2018年清华大学4.28测试 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
判断	错	错	错	对	错	错	对	对	错	错	对

题号	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
判断	对	错	错	对	错	对	对	错	对	对	（1）对；（2）错；（3）能

逐题解析

以下 $n$ 为正整数；反例写在 $\mathbb R$ 或 $\mathbb R^2$ 中时，可以补零坐标嵌入更高维空间。集合族的交、并允许无限多个集合。

第 1 题

题目

$(E')'=E'$。

解答

错。取 $E=\{1/k:k\in\mathbb N^*\}$，则 $E'=\{0\}$，而 $(E')'=\varnothing$。因为 $1/k$ 只向 $0$ 聚集，单点集又没有聚点，故不相等。

第 2 题

题目

$\bigl((E')'\bigr)'=(E')'$。

解答

错。取

$$E=\left\{\frac1m+\frac1{10m^2k}:m,k\in\mathbb N^*\right\}.$$

对固定 $m$，相应序列只聚集于 $1/m$；当 $m\to\infty$ 时全部点趋于 $0$。所以

$$E'=\{1/m:m\ge1\}\cup\{0\},\quad (E')'=\{0\},\quad ((E')')'=\varnothing.$$

上述已列全聚点：任何收敛且互异的点列，若其 $m$ 有界，则可取固定 $m$ 的子列；否则可取 $m\to\infty$ 的子列。故第二次、第三次导集不一定相等。

第 3 题

题目

$\partial(\partial E)=\partial E$。

解答

错。取 $E=\mathbb Q\subset\mathbb R$。任一开区间同时含有有理数与无理数，故 $\partial E=\mathbb R$，而 $\partial(\partial E)=\partial\mathbb R=\varnothing$。

第 4 题

题目

$\partial\bigl(\partial(\partial E)\bigr)=\partial(\partial E)$。

解答

对。任意集合的边界 $B=\partial E$ 是闭集，因为其补集是 $E$ 的内点与外点的并，后两者均为开集。闭集的边界为 $C=\partial B=B\setminus B^\circ$。$C$ 的内部为空：若非空开球 $U\subset C\subset B$，则 $U\subset B^\circ$，与 $C$ 的定义矛盾。$C$ 又是闭集，所以 $\partial C=C\setminus C^\circ=C$，即所需等式。

第 5 题

题目

若 $E\subseteq\mathbb R^n$，则 $E$ 的边界点一定是 $E$ 的聚点。

解答

错。取 $E=\{0\}\subset\mathbb R^n$。原点的每个邻域含原点，也含非原点，故 $0\in\partial E$；但它的去心邻域与 $E$ 无交，所以 $0\notin E'$。

第 6 题

题目

若 $E$ 为 $\mathbb R^n$ 中的开集，则 $F=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n,0)\mid(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in E\}$ 为 $\mathbb R^{n+1}$ 中的开集。

解答

错。取非空开集 $E=\mathbb R^n$，则 $F=\mathbb R^n\times\{0\}$。任何以 $F$ 中一点为中心的开球都含最后坐标非零的点，不能包含在 $F$ 中，故 $F$ 不是开集。

第 7 题

题目

若 $E$ 为 $\mathbb R^n$ 中的闭集，则上述 $F$ 为 $\mathbb R^{n+1}$ 中的闭集。

解答

对。设 $(x_k,0)\in F$ 收敛于 $(x,t)$。坐标收敛给出 $t=0$、$x_k\to x$；由 $E$ 闭知 $x\in E$，故极限仍在 $F$。在欧氏空间中，包含所有收敛点列极限的集合就是闭集：若集合不闭，取闭包中不属于它的点，在半径 $1/k$ 的邻域中选集合内一点，即得反例点列。因此 $F$ 闭。

第 8 题

题目

所有闭集的交集一定为闭集。

解答

对。设 $F=\bigcap_{\alpha}F_\alpha$，每个 $F_\alpha$ 闭。若 $x\notin F$，则存在 $\alpha$ 使 $x\notin F_\alpha$；因其补集开，存在以 $x$ 为中心且不交 $F_\alpha$ 的球，此球也不交 $F$。故 $F$ 的补集开，$F$ 闭。

