2018年清华大学领军计划测试 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5	6	7
答案	D	B	C	ABCD	AC	AC	A

题号	8	9	10	11	12	13	14
答案	$1/4$	$208$	$(1+\sqrt3)/2$	$2/3$	AD	B	C

题号	15	16	17	18	19	20	21
答案	D	A	B	D	C	ABD	C

题号	22	23	24	25	26	27	28	29
答案	CD	BCD	A	BC	BCD	D	AC	AB

逐题解析

第 1 题

题目

$p,q,r$ 均为素数，且 $\dfrac{pqr}{p+q+r}$ 为整数，则（　）。

• A. $p,q,r$ 中一定有一个是 $2$
• B. 一定有一个是 $3$
• C. 一定有两个数相等
• D. $\dfrac{pqr}{p+q+r}$ 也为素数

解答

若三个素数恰有两个相等，设为 $s,s,t$ 且 $s\ne t$。由于 $\gcd(2s+t,s)=1$，由 $2s+t\mid s^2t$ 推出 $2s+t\mid t$，不可能。若全相等，则 $3s\mid s^3$ 强迫 $s=3$，商为素数 $3$。

若两两不同，$pqr$ 的素因子恰为这三个数。$p+q+r$ 大于每个素因子、又小于 $pqr$，作为其约数只能是某两个素数的乘积，因此商仍为第三个素数。这里 $pqr>p+q+r$ 可由最小的不同素数 $2,3,5$ 情形成立且逐个增大变量时差严格增加得到。故 D 恒成立。取 $(p,q,r)=(5,7,23)$，其和为 $35$，商为 $23$，同时否定 A、B、C。

第 2 题

题目

$a,b,c,d,e$ 均为素数，且平均数为 $13$，则（　）。

• A. 中位数最大为 $17$
• B. 中位数最大为 $19$
• C. 中位数最小为 $5$
• D. 中位数最小为 $7$

解答

按大小排列为 $p_1\le\cdots\le p_5$。若中位数为 $m$，则 $65\ge2+2+3m$，故素数 $m\le19$。组 $(2,2,19,19,23)$ 之和为 $65$，达到中位数 $19$。

中位数若为 $2$，前三项均为 $2$，后两素数之和为 $59$；其中必有偶素数 $2$，另一数为合数 $57$，不可能。而 $(2,2,3,5,53)$ 可达到中位数 $3$。因此最小值是 $3$，不是 C、D 所列的 $5,7$，仅 B 正确。

第 3 题

题目

整数 $x,y,z$ 满足 $|x|+|y|+|z|=5$，这样的 $(x,y,z)$ 有（　）组。

• A. $100$
• B. $101$
• C. $102$
• D. $103$

解答

按非零坐标个数计数：只有一个非零坐标有 $3\cdot2=6$ 组；恰有两个时有 $3\cdot4\cdot4=48$ 组（选零坐标、正整数拆分 $5$、选符号）；三个均非零有 $\binom42\cdot2^3=48$ 组。总数 $102$，选 C。

第 4 题

题目

如图，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle BAD=60^\circ$，$P$ 为 $BC$ 延长线上一点，$AP\cap CD=E$，$BE\cap PD=Q$，$AP$ 与 $\triangle ABD$ 的外接圆交于 $F$，则（　）。

• A. $E,F,D,Q$ 四点共圆
• B. $B,F,P,Q$ 四点共圆
• C. $B,F,C,E$ 四点共圆
• D. $C,P,F,D$ 四点共圆

解答

题面校注：原页 B 为 $B,F,P,Q$ 四点共圆，整理稿误把首个 $B$ 写成 $D$，现已恢复。

将菱形边长归一，取实际平面坐标为 $(X,\sqrt3Y)$。则

$$A=(0,0),\ B=(1/2,1/2),\ D=(1,0),\ C=(3/2,1/2),\ P=(t+1/2,1/2),\quad t>1.$$

这里写出的第二分量均是 $Y$。令 $d=t^2+t+1,h=t^2-t+1$，直线相交及圆 $ABD$ 的方程 $X^2+3Y^2-X-Y=0$ 给出

$$E=\left(1+\frac1{2t},\frac1{2t}\right),\quad F=\left(\frac{(t+1)(t+1/2)}d,\frac{t+1}{2d}\right),\quad Q=\left(\frac{2t^2+1}{2h},\frac1{2h}\right).$$

