2017年清华大学领军计划测试 · 参考解答

校对说明

对应历史汇编 PDF 第 42—45 页，共 25 题。恢复第 1 题绝对值的位置；第 4、18 题原选项全部不匹配，明示校订 A；第 13、14 题补明源图几何条件，避免依赖裁切残缺的图；第 21—25 题原正式稿误重编号为 17—21，已恢复。第 24 题缺少正数条件会导致无最小值，明示补为正实数。第 22 题按正式卷已声明的等比数列非零定义作答，并说明零数列的约定差异。

答案速览

1 AC；2 ABD；3 A；4 A（$2465/729$，校订）；5 A；6 AC；7 AC；8 AC；9 C；10 A；11 A；12 B；13 $\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DA}>\overrightarrow{FB}\cdot\overrightarrow{FA}>\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EA}$；14 D；15 B；16 CD；17 AD；18 A（$11$，校订）；19 A；20 BC；21 AD；22 B；23 B；24 B；25 A。

逐题解析

第 1 题

题目

已知复数 $z_1,z_2$，有 $|z_1+z_2|=1$，$|z_1^2+z_2^2|=4$，则 $|z_1z_2|$（　）

• A. 最大为 $\dfrac52$
• B. 最大为 $\dfrac74$
• C. 最小为 $\dfrac32$
• D. 最小为 $\dfrac54$

解答

令 $w=z_1+z_2,t=z_1z_2$，则 $|w|=1$，$|w^2-2t|=4$。因此 $t$ 位于以 $w^2/2$ 为中心、半径 $2$ 的圆上，故 $3/2\le|t|\le5/2$。固定 $w=1$，令 $t=-3/2$ 或 $5/2$，二次方程 $Z^2-wZ+t=0$ 的两根总能提供对应的 $z_1,z_2$，所以两端可取。选 AC。源式是 $|z_1^2+z_2^2|=4$，不能误读为两模平方之和。

第 2 题

题目

已知 $f(x)=x^2+ax+b$，当 $x\in[-1,1]$ 时，$|f(x)|\leqslant2$，则（　）

• A. $a\leqslant2$
• B. $a\geqslant-2$
• C. $b\geqslant-1$
• D. $b\leqslant1$

解答

由 $f(1)-f(-1)=2a$ 及两值都在 $[-2,2]$，得 $-2\le a\le2$。又 $[f(1)+f(-1)]/2=1+b\le2$，得 $b\le1$。C 的反例为 $f(x)=x^2-2$，在指定区间满足模不超过 $2$，但 $b=-2$。选 ABD。

第 3 题

题目

$\triangle ABC$ 为等边三角形，边长为 $3$。平面外一点 $P$ 满足 $PA=3$，$PB=4$，$PC=5$，求 $V_{P-ABC}$。

• A. $\sqrt{11}$
• B. $\sqrt{10}$
• C. $\dfrac{\sqrt5}{2}$
• D. $\dfrac{\sqrt3}{2}$

解答

取 $A=(0,0,0),B=(3,0,0),C=(3/2,3\sqrt3/2,0)$，令 $P=(x,y,h)$。由 $PB^2-PA^2=7$ 得 $x=1/3$；由 $PC^2-PA^2=16$ 得 $y=-8/(3\sqrt3)$。再由 $PA^2=9$，得 $h^2=176/27$。故

$$V=\frac13\cdot\frac{9\sqrt3}{4}\cdot\sqrt{\frac{176}{27}}=\sqrt{11},$$

选 A。

第 4 题

题目

有序四元组 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 中，$a_1,a_2,a_3,a_4\in\{1,2,\ldots,9\}$。记 $N(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 表示其中不同数的个数，例如 $N(1,1,2,2)=2$，$N(1,2,3,1)=3$，则全部四元组的 $N$ 的平均值为（　）（校订：原选项均不匹配，将 A 改为正确值。）

• A. $\dfrac{2465}{729}$
• B. $\dfrac{173}{64}$
• C. $\dfrac{87}{32}$
• D. $\dfrac{89}{32}$

