2016年清华大学暑期学校测试 · 参考解答

校对说明

核对历史汇编 PDF 第 31—32 页。第 6 题按原图恢复平面 $AD_1C$；第 5 题原稿的无穷集合导致计数失效，明确作有限全集教学改编；第 7 题原稿两条平行切线不相交，明确校订为交叉连线 $AD,BC$。以下针对正式校订卷。

答案速览

1. $(0,2/3)$。
2. $3\sqrt3/2$。
3. $L:y=(1-a)x+2a-1$；上方结论成立。
4. $96/25$。
5. $-1,-1$；$1008$，当且仅当 $B\subseteq X\subseteq A$。
6. $\sqrt2$。
7. $m^2+4n^2=16$ 且 $n\ne0$；$a=3\sqrt3/2$。
8. $a_n=\sqrt3\sin(2\pi n/3-\pi/3)+1/2$。
9. $-9$。
10. $(\pi/2-1,1)$。
11. $f(x)=2\sin(-4x/3+17\pi/18)+1$；增区间 $[3k\pi/2-5\pi/12,3k\pi/2+\pi/3]$，$k\in\mathbb Z$；唯一零点 $5\pi/6$。
12. $-2121$。

逐题解析

第 1 题

题目

已知 $0<\log_a\dfrac23<1$ 且 $a\neq1$，求 $a$ 的取值范围。

解答

底数须 $a>0,a\ne1$。真数 $2/3<1$，对数为正迫使 $a<1$；此时 $\log_a(2/3)<1$ 等价于 $2/3>a$。故 $0<a<2/3$。

第 2 题

题目

在锐角 $\triangle ABC$ 中，$a=\sqrt7$，$b=3$，$\sin A+\sqrt7\sin B=2\sqrt3$，求三角形的面积。

解答

正弦定理给出 $\sin A/\sin B=\sqrt7/3$，代入已知式得 $\sin B=3\sqrt{21}/14$，$\sin A=\sqrt3/2$。三角形为锐角，故 $A=\pi/3$，$\cos B=\sqrt7/14$。于是

$$\sin C=\sin(A+B)=\frac{\sqrt3}2\frac{\sqrt7}{14}+\frac12\frac{3\sqrt{21}}{14}=\frac{\sqrt{21}}7.$$

面积 $ab\sin C/2=3\sqrt3/2$。

第 3 题

题目

$L$ 为 $C:y=\dfrac{a+\ln x}{x}$ 在 $(1,a)$ 处的切线。

1. 求 $L$ 的解析式；
2. 证明：当 $a\leqslant1$ 时，$L$ 除切点外恒在 $C$ 的上方。

解答

导数为 $(1-a-\ln x)/x^2$，故切线斜率 $1-a$，切线如答案。对 $x>0$，切线函数减去原函数再乘以 $x$，等于

$$(1-a)(x-1)^2+x-1-\ln x.$$

当 $a\le1$ 时首项非负；经典不等式 $\ln x\le x-1$ 仅在 $x=1$ 等号，故除切点外差严格为正。

第 4 题

题目

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 的左、右焦点为 $F_1,F_2$。过 $F_2$ 作斜率为 $1$ 的直线与椭圆交于 $A,C$ 两点；过 $F_1$ 作直线与椭圆交于 $B,D$ 两点，$AC\perp BD$，求四边形 $ABCD$ 的面积。

解答

焦点为 $(\pm1,0)$。两条直线为 $y=x-1$ 与 $y=-x-1$，交点 $(0,-1)$ 位于椭圆内，故为四边形的两条垂直对角线。前一直线代入椭圆，得 $5x^2-6x-3=0$，两根差 $4\sqrt6/5$，故 $AC=8\sqrt3/5$。关于 $y$ 轴对称可知 $BD=AC$，面积为 $AC\cdot BD/2=96/25$。