第 9 题

题目

所有闭集的并集一定为闭集。

解答

错。每个单点集 $\{1/k\}$ 闭，但它们的并 $\{1/k:k\ge1\}$ 不含其聚点 $0$，故不闭。有限个闭集之并是闭集，不能推广到任意并。

第 10 题

题目

所有开集的交集一定为开集。

解答

错。开集 $(-1/k,1/k)$ 的交集为 $\{0\}$，不是开集。有限个开集之交是开集，不能推广到任意交。

第 11 题

题目

所有开集的并集一定为开集。

解答

对。若 $x\in\bigcup_\alpha U_\alpha$，则 $x$ 属于某个开集 $U_{\alpha_0}$，它有一个包含在 $U_{\alpha_0}$ 内的邻域，当然也包含在整个并集中。所以并集的每一点都是内点。

第 12 题

题目

若 $E$ 为 $\mathbb R^{n+1}$ 中的开集，则 $F=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid(x_1,\ldots,x_n,y)\in E\}$ 为 $\mathbb R^n$ 中的开集。

解答

对。这里 $F$ 是投影，即存在某个 $y$ 使 $(x,y)\in E$ 的所有 $x$。对任意 $x\in F$，选这样的 $y$。由 $E$ 开，存在 $r>0$ 使 $B((x,y),r)\subset E$。若 $|x'-x|<r$，则 $(x',y)$ 在该球内，因此 $x'\in F$。所以 $B(x,r)\subset F$，$F$ 开。

第 13 题

题目

若 $E$ 为 $\mathbb R^{n+1}$ 中的闭集，则上述 $F$ 为 $\mathbb R^n$ 中的闭集。

解答

错。在 $\mathbb R^2$ 中取闭集 $E=\{(x,y):xy=1\}$，它是连续函数 $xy$ 的闭水平集；投影为 $\mathbb R\setminus\{0\}$，不闭。更高维可取 $\{(x_1,\ldots,x_n,y):x_1y=1\}$。

第 14 题

题目

$E$ 为 $\mathbb R^2$ 的开集，则 $F=\{(x_1,x_2,x_1x_2)\mid(x_1,x_2)\in E\}$ 为 $\mathbb R^3$ 的开集。

解答

错。取 $E=\mathbb R^2$。所得 $F$ 是曲面 $z=x_1x_2$；任意曲面上的点向第三坐标方向移动任意小的非零距离，就离开曲面，故 $F$ 没有内点，也就不是开集。

第 15 题

题目

$E$ 为 $\mathbb R^2$ 的闭集，则上述 $F$ 为 $\mathbb R^3$ 的闭集。

解答

对。设 $(x_k,y_k,x_ky_k)\in F$ 收敛于 $(x,y,z)$。由于 $E$ 闭，$(x,y)\in E$；乘法连续给出 $z=xy$。极限仍在 $F$，故 $F$ 闭。

第 16 题

题目

$E$ 为 $\mathbb R^2$ 的开集，则 $F=\{(x_1,x_2,x_1+x_2)\mid(x_1,x_2)\in E\}$ 为 $\mathbb R^3$ 的开集。

解答

错。取 $E=\mathbb R^2$，得到平面 $z=x_1+x_2$；沿第三坐标方向作任意小非零移动即离开该平面，所以它不是 $\mathbb R^3$ 中的开集。

第 17 题

题目

$E$ 为 $\mathbb R^2$ 的闭集，则上述 $F$ 为 $\mathbb R^3$ 的闭集。

解答

对。若 $(x_k,y_k,x_k+y_k)\in F$ 收敛于 $(x,y,z)$，则由 $E$ 闭得到 $(x,y)\in E$，由加法连续得到 $z=x+y$。极限仍在 $F$，故 $F$ 闭。

第 18 题

题目

$E,F$ 为 $\mathbb R^n$ 中的开集，则 $W=\{(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)\mid(x_1,\ldots,x_n)\in E,(y_1,\ldots,y_n)\in F\}$ 为 $\mathbb R^n$ 中的开集。