解答

在全部 $9^4$ 个有序四元组中，对每个数字 $j$ 记是否出现的指示量 $I_j$，则 $N=\sum_{j=1}^9I_j$。每个数字不出现的比例为 $(8/9)^4$，故

$$\overline N=9\left(1-\left(\frac89\right)^4\right)=\frac{2465}{729}.$$

原 A 的 $175/64$ 对应允许数字只有四个的另一道题，不能同时保留题面九个数字与该答案。此卷保留源题数字范围，明示校订 A。

第 5 题

题目

求 $x+2y+3z=100$ 的非负整数解的组数。

• A. $884$
• B. $885$
• C. $886$
• D. $887$

解答

固定 $z$，$y$ 可从 $0$ 到 $\lfloor(100-3z)/2\rfloor$，$x$ 随之唯一，且 $0\le z\le33$。把 $z=2j,2j+1$ 配对，$0\le j\le16$，两项解数之和为 $(51-3j)+(49-3j)=100-6j$。总数 $1700-6\cdot136=884$，选 A。

第 6 题

题目

已知 $x^2+xy+y^2=1$，求 $(x+y)_{\max}$ 和 $x_{\max}$。

• A. $(x+y)_{\max}=\dfrac2{\sqrt3}$
• B. $(x+y)_{\max}=1$
• C. $x_{\max}=\dfrac2{\sqrt3}$
• D. $x_{\max}=1$

解答

恒等式 $x^2+xy+y^2=3(x+y)^2/4+(x-y)^2/4$ 给出 $x+y\le2/\sqrt3$，等号在 $x=y=1/\sqrt3$ 取得。又 $x^2+xy+y^2=3x^2/4+(y+x/2)^2$，所以 $x\le2/\sqrt3$，等号在 $y=-x/2$ 取得。选 AC。

第 7 题

题目

$y=\dfrac12x$ 交椭圆 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 于 $A,B$。椭圆上有一点 $P\ne A,B$，直线 $PA,PB$ 分别交 $y=-\dfrac12x$ 于 $C,D$，交点均存在，则（　）

• A. 椭圆上一点 $Q$，使得 $|OQ|^2=|OD|\cdot|OC|$ 的 $Q$ 有且仅有 $4$ 个
• B. 有且仅有 $2$ 个
• C. $y$ 轴上一点 $Q'$，使 $\angle OQ'C=\angle ODQ'$ 的 $Q'$ 有且仅有 $2$ 个
• D. 有且仅有 $4$ 个

解答

作仿射变换 $(X,Y)=(x/\sqrt8,y/\sqrt2)$，椭圆变为单位圆，两直线变为互相垂直的直径线。旋转后取第一条直径端点为 $(\pm1,0)$，$P=(u,v)$，则第二条直径上的两个交点参数为 $v/(1-u),v/(1+u)$，乘积为 $1$。变回原坐标，因第二条直径的半径向量为 $(2,-1)$，得到 $|OC|\,|OD|=5$，且 $C,D$ 在原点同侧。于是 $Q$ 满足

$$x_Q^2+y_Q^2=5,\quad x_Q^2+4y_Q^2=8,$$

给出 $(x_Q,y_Q)=(\pm2,\pm1)$ 共四点，A 正确。

为完整处理角度条件，写 $C=(c,-c/2),D=(d,-d/2)$，则 $cd=4$ 且 $c,d\ne0$。令 $Q'=(0,q),q\ne0$，直接计算两角正弦并平方、整理，等价于

$$(q^2-5)(q^2+cq+5)=0.$$

当 $q^2=5$ 时，两角余弦的符号分别由 $q(q+c/2)=(10+cq)/2$ 和 $20+2cq$ 决定，符号相同，故同正弦的两个角确实相等，得到 $q=\pm\sqrt5$ 两解。

若 $q^2+cq+5=0$ 且 $q^2\ne5$，上述两个余弦的符号分别为 $q^2-5$ 和 $5-q^2$，恰好相反，只得到互补角而不是相等角，应排除。因此恰有两点，C 正确，选 AC。

第 8 题

题目

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$，$P$ 是右准线上一点，$PA,PB$ 与椭圆相切于 $A,B$。$F_1$ 为椭圆左焦点，则下列选项正确的是（　）

• A. $|AB|_{\min}=1$
• B. $|AB|_{\min}=\dfrac12$
• C. $\triangle F_1AB$ 的周长为定值
• D. $\triangle F_1AB$ 的面积为定值

解答

右准线为 $x=4/\sqrt3$。设 $P=(4/\sqrt3,t)$，切点弦的极线方程为 $x/\sqrt3+ty=1$，所以 $AB$ 始终过右焦点 $F_2=(\sqrt3,0)$。