四个选项所列四点分别在下列圆 $X^2+3Y^2+uX+vY+w=0$ 上：

四点	$u$	$v$	$w$
$E,F,D,Q$	$-2-1/t$	$-1/t$	$1+1/t$
$B,F,P,Q$	$-t-1$	$-t-3$	$t+1$
$B,F,C,E$	$-2$	$-2-2/t$	$1+1/t$
$C,P,F,D$	$-t-2$	$t-2$	$t+1$

这些圆方程在实际坐标中二次项是 $x^2+y^2$，确为圆；将上面各点坐标代入相应行即可逐项消去分子，四点均互异。由此四种共圆关系同时成立，选 ABCD。

第 5 题

题目

$P$ 为椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 上的动点，过 $P$ 作 $C_1$ 的切线，交圆 $C_2:x^2+y^2=12$ 于 $M,N$；过 $M,N$ 作 $C_2$ 的切线交于 $Q$，则（　）。

• A. $S_{\triangle OPQ}$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$
• B. 最大值为 $\dfrac{\sqrt3}{3}$
• C. $Q$ 的轨迹是 $\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{48}=1$
• D. $Q$ 的轨迹是 $\dfrac{x^2}{48}+\dfrac{y^2}{36}=1$

解答

设 $P=(u,v)$。椭圆切线为 $ux/4+vy/3=1$；从 $Q$ 引圆的两条切线，其切点弦的方程为 $Q_xx+Q_yy=12$。比较得 $Q=(3u,4v)$。因此 $Q_x^2/36+Q_y^2/48=1$，并且

$$S_{\triangle OPQ}=\frac12|u\cdot4v-v\cdot3u|=\frac12|uv|\le\frac{\sqrt3}{2},$$

等号在 $u^2=2,v^2=3/2$ 时达到。故 AC 正确。

第 6 题

题目

实数 $x,y,z$ 满足

$$\begin{cases}x+y-2z+1=0,\\4z^2-xy-14z+14=0, \end{cases}$$

则 $x^2+y^2$（　）。

• A. 最小值为 $\dfrac{32}{9}$
• B. 最小值为 $\dfrac{64}{9}$
• C. 最大值为 $8$
• D. 最大值为 $9$

解答

由 $x+y=2z-1$、$xy=4z^2-14z+14$，实数 $x,y$ 存在当且仅当

$$(x+y)^2-4xy=-12z^2+52z-55\ge0,$$

即 $11/6\le z\le5/2$。目标为

$$x^2+y^2=-4z^2+24z-27=9-4(z-3)^2,$$

在此区间上递增。因此最小值 $32/9$、最大值 $8$，端点均允许重根 $x=y$，故 AC 正确。

第 7 题

题目

$x,y,z$ 为正实数，求

$$\frac{xy^2z}{(x^2+2xy+4y^2)(y^2+4yz+z^2)}$$

的最大值。

• A. $\dfrac1{36}$
• B. $\dfrac1{32}$
• C. $\dfrac1{18}$
• D. $\dfrac1{16}$

解答

由 $x^2+4y^2\ge4xy$、$y^2+z^2\ge2yz$，分母至少为 $(6xy)(6yz)=36xy^2z$。所以最大值为 $1/36$，当 $x=2y,z=y$ 时取等，选 A。

