2017年清华大学4.29测试 · 参考解答

题面说明

本卷按不定项选择题处理。第 11 题补明椭圆的标准位置，第 14 题补明变量为正数，第 20 题明确递推停止规则及无限数列的单调性；这些是教学补订，不冒充原始回忆题面的完整复原。第 6 题参数仍取实数，不能擅自限定为正数。第 16 题采用开区间。

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	B	B	AD	A	ABCD
题号	6	7	8	9	10
答案	AC	AB	B	C	A
题号	11	12	13	14	15
答案	A	C	B	A	ABC
题号	16	17	18	19	20
答案	C	B	B	A	CD
题号	21	22	23	24	25
答案	BC	ACD	AB	CD	D

逐题解析

第 1 题

题目

$a_1,a_2,\ldots,a_9$ 是数字 $1$ -- $9$ 的一个排列，求 $a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9$ 的最小值。

A. $213$
B. $214$
C. $215$
D. $216$

解答

记三个乘积为 $P,Q,R$ ，则 $PQR=9!=362880>71^3$ 。由均值不等式， $P+Q+R>213$ ；其为整数，故至少为 $214$ 。分组 $(1,8,9),(2,5,7),(3,4,6)$ 给出 $72+70+72=214$ ，故最小值为 $214$ ，选 B。

第 2 题

题目

设 $(x^2-x+1)^{1008}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2016}x^{2016}$ ，则 $a_0+2a_1+3a_2+\cdots+2017a_{2016}$ 的值是（　）

A. $1008$
B. $1009$
C. $2016$
D. $2017$

解答

令 $F(x)=(x^2-x+1)^{1008}$ 。所求为 $F(1)+F'(1)$ ，而 $F(1)=1$ ， $F'(1)=1008$ ，所以答案为 $1009$ ，选 B。

第 3 题

题目

$S=\{1,2,\ldots,25\}$ ， $A\subseteq S$ ，且 $A$ 的所有子集中元素之和不同。则下列选项正确的有（　）

A. $|A|_{\max}=6$
B. $|A|_{\max}=7$
C. 若 $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ ，则 $\sum_{i=1}^5\dfrac1{a_i}<\dfrac32$
D. 若 $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ ，则 $\sum_{i=1}^5\dfrac1{a_i}<2$

解答

先证明不能有七个元素。设七个元素为 $a_1,\ldots,a_7$ ，其 $128$ 个子集和按递增顺序为 $s_1,\ldots,s_{128}$ 。由于它们是不同整数， $s_j-s_i\ge j-i$ 。把子集等概率选取，子集和 $X$ 的方差满足

\operatorname{Var}(X)=\frac1{128^2}\sum_{i<j}(s_j-s_i)^2 \ge\frac{128^2-1}{12}.

另一方面，各元素独立地以概率 $1/2$ 被选入，所以 $\operatorname{Var}(X)=\tfrac14\sum a_i^2$ 。于是 $\sum a_i^2\ge5461$ ，但 $\sum a_i^2\le19^2+20^2+\cdots+25^2=3416$ ，矛盾。更多元素也会包含一个七元子集，故一并排除。

六元例子取 $A=\{11,17,20,22,23,24\}$ ，总和为 $117$ 。不同大小子集的和分别落在

\{0\},\ [11,24],\ [28,47],\ [48,69],\ [70,89],\ [93,106],\ \{117\},

这些范围互不相交。二元子集和为 $28,31,33,34,35,37,39,40,41,42,43,44,45,46,47$ ；三元子集和为 $48,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,69$ ，分别无重复。四元、五元子集由补集对应二元、一元子集，也无重复。因此最大基数为 $6$ 。