椭圆焦点弦长最小为通径 $2b^2/a=1$。亦可从焦点极坐标式相加得到 $AB=2p/(1-e^2\cos^2\theta)\ge2p=1$，其中 $p=b^2/a=1/2$，等号在竖直弦（$t=0$）取得。又

$$AF_1+BF_1+AB=(4-AF_2)+(4-BF_2)+AB=8,$$

因为 $F_2$ 在线段 $AB$ 内。面积并非定值：其为焦距 $2\sqrt3$ 乘弦两端纵坐标差的一半，随弦趋近横轴而趋于零，竖直弦时为正。选 AC。

第 9 题

题目

$\triangle ABC$ 中，求 $\sin A+\sin B\sin C$ 的最大值（　）

• A. $\dfrac32$
• B. 不存在
• C. $\dfrac{\sqrt5+1}{2}$
• D. $\dfrac{3+2\sqrt3}{4}$

解答

固定 $A$，$B+C=\pi-A$，故 $\sin B\sin C\le\sin^2((B+C)/2)=(1+\cos A)/2$，等号在 $B=C$ 时成立。于是

$$\sin A+\sin B\sin C\le\frac12+\sin A+\frac12\cos A\le\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

取锐角 $A$ 满足 $\tan A=2$，再令 $B=C=(\pi-A)/2$，可同时取等号。选 C。

第 10 题

题目

已知多项式 $x^4-2x^3+(m+2)x^2-(4m+2)x+4m+1\geqslant0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围（　）

• A. $[0,+\infty)$
• B. $(-\infty,0]$
• C. $\left[\dfrac12,1\right]$
• D. $\left[\dfrac12,+\infty\right)$

解答

多项式恰为 $(x-1)^2(x^2+1)+m(x-2)^2$。$m\ge0$ 时显然恒非负；反之取 $x=1$ 得 $m\ge0$。选 A。

第 11 题

题目

已知 $|z_1|=2$，$|z_2|=1$，求 $z_1-z_2$ 与 $z_1$ 夹角的最大值。

• A. $\dfrac\pi6$
• B. $\dfrac\pi3$
• C. $\dfrac\pi4$
• D. $\dfrac\pi2$

解答

旋转复平面令 $z_1=2$。向量 $z_1-z_2$ 的终点在以 $(2,0)$ 为圆心、半径 $1$ 的圆上。从原点观察这个圆的最大偏角出现在切线，故正弦为 $1/2$，最大角 $\pi/6$，选 A。

第 12 题

题目

已知 $A=\{-1,0,1\}$，$B=\{2,3,4,5,6\}$。$f$ 是一个从 $A$ 到 $B$ 的映射，则满足对任意 $x\in A$，$x+f(x)+xf(x)$ 为奇数的映射 $f$ 的种数为（　）

• A. $40$
• B. $50$
• C. $60$
• D. $70$

解答

当 $x=-1$ 时表达式恒为 $-1$，$f(-1)$ 有五种；当 $x=1$ 时为 $1+2f(1)$，亦五种；当 $x=0$ 时要求 $f(0)$ 为奇数，只能 $3,5$，两种。合计 $5\cdot5\cdot2=50$，选 B。

第 13 题

题目

在等腰 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，点 $D,E,F$ 均在线段 $BC$ 上，且 $\dfrac18BC=\dfrac14BD=\dfrac12BE=BF$，试比较 $\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EA}$、$\overrightarrow{FB}\cdot\overrightarrow{FA}$ 的大小关系。

解答

缩放令 $B=(0,0),C=(8,0),A=(4,h)$。则 $D=(4,0),E=(2,0),F=(1,0)$，三个点积依次为 $0,-4,-3$。因此 $D$ 对应点积最大，$F$ 其次，$E$ 最小。缩放仅使点积乘以同一正数，不改变大小。

第 14 题

题目

以 $A$ 为圆心，有一半径为 $1$ 的四分之一圆弧 $BC$，点 $P$ 在该弧上且异于端点。连接 $PB,PC$，$AD\perp PC$ 于 $D$，$AE\perp PB$ 于 $E$。求四边形 $ADPE$ 的面积的最大值（　）

• A. $\dfrac{\sqrt2}{2}$
• B. $\sqrt2$
• C. $\dfrac{\sqrt3}{3}$
• D. $\dfrac{\sqrt2}{4}$

解答

$A$ 为圆心，向弦所作垂线平分弦，故 $D,E$ 分别为 $PC,PB$ 中点。于是四边形面积等于 $\triangle APC$ 与 $\triangle APB$ 面积和的一半。取 $A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1),P=(x,y)$，$x^2+y^2=1,x,y>0$，得面积 $(x+y)/4\le\sqrt2/4$。等号在 $x=y=1/\sqrt2$ 取得，选 D。