第 8 题

题目

在长为 $1$ 的线段上独立、均匀地选取两个点，将线段截成三段，它们能构成三角形的概率为______。（补明随机模型。）

解答

已明确两个断点独立、均匀分布。令排序后的断点为 $0<u<v<1$，样本区域是面积 $1/2$ 的三角形，密度为常数。三段能组成三角形当且仅当各段小于 $1/2$，即

$$u<1/2,\quad v>1/2,\quad v-u<1/2.$$

所对应的小三角形面积为 $1/8$，故概率 $1/4$。

第 9 题

题目

$7$ 个互不相等的素数排成一排，任意相邻的 $3$ 个数之和均大于 $100$，问这 $7$ 个素数之和的最小值。

解答

记七数为 $p_1,\ldots,p_7$，总和 $S$。删去 $p_1,p_4,p_7$ 中任何一个，余下六数都能分成两个连续三数组，每组三数和大于 $100$。

若七数均为奇素数，每组三数和为奇数，至少为 $101$。由于 $p_1,p_4,p_7$ 互异，它们的最大值至少为 $7$，故 $S\ge202+7=209$。

若含 $2$，则 $p_1,p_4,p_7$ 中必有一个奇素数 $m\ge5$。删去它后，余下两个三数组中一组含 $2$，其和为偶数，至少为 $102$；另一组之和为奇数，至少为 $101$。故 $S\ge203+m\ge208$。

排列

$$(2,11,89,3,19,79,5)$$

的五个连续三项和依次为 $102,103,111,101,103$，均大于 $100$，且总和为 $208$。因此所求最小值是 $208$。

第 10 题

题目

实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$，求 $a(a+b+c)$ 的最大值。

解答

写 $u=(b+c)/\sqrt2,v=(b-c)/\sqrt2$，则 $a^2+u^2+v^2=1$，目标为 $a^2+\sqrt2au$。对应二次型在 $(a,u)$ 上的矩阵为

$$\begin{pmatrix}1&1/\sqrt2\\1/\sqrt2&0\end{pmatrix},$$

特征值满足 $\lambda^2-\lambda-1/2=0$，最大特征值为 $(1+\sqrt3)/2$。取 $v=0$ 并取相应单位特征向量即可取等，故这就是最大值。也可将二次型旋转配方为两特征值分别乘以两个平方，直接读出同一上界。

第 11 题

题目

如图，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ABC=90^\circ$，斜边 $AC$ 上有一点 $D$ 使得 $AB=AD$，$E$ 为 $BC$ 上一点，使得 $\angle BAD=\angle BDE=\theta$，求

$$\lim_{\theta\to0^+}\frac{BE}{BC}.$$

解答

令 $B=(0,0),A=(0,1)$，则 $C=(\tan\theta,0)$。因 $AD=1$，$D=(\sin\theta,1-\cos\theta)$。直线 $BD$ 与水平线夹角为 $\theta/2$；依图中 $E$ 的位置及 $\angle BDE=\theta$，直线 $DE$ 与水平线的锐角为 $3\theta/2$。于是

$$BE=\sin\theta-(1-\cos\theta)\cot(3\theta/2).$$

利用 $\sin\theta/\theta\to1$、$(1-\cos\theta)/\theta^2\to1/2$、$\theta\cot(3\theta/2)\to2/3$，得

$$\lim_{\theta\to0^+}\frac{BE}{BC}=1-\frac12\cdot\frac23=\frac23.$$

第 12 题

题目

$A,B$ 为两个随机事件，$P(A)>0$，$0<P(B)<1$。问 $P(\overline A\mid B)=P(\overline A\mid\overline B)$ 的充要条件。（补充条件以保证两条件概率均有定义。）

• A. $P(AB)=P(A)P(B)$
• B. $P(\overline A\mid B)=\dfrac12$
• C. $P(\overline A\mid\overline B)=\dfrac12$
• D. $A,B$ 独立