C 不成立： $\{1,2,4,8,16\}$ 的子集和互异，而倒数和为 $31/16>3/2$ 。证明 D 时将五个元素从小到大排列。若 $a_1\ge2$ ，倒数和不超过 $1/2+1/3+1/4+1/5+1/6<2$ 。若 $a_1=1,a_2\ge3$ ，其余元素两两不能相差 $1$ ，故它们至少为 $3,5,7,9$ ，倒数和不超过 $1+1/3+1/5+1/7+1/9<2$ 。若 $a_1=1,a_2=2$ ，由子集和 $0,1,2,3$ 已出现可知 $a_3\ge4$ ，且余下元素两两之差不能为 $1,2,3$ ，所以 $a_4\ge8,a_5\ge12$ 。倒数和至多 $1+1/2+1/4+1/8+1/12=47/24<2$ 。故选 AD。

第 4 题

题目

椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ 。过 $F_2$ 作一条直线交椭圆于 $A,B$ ，且 $F_1,A,B$ 不共线，则三角形 $F_1AB$ 的内切圆面积可能是（　）

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

解答

椭圆半长轴为 $2$ ，焦距为 $2$ 。设焦点弦所在直线与横轴夹角为 $\varphi$ ，记 $s=|\sin\varphi|\in(0,1]$ 。将焦点直线的参数式代入椭圆方程，可得弦长 $AB=12/(3+s^2)$ 。由椭圆定义， $F_1A+F_1B=8-AB$ ，故三角形半周长恒为 $4$ 。 $F_1$ 到弦所在直线的距离为 $2s$ ，于是内切圆半径为

r=\frac{[F_1AB]}4=\frac{AB\,s}{4}=\frac{3s}{3+s^2}.

该式在 $(0,1]$ 上严格递增，取值 $(0,3/4]$ 。内切圆面积遍历 $(0,9\pi/16]$ ，四个选项中只有 $1$ 在此范围，选 A。

第 5 题

题目

$\{a_n\}$ 、 $\{b_n\}$ 均为等差数列，已知 $a_1b_1=135$ ， $a_2b_2=304$ ， $a_3b_3=529$ ，则下列是 $\{a_nb_n\}$ 中的项的有（　）

A. $810$
B. $1147$
C. $1540$
D. $3672$

解答

两个等差数列的通项都是 $n$ 的一次式，故乘积为至多二次多项式。由前三项，其二阶差为 $529-2\cdot304+135=56$ ，从而

a_nb_n=28n^2+85n+22.

依次取 $n=4,5,6,10$ ，得到 $810,1147,1540,3672$ ，四个选项都成立。

第 6 题

题目

已知函数 $y=x+\dfrac tx$ （ $t\in\mathbb R$ ），过 $P(1,0)$ 作两条不同的切线，切点分别为 $M,N$ ，记 $|MN|=g(t)$ ，则下列说法中正确的有（　）

A. $t=\dfrac14$ 时， $PM\perp PN$
B. $g(t)$ 在定义域内单调递增
C. $t=\dfrac12$ 时， $M,N$ 和 $(0,1)$ 共线
D. $g(1)=6$

解答

设切点横坐标为 $v\ne0$ 。切线过 $(1,0)$ 的条件为 $v^2+2tv-t=0$ 。它有两个不同的非零实根当且仅当 $t>0$ 或 $t<-1$ ，这就是 $g$ 的定义域。根记为 $v_1,v_2$ ，则切点纵坐标为 $v+t/v=2v+2t$ ，所以切点弦所在直线为 $y=2x+2t$ ，并且

g(t)=\sqrt5|v_1-v_2|=2\sqrt5\sqrt{t^2+t}.

两条切线斜率的乘积为

\left(1-\frac{t}{v_1^2}\right)\left(1-\frac{t}{v_2^2}\right) =2-\frac{v_1^2+v_2^2}{t}=-4t.