第 15 题

题目

已知 $f(x)=x^2+ax+b$ 在 $x\in(-1,1)$ 上有两个零点。求 $a^2-2b$ 的取值范围。

• A. $(0,+\infty)$
• B. $(0,2)$
• C. $(-\infty,2)$
• D. $(-2,2)$

解答

设两个不同根为 $r,s\in(-1,1)$，则 $a=-(r+s),b=rs$，故 $a^2-2b=r^2+s^2$。它严格大于零、严格小于二；任意 $u\in(0,2)$，取 $r=-\sqrt{u/2},s=\sqrt{u/2}$ 即实现。范围 $(0,2)$，选 B。

第 16 题

题目

小赵、小钱、小孙、小李每人去 $A,B,C,D$ 四地之一，去的地方各不相同。小赵：“我去 $A$ 地”；小钱：“我去 $B$ 或 $C$ 或 $D$ 地”；小孙：“我去 $C$ 地”；小李：“我去 $D$ 地”。只有一个人说错了，可能是谁？

• A. 小赵
• B. 小钱
• C. 小孙
• D. 小李

解答

若小钱说错，他必去 A，与说真的小赵冲突；若小赵说错而另外三人说真，小孙、小李已占 C、D，小钱只能去 B，那么小赵只能去 A 又成真，矛盾。小孙说错可安排赵、钱、孙、李分别去 A、C、B、D；小李说错可安排分别去 A、D、C、B。选 CD。

第 17 题

题目

$f(x)=e^x(x-1)^2(x-2)$，则（　）

• A. $x=1$ 是极大值点
• B. $x=1$ 是极小值点
• C. 有 $2$ 个极大值点
• D. 有 $2$ 个极小值点

解答

$f'(x)=e^x(x-1)(x^2-3)$，在 $-\sqrt3,1,\sqrt3$ 分隔的四区间上符号依次为 $-,+,-,+$。所以 $x=1$ 为唯一极大值点，另有两个极小值点。选 AD。

第 18 题

题目

已知 $z=\cos\dfrac{2\pi}{5}+\mathrm i\sin\dfrac{2\pi}{5}$，$P(x)=x^2+x+2$，求 $P(z)P(z^2)P(z^3)P(z^4)$。（校订：原选项均不匹配，将 A 改为正确值。）

• A. $11$
• B. $12$
• C. $10$
• D. $8$

解答

令 $r,s$ 为 $P$ 的两根，$r+s=-1,rs=2$。记 $\Phi_5(t)=t^4+t^3+t^2+t+1$，所求乘积为 $\Phi_5(r)\Phi_5(s)$。利用 $r^2=-r-2$，递推得 $r^3=2-r,r^4=3r+2$，故 $\Phi_5(r)=2r+3$，同理对 $s$。乘积

$$(2r+3)(2s+3)=4rs+6(r+s)+9=11.$$

原四项不含正确值，校订 A 后选 A。

第 19 题

题目

求 $x\geqslant0,y\geqslant0,z\geqslant0,x+2y+3z\leqslant1$ 的体积。

• A. $\dfrac1{36}$
• B. $\dfrac1{18}$
• C. $\dfrac19$
• D. $\dfrac1{72}$

解答

区域为坐标平面和截距分别 $1,1/2,1/3$ 的平面围成的四面体，体积 $(1/6)\cdot1\cdot(1/2)\cdot(1/3)=1/36$，选 A。

第 20 题

题目

设 $a,b>0$ 且满足 $a^2+a=3b^2+2b$，则下列说法中正确的有（　）

• A. $a>2b$
• B. $a<2b$
• C. $a>b$
• D. $a<b$

解答

$h(t)=t^2+t$ 在正半轴严格递增，而 $h(b)=b^2+b<3b^2+2b<h(2b)=4b^2+2b$，所以 $b<a<2b$，选 BC。

第 21 题

题目

方程 $(3x+y)^5+x^5+4x+y=0$ 的实数解 $(x,y)$（　）

• A. 在一条直线上
• B. 在一条抛物线上
• C. 只有有限个
• D. 有无穷多个

解答

令 $h(t)=t^5+t$，它为严格递增奇函数。原式为 $h(3x+y)+h(x)=0$，故 $3x+y=-x$，等价于 $y=-4x$，有无穷多个实数解且恰为一条直线，选 AD。