解答

题面校注：需有 $0<P(B)<1$ 才能定义两个条件概率。

记 $p=P(A),q=P(B),r=P(A\cap B)$。所给等式为 $(q-r)/q=(1-p-q+r)/(1-q)$，交叉相乘并消去共同项，得到 $r=pq$。这正是事件独立的充要条件，故 AD 正确。独立并不要求 $P(A)=1/2$，B、C 不必要。

第 13 题

题目

已知 $a_k\ (k=1,2,\ldots,7)$ 为和为 $1$ 的 $7$ 个非负实数，记

$$M=\max\{a_1+a_2+a_3,a_2+a_3+a_4,a_3+a_4+a_5,a_4+a_5+a_6,a_5+a_6+a_7\},$$

求 $M$ 的最小值。

• A. $\dfrac37$
• B. $\dfrac13$
• C. $\dfrac12$
• D. $\dfrac27$

解答

设五个连续三项和为 $s_1,\ldots,s_5$。$s_1+s_4+s_5=1+a_5+a_6\ge1$，故 $3M\ge1$。令 $a_1=a_4=a_7=1/3$、其余为零，则五个和全为 $1/3$，达到下界。故最小值 $1/3$，选 B。

第 14 题

题目

记 $(1+x+x^2)^{10}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{20}x^{20}$，求 $\displaystyle\sum_{k=0}^{6}a_{3k}$。

• A. $2^9$
• B. $2^{19}$
• C. $3^9$
• D. $3^{19}$

解答

令 $\omega^3=1,\omega\ne1$，并记 $F(x)=(1+x+x^2)^{10}$。利用 $1+\omega^j+\omega^{2j}$ 在 $3\mid j$ 时为 $3$、其余为零，

$$\sum_{k=0}^6a_{3k}=\frac{F(1)+F(\omega)+F(\omega^2)}3=\frac{3^{10}}3=3^9.$$

选 C。

第 15 题

题目

设 $f(x)=e^x(x-3)$，过点 $(0,a)$ 可作 $f(x)$ 的三条切线，则（　）。

• A. $a>-e$
• B. $a<-3$
• C. $a<-3$ 或 $a>-e$
• D. $-3<a<-e$

解答

在横坐标 $t$ 处的切线纵截距为

$$g(t)=f(t)-tf'(t)=e^t(-t^2+3t-3),\qquad g'(t)=-e^tt(t-1).$$

故 $g$ 在 $(-\infty,0)$ 递减，在 $(0,1)$ 递增，在 $(1,+\infty)$ 递减；且

$$g(-\infty)=0,\quad g(0)=-3,\quad g(1)=-e,\quad g(+\infty)=-\infty.$$

水平线与之有三个不同交点恰在 $-3<a<-e$，端点仅有两个。不同切点不会产生同一条切线：$f'(t)$ 在 $(-\infty,1)$ 严格递减、在 $(1,\infty)$ 严格递增；若跨两侧的两点导数同为 $k$，则两点之间导数严格小于 $k$，两点间割线斜率小于 $k$，不能是同一切线。故选 D。

第 16 题

题目

$9$ 个人站成一排拍照，从中任选 $3$ 人，求他们互不相邻的概率。

• A. $\dfrac5{12}$
• B. $\dfrac57$
• C. $\dfrac1{12}$
• D. $\dfrac17$

解答

从九个位置选三个互不相邻的位置，令所选编号为 $i<j<k$，则对应 $i<j-1<k-2$ 是从七个位置任取三个。因此有 $\binom73=35$ 种，共有 $\binom93=84$ 种等可能选择，概率为 $35/84=5/12$，选 A。

第 17 题

题目

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 和圆 $x^2+(y-4)^2=1$ 上各有一动点 $A,B$，求 $|AB|$ 的最大值。