故 $t=1/4$ 时两切线垂直。 $g$ 在 $(-\infty,-1)$ 上递减，所以 B 不成立。 $t=1/2$ 时切点弦为 $y=2x+1$ ，经过 $(0,1)$ ； $g(1)=2\sqrt{10}\ne6$ 。选 AC。

题面校注：若额外限制 $t>0$ ，B 也会成立；当前题面没有这一限制。

第 7 题

题目

已知数列 $\{x_n\}$ ，其中 $x_1=a$ ， $x_2=b$ ， $x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$ （ $a,b$ 是正整数），若 $2008$ 为数列中的某一项，求 $a+b$ 可能的取值。

A. $8$
B. $9$
C. $10$
D. $11$

解答

令斐波那契数为 $F_1=F_2=1$ ，则 $x_n=F_{n-2}a+F_{n-1}b$ （ $n\ge2$ ，约定 $F_0=0$ ）。取 $(a,b)=(7,1)$ ，有 $x_{15}=233\cdot7+377=2008$ ；取 $(a,b)=(1,8)$ ，有 $x_{14}=144+233\cdot8=2008$ ，故 $8,9$ 都可能。

若 $a+b=s\in\{10,11\}$ ， $x_{13}=89a+144b$ 的最大值分别为 $1385,1529$ ，而 $x_{15}=233a+377b$ 的最小值分别为 $2474,2707$ 。数列从第二项起严格递增，且前两项都小于 $2008$ ，因此只能考察第 $14$ 项。由 $144a+233b=2008$ 得 $a=(233s-2008)/89$ ，分别为 $322/89,555/89$ ，均非整数。故选 AB。

第 8 题

题目

独立掷一枚均匀六面骰子六次，存在 $k\in\{1,\ldots,6\}$ 使得第 $1$ -- $k$ 次的点数之和为 $6$ 的概率是 $p$ ，求 $p$ 的取值范围。

A. $0<p<0.25$
B. $0.25<p<0.5$
C. $0.5<p<0.75$
D. $0.75<p<1$

解答

前 $k$ 次点数和为 $6$ 的正整数解有 $\binom5{k-1}$ 个，每个点数自然不超过 $6$ 。由于点数均为正，各个 $k$ 对应的事件互斥，故

p=\sum_{k=1}^6\frac{\binom5{k-1}}{6^k} =\frac16\left(1+\frac16\right)^5 =\frac{16807}{46656}\in(0.25,0.5).

选 B。

第 9 题

题目

$\triangle ABC$ 中， $AB=2$ ， $AC=3$ ， $BC=4$ ， $O$ 为三角形内心。若 $\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{BC}$ ，求 $3\lambda+6\mu$ 。

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

解答

内心的重心坐标按对边长度加权。以 $A$ 为原点，有

\overrightarrow{AO}=\frac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}9 =\frac{5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}}9.

故 $3\lambda+6\mu=3$ ，选 C。

第 10 题

题目

甲乙丙丁四人做相互传球游戏，每次持球者独立、等概率地传给其他三人中的一人。从甲持球开始，共传球 $4$ 次，则第四次球传回甲的概率是（　）

A. $\dfrac7{27}$
B. $\dfrac5{27}$
C. $\dfrac78$
D. $\dfrac{21}{64}$

解答

记传球 $n$ 次后甲持球的概率为 $p_n$ 。由均匀传球规则， $p_{n+1}=(1-p_n)/3$ ， $p_0=1$ 。依次得 $p_1=0,p_2=1/3,p_3=2/9,p_4=7/27$ ，选 A。

第 11 题

题目

【教学补订】椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $a>b>0$ ）的中心为原点 $O$ ，离心率 $e\in\left[\dfrac1{\sqrt3},\dfrac1{\sqrt2}\right]$ 。直线 $y=-x+1$ 交椭圆于 $M,N$ ，且 $OM\perp ON$ ，求长轴长的取值范围。

A. $[\sqrt5,\sqrt6]$
B. $[\sqrt6,\sqrt7]$
C. $[\sqrt7,\sqrt8]$
D. $[\sqrt8,\sqrt9]$

解答

题面校注：这里采用已明确补订的标准椭圆位置；若不指定中心、轴向，原条件不能唯一确定长轴范围。

将 $y=1-x$ 代入椭圆方程，所得二次方程两根 $x_1,x_2$ 满足 $x_1+x_2=2a^2/(a^2+b^2)$ ， $x_1x_2=a^2(1-b^2)/(a^2+b^2)$ 。由 $OM\perp ON$ ，

0=x_1x_2+(1-x_1)(1-x_2)=1-(x_1+x_2)+2x_1x_2,

从而 $a^2+b^2=2a^2b^2$ 。代入 $b^2=a^2(1-e^2)$ ，得到

(2a)^2=\frac{2(2-e^2)}{1-e^2}.