解答

对。$W=E+F=\bigcup_{y\in F}(E+y)$，每个平移 $E+y$ 都开，因为 $B(x,r)\subset E$ 蕴含 $B(x+y,r)\subset E+y$。再由任意开集之并仍开可得结论。实际上只需 $E,F$ 中至少一个开。

第 19 题

题目

$E,F$ 为 $\mathbb R^n$ 中的闭集，则上述 $W$ 为 $\mathbb R^n$ 中的闭集。

解答

错。在 $\mathbb R$ 中取

$$E=\{m:m\in\mathbb N^*\},\qquad F=\{-m+1/m:m\in\mathbb N^*\}.$$

两集合均无有限聚点，因此均闭。其和集含 $1/m\to0$，但不含 $0$：若 $k-m+1/m=0$，则 $1/m=m-k$ 为正整数，迫使 $m=1,k=0$，与 $k\ge1$ 矛盾。故 $E+F$ 不闭。

第 20 题

题目

存在 $F\subseteq\mathbb R^n$，$F$ 为 $F'$ 的真子集。

解答

对。取 $F=\mathbb Q^n$。它在 $\mathbb R^n$ 中稠密，且任意去心球仍含有理坐标点，所以 $F'=\mathbb R^n$。由于存在无理坐标点，$F\subsetneq F'$。

第 21 题

题目

存在 $F\subseteq\mathbb R^n$，$F'$ 为 $F$ 的真子集。

解答

对。取任意非空有限集，如 $F=\{0\}$，则 $F'=\varnothing\subsetneq F$。

第 22 题

题目

给定一系列集合：

$$E_0=[0,1],\qquad E_1=\left[0,\frac13\right]\cup\left[\frac23,1\right].$$

继续将每个子区间三等分并去掉正中间的三分之一，得到

$$E_2=\left[0,\frac19\right]\cup\left[\frac29,\frac13\right] \cup\left[\frac23,\frac79\right]\cup\left[\frac89,1\right],\quad\ldots$$

令 $E=\displaystyle\bigcap_{i=1}^{+\infty}E_i$。判断并证明：

1. $E$ 为闭集；
2. $E$ 有内点；
3. 能否构造一个 $E$ 与 $[0,1]$ 的一一映射？

解答

（1）对。每个 $E_i$ 为有限个闭区间的并，因而闭；再由第 8 题知 $E=\bigcap_iE_i$ 闭。

（2）错。第 $i$ 阶段保留的各闭区间长度为 $3^{-i}$。若 $E$ 包含一个正长度开区间 $I$，取 $i$ 使 $3^{-i}<|I|$；因 $I\subset E_i$ 且 $I$ 连通，它必须落在 $E_i$ 的某一个区间中，与长度矛盾。所以 $E$ 没有内点。

（3）能，但不能直接将所有三进制的 $0,2$ 换为二进制的 $0,1$ 就声称是双射，因为二进制展开有双重表示。下面给出消除此问题的完整构造。

记 $I=[0,1]$。对 $x\in[0,1)$，选不以无限个 $1$ 结尾的二进制展开 $x=\sum_{k\ge1}b_k2^{-k}$；对 $x=1$ 选全为 $1$ 的展开。定义

$$j(x)=\sum_{k\ge1}2b_k3^{-k}\in E.$$

这是单射：两展开首次在第 $r$ 位不同，则相应三进制值之差的绝对值至少为

$$2\cdot3^{-r}-\sum_{k>r}2\cdot3^{-k}=3^{-r}>0.$$

另有自然包含单射 $E\hookrightarrow I$。为明确构造双射，令 $A_0=I\setminus E$，$A_{k+1}=j(A_k)$，$A_*=\bigcup_{k\ge0}A_k$，并定义

$$H(x)= \begin{cases} j(x),&x\in A_*,\\ x,&x\in I\setminus A_*. \end{cases}$$

第二种情况的 $x$ 属于 $E$。又

$$A_*\cap E=\bigcup_{k\ge1}A_k=j(A_*),$$

故两部分的像分别是 $A_*\cap E$ 与 $E\setminus A_*$，互不相交且覆盖 $E$；两部分各自为单射。因此 $H:I\to E$ 是双射，其逆即题目要求的 $E$ 到 $[0,1]$ 的一一映射。