\quad P(Y=1)=\frac47,\quad P(Y=2)=\frac27.$$

例如$P(Y=1)=\sum_{j\ge0}2^{-(3j+1)}=(1/2)/(1-1/8)=4/7$。因此$E(Y)=4/7+4/7=8/7$。

第 13 题

题目

若 $|\vec a|\le1,|\vec b|\le1$，且 $|\vec a+2\vec b+\vec c|=|\vec a-2\vec b|$，求 $|\vec c|$ 的最大值与最小值。

解答

由三角不等式及柯西不等式，

$$|\vec c|\le|\vec a-2\vec b|+|\vec a+2\vec b| \le\sqrt{2(2|\vec a|^2+8|\vec b|^2)}\le2\sqrt5.$$

取互相垂直的单位向量$\vec a,\vec b$，再取$\vec c=-2(\vec a+2\vec b)$，则等式条件满足且$|\vec c|=2\sqrt5$。取$\vec a=\vec b=\vec c=\vec0$则达到最小值$0$。

第 14 题

题目

对 $x,y\in\mathbb N^*$，判断下列哪一对式子可以同时为完全平方数： $x^2+2y,y^2+2x$；$x^2+4y,y^2+4x$；$x^2+5y,y^2+5x$；$x^2+6y,y^2+6x$。

解答

不妨$x\le y$。当系数为$2$时，$y^2<y^2+2x<(y+1)^2$，不可能。系数为$4$时，$y^2<y^2+4x<(y+2)^2$，若为平方只能等于$(y+1)^2$，却要求$4x=2y+1$，奇偶矛盾。系数为$5$时取$x=y=4$，两式均为$36$；系数为$6$时取$x=y=2$，两式均为$16$。

第 15 题

题目

计算 $\displaystyle\sin\left(\arctan1+\arccos\frac3{\sqrt{10}}+\arcsin\frac1{\sqrt5}\right)$。

解答

三个角均在第一象限，分别是复数$1+i,3+i,2+i$的辐角。它们的乘积为$10i$，而三个角之和属于$(0,3\pi/2)$，所以和为$\pi/2$，正弦为$1$。

第 16 题

题目

正四棱锥中，相邻两侧面所成内部二面角为 $\alpha$，侧棱与底面夹角为 $\beta$，求 $\tan\beta$ 与 $\cos\alpha$ 的关系。

解答

设底边长$a$、高$h$。两相邻侧面的外法向量可取$(2h,0,a)$与$(0,2h,a)$；内部二面角是外法向量夹角的补角，故

$$\cos\alpha=-\frac{a^2}{4h^2+a^2}.$$

侧棱在底面上的投影长为$a/\sqrt2$，所以$\tan\beta=\sqrt2h/a$，即$\cos\alpha=-1/(1+2\tan^2\beta)$。

第 17 题

题目

设 $f(x)=\dfrac{2e^x}{e^x+e^{-x}}+\sin x$。求 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上上界与下界之和。

解答

有$f(x)+f(-x)=2$。函数在对称闭区间上连续，最大、最小值均存在；若最大值为$M$，反射$x\mapsto-x$表明最小值恰为$2-M$。因此二者之和为$2$。

第 18 题

题目

（教学补订）$f$在$[a,b]$上二阶连续可导，$f\ge0,f''\le0$，且最大值在$c\in(a,b)$处取得。令$S(t)=\int_a^t f(x)\,dx$（$a\le t\le b$）。用$f$及$f'$的适当函数值表示$S'$与$f'$在$[a,b]$上的最大值。

解答

题面校注：仅凭“单峰”不能确定导数最大值，现明确补充凹性条件$f''\le0$作为教学版本。

由微积分基本定理，$S'(t)=f(t)$，故最大值为$f(c)$。又$f''\le0$使$f'$单调不增，故$f'$的最大值为$f'(a)$。两个结论各自所需条件不同，不能只凭图形印象混用。

第 19 题

题目

若实数数列$\{a_n\}$的每个前$n$项和都等于该数列的某一项，则称其具有性质$P$。判断：

• A. $a_1=1,a_n=2^{n-2}$（$n\ge2$）具有性质$P$；
• B. 对任意实数$k$，$a_n=kn$具有性质$P$；
• C. （缺项教学补编）所有非零等比数列都具有性质$P$；
• D. 任意等差数列都能逐项表示为两个具有性质$P$的实数数列之和。

解答

A中$S_n=2^{n-1}=a_{n+1}$，故正确。B中$S_n=kn(n+1)/2=a_{n(n+1)/2}$，对$k=0$也成立。C为教学补编，反例$a_n=2^n$有$S_2=6$，不是任何一项。

D实际对任意实数数列都成立。给定$\{a_n\}$，先任取$b_1$并令$c_1=a_1-b_1$。按$n=2,3,\ldots$依次定义：偶数指标$2j$令

$$b_{2j}=\sum_{i=1}^j b_i,\qquad c_{2j}=a_{2j}-b_{2j};$$

奇数指标$2j+1$（$j\ge1$）令

$$c_{2j+1}=\sum_{i=1}^j c_i,\qquad b_{2j+1}=a_{2j+1}-c_{2j+1}.$$

右端只涉及已定义的更小指标，故构造无循环。两列逐项相加等于$a_n$，且$b$的每个前$j$项和等于$b_{2j}$、$c$的每个前$j$项和等于$c_{2j+1}$，从而均有性质$P$。