右式关于 $e^2$ 严格递增，且 $e^2\in[1/3,1/2]$ ，故长轴长为 $[\sqrt5,\sqrt6]$ 。这些参数下 $1<a^2<2$ 、 $b^2<1$ ，交点判别式为正，端点均可达到。选 A。

第 12 题

题目

直角 $\triangle ABC$ 中，以直角边 $AB$ 、斜边 $BC$ 为其中一边分别向三角形所在一侧作正方形 $ABDE$ 和 $BCFG$ ，求 $\overrightarrow{GA}$ 和 $\overrightarrow{DC}$ 的夹角。

A. $45^\circ$
B. $60^\circ$
C. $90^\circ$
D. $120^\circ$

解答

取 $A=(0,0),B=(b,0),C=(0,c)$ ，其中 $b,c>0$ 。按题意向三角形所在侧作正方形，得 $D=(b,b)$ ， $G=(b-c,-b)$ 。于是

\overrightarrow{GA}=(c-b,b),\qquad \overrightarrow{DC}=(-b,c-b),

两向量内积为零，且均非零，故夹角为 $90^\circ$ ，选 C。

第 13 题

题目

正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的边长为 $1$ ，底面中心为 $O$ ， $A_1D_1$ 中点为 $M$ ， $CC_1$ 中点为 $N$ ，求四面体 $O-MB_1N$ 的体积。

A. $\dfrac7{24}$
B. $\dfrac7{48}$
C. $\dfrac5{24}$
D. $\dfrac5{48}$

解答

取 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),D=(0,1,0),A_1=(0,0,1)$ ，则

O=(1/2,1/2,0),\quad M=(0,1/2,1),\quad B_1=(1,0,1),\quad N=(1,1,1/2).

以 $O$ 为公共起点的三向量行列式为

\det\begin{pmatrix}-1/2&0&1\\1/2&-1/2&1\\1/2&1/2&1/2\end{pmatrix}=\frac78.

四面体体积为其绝对值的 $1/6$ ，即 $7/48$ ，选 B。

第 14 题

题目

【教学补订】设 $a,b,c>0$ ，求 $\dfrac{a}{b+3c}+\dfrac{b}{8c+4a}+\dfrac{9c}{3a+2b}$ 的最小值。

A. $\dfrac{47}{48}$
B. $1$
C. $\dfrac{35}{36}$
D. $\dfrac34$

解答

题面校注：正数条件不可省略；以下证明针对教学补订后的 $a,b,c>0$ 。

令 $s=a+b/2+3c$ ， $D=2ab+6ac+4bc$ 。由柯西不等式，

\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} =\frac{a^2}{ab+3ac}+\frac{(b/2)^2}{ab+2bc}+\frac{(3c)^2}{3ac+2bc} \ge\frac{s^2}{D}.

恒等式

12(48s^2-47D)=(12b-23a-22c)^2+47(a-10c)^2\ge0

给出 $s^2/D\ge47/48$ 。当 $(a,b,c)=(10,21,1)$ 时，原式等于 $10/24+21/48+9/72=47/48$ ，故最小值为 $47/48$ ，选 A。

第 15 题

题目

$\triangle ABC$ 中， $\angle A=60^\circ$ ， $\angle B=45^\circ$ ， $\angle A$ 的角平分线长度为 $2$ ， $CH\perp AB$ 于 $H$ 。则下列正确的是（　）

A. $CH=\sqrt3$
B. $AB=\sqrt3+1$
C. $BC=\sqrt6$
D. $S_{\triangle ABC}=3$

解答

按通常记号令 $b=CA,c=AB$ 。由正弦定理， $b/c=\sin45^\circ/\sin75^\circ=\sqrt3-1$ ；角平分线长为 $2bc\cos30^\circ/(b+c)=b$ ，故 $b=2,c=\sqrt3+1$ 。于是 $CH=b\sin60^\circ=\sqrt3$ ， $BC=b\sin60^\circ/\sin45^\circ=\sqrt6$ ，而面积为 $bc\sin60^\circ/2=(3+\sqrt3)/2\ne3$ 。选 ABC。