• A. $2\sqrt7+1$
• B. $5+\sqrt3$
• C. $3\sqrt3+1$
• D. $4\sqrt2+1$

解答

设圆心为 $O'=(0,4)$。固定 $A$ 时，$AB$ 的最大值为 $AO'+1$。椭圆上 $x^2=4-4y^2/3$，故

$$AO'^2=20-\frac{y^2}{3}-8y,\qquad -\sqrt3\le y\le\sqrt3.$$

其导数 $-2y/3-8<0$，所以最大值在 $A=(0,-\sqrt3)$ 取得，$AO'=4+\sqrt3$。再取 $B=(0,5)$，得总最大值 $5+\sqrt3$，选 B。

第 18 题

题目

求 $\bigl[(1+\sqrt3\tan10^\circ)\sin10^\circ+2\cos40^\circ\bigr]\sqrt{1+\cos20^\circ}$ 的值。

• A. $\sqrt3$
• B. $\sqrt2$
• C. $\dfrac{\sqrt6}{2}$
• D. $\sqrt6$

解答

因 $\sqrt{1+\cos20^\circ}=\sqrt2\cos10^\circ$，原式除以 $\sqrt2$ 后为

$$\begin{aligned} &\sin10^\circ\cos10^\circ+\sqrt3\sin^210^\circ+2\cos40^\circ\cos10^\circ\\ &=\frac12\sin20^\circ+\frac{\sqrt3}{2}(1-\cos20^\circ)+\cos30^\circ+\cos50^\circ\\ &=\sqrt3, \end{aligned}$$

最后用 $\cos50^\circ=(\sqrt3\cos20^\circ-\sin20^\circ)/2$ 消项。故原式为 $\sqrt6$，选 D。

第 19 题

题目

已知可行域

$$\begin{cases}x+y\leqslant6,\\x\geqslant2,\\ax+by+c\geqslant0, \end{cases}$$

中 $z=2x+y$ 的最大值为 $11$、最小值为 $3$，求 $\dfrac{b+c}{a}$。

• A. $3$
• B. $5$
• C. $-5$
• D. $-3$

解答

为使 $2x+y$ 有有限下界，第三个不等式必须提供 $y$ 的下界，故 $b>0$。写为 $y\ge mx+d$，其中 $m=-a/b,d=-c/b$。要使 $x\ge2,y\le6-x$ 下的目标有有限上下界且最大、最小不同，必须 $m>-1$，得到三角形可行域。其顶点之一是 $(2,4)$，目标值为 $8$；另两顶点分别在 $x=2$ 和 $x+y=6$ 上。

下边直线的斜率 $m>-1$，故目标沿该边随 $x$ 递增。最小值 $3$ 在 $x=2$ 处给出 $y=-1$，最大值 $11$ 在 $x+y=6$ 上给出 $(x,y)=(5,1)$。下边线即 $2x-3y-7=0$，第三不等式可取 $-2x+3y+7\ge0$。因此 $(b+c)/a=-5$，选 C。

第 20 题

题目

已知复数 $x,y,z,w$ 满足 $|x|^2+|y|^2=1$，$|z|^2+|w|^2=1$，且 $x\overline z+y\overline w=0$，则正确的是（　）。

• A. $|x|=|w|$
• B. $|y|=|z|$
• C. $\overline xw-\overline yz=0$
• D. $|xw-yz|=1$

解答

两行 $(x,y),(z,w)$ 是复内积空间中一组标准正交基，因此存在 $|\eta|=1$ 使 $(z,w)=\eta(-\overline y,\overline x)$。于是 $|z|=|y|,|w|=|x|$，且

$$xw-yz=\eta(|x|^2+|y|^2)=\eta,$$

其模为 $1$。所以 ABD 正确。取 $x=w=1,y=z=0$ 时 C 的左边为 $1$，不是零。

第 21 题

题目

英国、法国、意大利、巴西、西班牙和德国参加足球比赛。甲说：“意大利和西班牙肯定不是冠军”；乙说：“冠军肯定出自法国或德国”；丙说：“巴西肯定不是冠军”。已知三人中恰有两人正确、一人错误，问冠军球队来自（　）。