第 22 题

题目

已知数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 满足

$$x_{n+1}=\frac12(y_n+z_n-x_n),\quad y_{n+1}=\frac12(x_n+z_n-y_n),\quad z_{n+1}=\frac12(x_n+y_n-z_n).$$

则下列说法正确的是（　）

• A. 数列 $\{x_n+y_n+z_n\}$ 一定是等比数列
• B. 若存在 $m\in\mathbb Z^+$，使得 $x_m=y_m=z_m$，则 $x_1=y_1=z_1$
• C. 若对任意 $n$ 均有 $x_n>0$，则 $x_1=y_1=z_1$
• D. 以上都不对

解答

令 $S_n=x_n+y_n+z_n$，则 $S_{n+1}=S_n/2$；同时 $x_{n+1}-y_{n+1}=-(x_n-y_n)$，其他差同理。所以某一项三者相等必推出初项相等，B 正确。

按正式卷非零等比数列定义，A 的“一定”不成立：初值 $(1,-1,0)$ 使 $S_n\equiv0$。若允许把全零数列也叫等比数列，则 A 会成为正确项，但本卷已统一排除此约定歧义。

C 也不成立。取 $(x_1,y_1,z_1)=(1,0,2)$，通项

$$x_n=2^{1-n},\quad y_n=2^{1-n}-(-1)^{n-1},\quad z_n=2^{1-n}+(-1)^{n-1}$$

满足递推且所有 $x_n>0$，但初项并不相等。因此选 B。

第 23 题

题目

$\{a_1,a_2,\ldots,a_6\}$ 是集合 $\{1,2,\ldots,6\}$ 的一个排列，且

$$a_1-5a_2+10a_3-10a_4+5a_5-a_6=0,$$

则这样的排列有（　）个。

• A. $5$
• B. $6$
• C. $8$
• D. $7$

解答

原式模 $5$ 得 $a_1\equiv a_6\pmod5$，因两者不同，只能为 $(1,6)$ 或 $(6,1)$。先取前者，剩余为 $2,3,4,5$，等式化为 $a_5-a_2+2(a_3-a_4)=1$。枚举这四个数的有序差，可得仅有

$$(a_2,a_3,a_4,a_5)=(2,3,4,5),(3,5,4,2),(5,3,2,4).$$

此枚举可按 $a_3-a_4$ 完整验证：差为 $1$ 有两例、为 $-1$ 有一例；差为 $2,-2,3,-3$ 均不可能让剩余两数之差满足要求。映射 $a_i\mapsto7-a_i$ 将首尾交换，得到另外三例。总计六个，选 B。

第 24 题

题目

已知正实数 $x,y,z,w$ 满足（教学改编：原稿缺少正数条件，商可能无定义或无最小值）

$$x+2w-z-2y=0,\qquad 2zy=xw,\qquad z\geqslant y,$$

则 $\dfrac zy$ 的最小值为（　）。

• A. $6+\sqrt2$
• B. $6+4\sqrt2$
• C. $6+3\sqrt2$
• D. $6+2\sqrt2$

解答

使用卷中明示补入的正实数条件。由 $x+2w=z+2y$、$2xw=4zy$，均值不等式给出 $(z+2y)^2\ge8xw=16zy$。除以 $y^2>0$，令 $r=z/y\ge1$，得 $r^2-12r+4\ge0$，故 $r\ge6+4\sqrt2$。等号可取任意 $y>0$，令 $z=(6+4\sqrt2)y$，$x=2w=(z+2y)/2$，两原方程均成立，最小值达到，选 B。

若只按原稿“实数”条件，甚至允许 $y=0$；即使排除零，取 $y=-1,z\to+\infty$，相应二次方程仍有实根 $x,2w$，使比值趋于负无穷。因此正数补充是必要的明确改编。

第 25 题

题目

已知 $f(x)=e^{2x}+e^x-ax$。若对任意 $x\geqslant0$，恒有 $f(x)\geqslant2$，则 $a\in$（　）。

• A. $(-\infty,3]$
• B. $[3,+\infty)$
• C. $(-\infty,\frac12]$
• D. $[\frac12,+\infty)$

解答

当 $a\le3$，由 $e^{2x}\ge1+2x,e^x\ge1+x$，对 $x\ge0$ 有 $f(x)\ge2+(3-a)x\ge2$。反之 $f(0)=2$，若在右邻域恒不小于 $2$，必须 $f'(0)=3-a\ge0$。故 $a\le3$，选 A。