第 16 题

题目

$0<x<\dfrac\pi2$ ，则下列方程有解的是（　）

A. $\cos(\cos x)=\sin(\sin x)$
B. $\sin(\cos x)=\cos(\sin x)$
C. $\tan(\tan x)=\sin(\sin x)$
D. $\tan(\sin x)=\sin(\tan x)$

解答

A、B 都等价于 $\sin x+\cos x=\pi/2$ ，但左边不超过 $\sqrt2<\pi/2$ ，所以无解。对 C，限制 $\tan x\in(\pi,3\pi/2)$ ，则 $\tan(\tan x)$ 连续地从 $0$ 趋于正无穷，而 $\sin(\sin x)$ 连续且在 $(0,1)$ 内。由介值定理存在交点，故 C 有解。

下面完整排除 D。写 $t=\sin x\in(0,1)$ ，则 $\tan x=t/\sqrt{1-t^2}$ 。若 $t>\pi/4$ ，有 $\tan t>1\ge\sin(\tan x)$ ；若 $t=\pi/4$ ，则 $\tan x=\pi/\sqrt{16-\pi^2}<\pi/2$ ，故仍严格大于。只须考虑 $0<t<\pi/4$ 。我们证明

\arcsin(\tan t)>\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}.

两边在 $t=0$ 均为零；其导数分别为 $1/(\cos t\sqrt{\cos2t})$ 和 $(1-t^2)^{-3/2}$ ，故只需证 $(1-t^2)^3>\cos^2t\cos2t$ 。令 $u=t^2$ ， $q=\sin^2t$ 。由 $\sin t\ge t-t^3/6$ （可由积分 $1-\cos t\le t^2/2$ 得到），有 $q>u-u^2/3=:r$ ，且 $0<r<q<1/2$ 。函数 $3v-2v^2$ 在此范围递增，因此

3q-2q^2>3r-2r^2 =3u-3u^2+\frac43u^3-\frac29u^4 >3u-3u^2+u^3,

最后一步用 $u<1$ 。这等价于所需导数不等式。又 $t/\sqrt{1-t^2}<\pi/2$ ，在正弦的严格递增区间比较，得到 $\tan t>\sin(t/\sqrt{1-t^2})$ 。所以 D 在整个开区间均无解。唯一正确选项为 C。

第 17 题

题目

已知 $0<x<1$ ，则下列正确的是（　）

A. $\dfrac{\sin x}{x}<\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2<\dfrac{\sin x^2}{x^2}$
B. $\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2<\dfrac{\sin x}{x}<\dfrac{\sin x^2}{x^2}$
C. $\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2<\dfrac{\sin x^2}{x^2}<\dfrac{\sin x}{x}$
D. $\dfrac{\sin x^2}{x^2}<\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2<\dfrac{\sin x}{x}$

解答

函数 $h(t)=\sin t/t$ 在 $(0,1)$ 上取值于 $(0,1)$ 且严格递减： $\sin t-t\cos t$ 的导数为 $t\sin t>0$ ，其在 $0$ 的极限为零，故 $h'(t)<0$ 。由于 $0<x^2<x$ ，得

\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2<\frac{\sin x}{x}<\frac{\sin x^2}{x^2}.

选 B。

第 18 题

题目

已知 $z_1=\sin\alpha+2\mathrm i$ ， $z_2=1+\mathrm i\cos\alpha$ ，求 $\dfrac{\left|13-|z_1+\mathrm iz_2|^2\right|}{|z_1-\mathrm iz_2|}$ 的最小值。

A. $\dfrac12$
B. $2$
C. $\dfrac43$
D. $\dfrac32$

解答

$z_1+\mathrm iz_2=(\sin\alpha-\cos\alpha)+3\mathrm i$ ， $z_1-\mathrm iz_2=(\sin\alpha+\cos\alpha)+\mathrm i$ ，所以两者模平方分别为 $10-\sin2\alpha$ 和 $2+\sin2\alpha$ 。原式为

\frac{3+\sin2\alpha}{\sqrt{2+\sin2\alpha}}=v+\frac1v, \qquad v=\sqrt{2+\sin2\alpha}\in[1,\sqrt3].