• A. 巴西
• B. 德国或法国
• C. 英国
• D. 意大利或西班牙

解答

若冠军为法国或德国，三句话全真；若为意大利或西班牙，只有丙真；若为巴西，只有甲真；若为英国，甲、丙真而乙假。故唯一可能为英国，选 C。

第 22 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{(n-2)a_n+2}$，则正确的是（　）。

• A. $a_9=\dfrac29$
• B. $a_{10}=\dfrac2{503}$
• C. $a_{n+1}\leqslant a_n$
• D. $0<a_n\leqslant2$

解答

令 $b_n=1/a_n$，则 $b_{n+1}=2b_n+n-2$、$b_1=1$，归纳解得

$$b_n=2^{n-1}-n+1.$$

它在 $n=1,2$ 时均为 $1$，以后正且递增，故 $a_n$ 正且不增，且 $a_n\le1<2$。而 $a_9=1/248$、$a_{10}=1/503$，A、B 都错，选 CD。

第 23 题

题目

$A,B,C$ 为三角形的内角，已知 $\tan A,\tan B,\tan C$ 均为整数，问 $\tan A$ 的可能值。

• A. $4$
• B. $3$
• C. $2$
• D. $1$

解答

若一个角为钝角，另两角正切为正整数 $u,v$，而这两角之和小于 $90^\circ$，要求 $uv<1$，矛盾。直角正切无定义，故三角形为锐角三角形。令三个正切为正整数 $u\le v\le w$，有 $u+v+w=uvw$，从而 $uv\le3$，迫使 $u=1$。此时 $(v-1)(w-1)=2$，得到 $(u,v,w)=(1,2,3)$。反过来这三个反正切的和为 $\pi$，确能构成三角形内角。因此可能值为 $1,2,3$，选 BCD。

第 24 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac12$，$2na_{n+1}=(n+1)a_n$，记 $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^na_k$，求 $S_n$ 的表达式。

• A. $2-\dfrac{n+2}{2^n}$
• B. $1-\dfrac{n+2}{2^{n+1}}$
• C. $2-\dfrac{n+2}{2^{n+1}}$
• D. $2-\dfrac{n+1}{2^n}$

解答

由递推得 $a_{n+1}/(n+1)=a_n/(2n)$，配合初值得 $a_n=n/2^n$。将 $S_n$ 与 $S_n/2$ 相减，得

$$S_n=2-\frac{n+2}{2^n}.$$

故选 A。

第 25 题

题目

若参数 $\lambda,M$ 使得

$$x_1^2+x_2^2+\lambda x_1x_2\geqslant M(x_1+x_2)^2$$

对任意非负实数 $x_1,x_2$ 恒成立，则正确的是（　）。

• A. 若 $\lambda=0$，则 $M$ 的最大值为 $0$
• B. 若 $\lambda>0$，则 $M$ 不存在最小值
• C. “$M$ 的最大值为 $1$”的充要条件是“$\lambda\geqslant2$”
• D. 若 $\lambda=-6$，则 $M$ 的最小值为 $-2$

解答

当 $x_1+x_2>0$ 时，令 $t=x_1x_2/(x_1+x_2)^2\in[0,1/4]$。不等式等价于 $M\le1+(\lambda-2)t$ 对所有这样的 $t$ 成立，所以

$$M\le \begin{cases} (\lambda+2)/4,&\lambda<2,\\ 1,&\lambda\ge2. \end{cases}$$

$x_1=x_2=0$ 不增加约束。故 $\lambda=0$ 时最大值为 $1/2$，A 错；允许的 $M$ 总向下无界，B 对、D 错；最大值为 $1$ 恰在 $\lambda\ge2$，C 对。选 BC。

第 26 题

题目

有一个三棱锥，其中一个面为边长为 $2$ 的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能为（　）。

• A. $\dfrac{\sqrt3}{3}$
• B. $\dfrac{\sqrt2}{3}$
• C. $\dfrac{2\sqrt2}{3}$
• D. $\dfrac{2\sqrt3}{3}$