最小值为 $2$ ，在 $\sin2\alpha=-1$ 时达到，选 B。

第 19 题

题目

在空间中过点 $A$ 作平面 $\pi$ 的垂线，垂足为 $B$ ，记 $B=f_\pi(A)$ 。设 $\alpha,\beta$ 是两个不同的平面。对空间中任意一点 $P$ ， $Q_1=f_\beta[f_\alpha(P)]$ ， $Q_2=f_\alpha[f_\beta(P)]$ ，恒有 $PQ_1=PQ_2$ ，则（　）

A. $\alpha\perp\beta$
B. $\alpha$ 与 $\beta$ 的锐二面角为 $45^\circ$
C. $\alpha\parallel\beta$
D. $\alpha$ 与 $\beta$ 的锐二面角为 $60^\circ$

解答

若两平面平行且相距 $d>0$ ，取 $P\in\alpha$ ，则 $PQ_1=d,PQ_2=0$ ，不合要求。若两平面相交，取垂直交线的截面，并在 $\alpha$ 中取距交线为 $r>0$ 的点 $P$ 。设两平面的夹角为 $\theta\in(0,\pi/2]$ ，在该截面中令 $P=(r,0)$ ，另一条截线方向为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。投影给出

Q_1=(r\cos^2\theta,r\cos\theta\sin\theta),\quad Q_2=(r\cos^2\theta,0),

所以 $PQ_1=r\sin\theta$ ， $PQ_2=r\sin^2\theta$ 。相等迫使 $\theta=\pi/2$ 。反之，两平面垂直时任一点的两次投影不论顺序均落在交线上的同一垂足，即 $Q_1=Q_2$ ，满足要求。选 A。

第 20 题

题目

【教学补订】从实数 $a_1=a,a_2=b$ 出发，按 $a_{n+2}=a_n-\dfrac7{a_{n+1}}$ 递推；遇到零分母即停止。选项 A、B 中的递增、递减专指无限数列的严格单调性。则（　）

A. $\{a_n\}$ 可能递增
B. $\{a_n\}$ 可能递减
C. $\{a_n\}$ 可能为有限项
D. $\{a_n\}$ 可能为无限项

解答

题面校注：有限序列本身也可称为递增或递减，例如 $(1,7)$ 可继续生成 $0$ 后停止，另一些短序列可严格单调，因此原回忆稿的 A、B 有语义歧义。正式教学版已将 A、B 限定为无限数列的单调性。

若递推无限进行，令 $p_n=a_na_{n+1}$ 。递推式给出 $p_{n+1}=p_n-7$ ，从而 $p_n=ab-7(n-1)$ 。充分大时相邻两项的乘积恒为负，即数列最终正负交替，不可能严格递增或严格递减。取 $(a,b)=(1,7)$ ，生成第三项 $0$ 后下一步分母为零，故有限情形存在。取 $(a,b)=(1,1)$ ，则 $p_n=1-7(n-1)$ 永不为零，从初值出发归纳可知每一步均合法，故无限情形也存在。选 CD。

第 21 题

题目

某校共 $2017$ 名学生，其中每名学生至少要选 $A,B$ 中的一门课，也有些学生选了两门课。已知选修 $A$ 的人数占全校人数介于 $70\%$ -- $75\%$ ，选 $B$ 的人数占 $40\%$ -- $45\%$ 。则下列正确的是（　）

A. 同时选 $A,B$ 的可能有 $200$ 人
B. 可能有 $300$ 人
C. 可能有 $400$ 人
D. 可能有 $500$ 人

解答

选 A 课的人数为 $1412$ 至 $1512$ ，选 B 课的人数为 $807$ 至 $907$ 。两课人数之和减去 $2017$ 就是同时选两课的人数，因此其取值为 $202$ 至 $402$ 的整数。每个中间整数都能由这两个整数区间的和实现，例如 $300=1412+905-2017$ ， $400=1510+907-2017$ ，故选 BC。