解答

设正三角形面为 $ABC$，边长 $2$；另两个等腰直角面可重命名为 $PAB,PAC$。边 $AB=2$ 在等腰直角三角形中，或是斜边，或是直角边，因此 $(PA^2,PB^2)$ 只有 $(2,2),(4,8),(8,4)$ 三种。$PAC$ 中 $PA^2$ 相同，故 $PC^2=PB^2$，也只能对应同一种。

取 $A=(0,0,0),B=(2,0,0),C=(1,\sqrt3,0),P=(u,v,h)$。由 $PB=PC$ 得 $v=u/\sqrt3$，由距离差得 $u=(PA^2+4-PB^2)/4$。三种情形依次给出

$$(u,h^2)=(1,2/3),(0,4),(2,8/3).$$

底面积为 $\sqrt3$，所以体积依次为 $\sqrt2/3,2\sqrt3/3,2\sqrt2/3$，均可取正高度实现，无其他情形。因此选 BCD。

第 27 题

题目

复数 $z$ 满足 $z^3+z+1=0$，则正确的是（　）。

• A. $|z|>1$
• B. $|z|<1$
• C. $|z+\overline z|<1$
• D. $|z+\overline z|>\dfrac12$

解答

这里选项应对满足方程的任意根成立。实函数 $t^3+t+1$ 严格递增，唯一实根 $r$ 满足 $-1<r<-1/2$。余下两根互为共轭 $z,\overline z$，由根和与根积

$$z+\overline z=-r,\qquad |z|^2=-1/r>1.$$

所以实根模小于 $1$，非实根模大于 $1$，A、B 都不能对所有根成立。对于实根，$|r+\overline r|=2|r|>1$，C 也不恒成立。对于实根与非实根，$|z+\overline z|$ 分别为 $2|r|$ 与 $|r|$，均大于 $1/2$，故仅 D 正确。

第 28 题

题目

向量 $\vec a,\vec b$ 的模长为正整数，且 $(|\vec a|+|\vec b|)(|\vec a|+3|\vec b|)=105$，$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+3\vec b)=33$，则（　）。

• A. $\langle\vec a,\vec b\rangle=120^\circ$
• B. $\langle\vec a,\vec b\rangle=135^\circ$
• C. $\vec a\cdot(\vec a+\vec b)=3$
• D. $\vec b\cdot(\vec a+\vec b)=22$

解答

令 $m=|\mathbf a|,n=|\mathbf b|$。写 $u=m+n,v=m+3n$，则 $uv=105$，且 $u<v<3u$。枚举正因子对 $(1,105),(3,35),(5,21),(7,15)$，唯一符合者为 $(7,15)$，从而 $m=3,n=4$。于是

$$33=m^2+3n^2+4mn\cos\theta=57+48\cos\theta,$$

得 $\cos\theta=-1/2,\theta=120^\circ$。再有 $\mathbf a\cdot(\mathbf a+\mathbf b)=9-6=3$，$\mathbf b\cdot(\mathbf a+\mathbf b)=16-6=10$，选 AC。

第 29 题

题目

若函数 $f(x)$ 满足：对任意三角形三边长 $a,b,c$，$f(a),f(b),f(c)$ 也能构成三角形三边长，则称 $f$ 具有性质 $P$。则（　）。

• A. $f(x)=\sqrt x$ 具有性质 $P$
• B. $f(x)=x^2$ 不具有性质 $P$

解答

本卷仅保留有来源的 A、B 两个命题，不推测缺失选项。

若 $a,b,c$ 为三角形边长，则 $\sqrt a<\sqrt{b+c}<\sqrt b+\sqrt c$，循环同理，且三数皆正，故 $f(x)=\sqrt x$ 具有性质 P，A 对。对于平方函数，取三角形边长 $1,1,3/2$，平方后为 $1,1,9/4$，不满足三角不等式，故 $f(x)=x^2$ 不具有性质 P，B 对。