第 22 题

题目

已知 $D,E$ 是直角 $\triangle ABC$ 斜边 $BC$ 上的三等分点。设 $AD=a$ ， $AE=b$ ，则实数对 $(a,b)$ 可以是（　）

A. $(1,1)$
B. $(1,2)$
C. $(2,3)$
D. $(3,4)$

解答

按 $B,D,E,C$ 的顺序设 $B=(0,0),D=(l,0),E=(2l,0),C=(3l,0)$ ，其中 $l>0$ 。直角顶点 $A=(x,y)$ 满足 $x^2+y^2=3lx$ ，且 $0<x<3l$ 、 $y\ne0$ 。于是

a^2=l^2+lx,\qquad b^2=4l^2-lx,

得到 $1/2<a/b<2$ 。反过来，给定正数 $a,b$ 满足这个严格不等式，取 $l^2=(a^2+b^2)/5$ ， $x=(a^2-l^2)/l$ ，就有 $0<x<3l$ ，再取 $y=\sqrt{x(3l-x)}>0$ ，可构造出所需三角形。所以该条件充要。四组中只有 $(1,2)$ 落在退化端点，其余都能实现，选 ACD。

第 23 题

题目

已知函数 $f(x)=x^2+2x$ ， $m\geqslant1$ 。若存在实数 $t$ ，当 $x\in[1,m]$ 时有 $f(x+t)\leqslant3x$ 恒成立，则实数 $m$ 可以等于（　）

A. $3$
B. $6$
C. $9$
D. $12$

解答

设 $u=t+1$ ，则所需条件为 $(x+u)^2\le3x+1$ 。左边减右边是关于 $x$ 的凸二次函数，故在闭区间上不大于零当且仅当两个端点均不大于零。于是

u\in[-3,1]\cap[-m-\sqrt{3m+1},-m+\sqrt{3m+1}].

在 $m\ge1$ 下，两区间相交当且仅当 $m-\sqrt{3m+1}\le3$ ，即 $m\le8$ （ $1\le m\le3$ 自动满足； $m>3$ 可平方得 $(m-1)(m-8)\le0$ ）。取 $u=-3$ 时，差式为 $(x-1)(x-8)$ ，验证所有 $1\le m\le8$ 都能实现。故选 AB。

第 24 题

题目

设 $x,y\in\mathbb R$ ，函数 $f(x,y)=x^2+6y^2-2xy-14x-6y+72$ 的值域为 $M$ ，则（　）

A. $1\in M$
B. $2\in M$
C. $3\in M$
D. $4\in M$

解答

配方得 $f(x,y)=(x-y-7)^2+5(y-2)^2+3$ ，所以值域为 $[3,+\infty)$ 。取 $y=2,x=9+\sqrt{v-3}$ 可实现任意 $v\ge3$ 。故 $3,4$ 属于值域，选 CD。

第 25 题

题目

若 $N$ 的三个子集满足 $|A\cap B|=|B\cap C|=|C\cap A|=1$ ，且 $A\cap B\cap C=\varnothing$ ，则称 $(A,B,C)$ 为 $N$ 的“有序子集列”。现有 $N=\{1,2,3,4,5,6\}$ ，则 $N$ 有（　）个有序子集列。

A. $540$
B. $1280$
C. $3240$
D. $7680$

解答

三个两两交集的唯一元素必须互不相同，否则出现三重交集。因此先给 $A\cap B,B\cap C,C\cap A$ 依次分配三个不同元素，共 $6\cdot5\cdot4$ 种。其余三个元素各自只能属于 A、只属于 B、只属于 C 或三者都不属于，共 $4^3$ 种。这两步与有序子集列一一对应，没有重复或遗漏，故总数为 $6\cdot5\cdot4\cdot4^3=7680$ ，选 D。