第 5 题

题目

定义 $f_M(x)=\begin{cases}-1,&x\in M,\\1,&x\notin M,\end{cases}$，$M\triangle N=\{x\mid f_M(x)f_N(x)=-1\}$。令 $U=\{1,2,\ldots,2016\}$，$A=U$，$B=\{2,4,\ldots,2016\}$。（教学改编：原稿 $B$ 为无穷偶数集，无法得到有限的最小值；这里限制在同一有限全集。）

1. 求 $f_A(2016),f_B(2016)$；
2. 设 $X\subseteq U$，$\operatorname{card}(X)$ 为集合 $X$ 的元素个数，求 $J=\operatorname{card}(X\triangle A)+\operatorname{card}(X\triangle B)$ 的最小值。

解答

$2016$ 同时属于 $A,B$，两函数值均为 $-1$。符号定义的 $M\triangle N$ 正是对称差。

逐个数计数：全集内每个奇数属于 $A$ 不属于 $B$，不论是否选入 $X$，对 $J$ 恰贡献 $1$；每个偶数同时属于 $A,B$，选入 $X$ 贡献 $0$，不选入则贡献 $2$。共有 $1008$ 个奇数，故 $J\ge1008$，且等号当且仅当所有偶数都在 $X$ 中，即 $B\subseteq X\subseteq A$。

原稿无界的偶数集与有限集 $A$ 有无限对称差，不能得到本题所求有限整数最小值；此处采用卷中明示的教学改编。

第 6 题

题目

在立方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，在 $A_1B_1C_1D_1$ 面内有一点 $M$，使得 $BM\parallel$ 平面 $AD_1C$，求 $\tan\angle D_1MD$ 的最大值。

解答

缩放为单位立方体，取 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(1,1,0),D=(0,1,0)$，上层对应点的第三坐标为 $1$。平面 $AD_1C$ 为 $x-y+z=0$。设 $M=(x,y,1)$，由 $BM$ 平行于该平面，得 $(x-1)-y+1=0$，故 $M=(t,t,1)$，$0\le t\le1$。直线 $BM$ 确实不在平面中，因为 $B$ 不在平面中。

$MD_1$ 水平，$D_1D$ 竖直且长 $1$，故在直角三角形 $MD_1D$ 中

$$\tan\angle D_1MD=\frac1{\sqrt{t^2+(1-t)^2}}\le\sqrt2.$$

在上底面中心 $t=1/2$ 时等号成立。

第 7 题

题目

已知圆 $C:x^2+y^2=16$，$A,B$ 为圆与 $x$ 轴的交点（$x_A<x_B$）。$l_1,l_2$ 是 $A,B$ 处的切线。$P$ 为圆上一个不与 $A,B$ 重合的点，过 $P$ 点的切线交 $l_1,l_2$ 于 $C,D$ 两点。$AD$ 与 $BC$ 交于点 $M(m,n)$。（校订：原稿 $AC$ 与 $BD$ 平行，改为交叉连线。）

1. 求 $m^2$ 与 $n^2$ 的关系；
2. 存在一点 $Q(a,0)$（$a>0$），使 $|QM|$ 的最小值是 $\dfrac{\sqrt7}{2}$，求 $a$。

解答

令 $P=(u,v)$，$u^2+v^2=16,v\ne0$。切线为 $ux+vy=16$，故

$$C=(-4,(16+4u)/v),\quad D=(4,(16-4u)/v).$$

联立交叉直线 $AD,BC$ 得 $M=(u,v/2)$。于是轨迹为 $m^2+4n^2=16,n\ne0$，即去掉横轴端点的椭圆，反之其中每一点均能取到。

因此

$$QM^2=(m-a)^2+n^2=\frac34m^2-2am+a^2+4,\quad -4<m<4.$$

当 $0<a<3$，顶点 $m=4a/3$ 在区间内，最小值为 $4-a^2/3$；当 $a\ge3$，函数在此开区间严格递减，只能趋近右端而无最小值。故必须解 $4-a^2/3=7/4$，得到 $a=3\sqrt3/2<3$，确实满足。

第 8 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=1-\dfrac1{a_{n-1}}$（$n\geqslant2$），$a_1=2$。已知 $\{a_n\}$ 的通项可以表示成 $A\sin(\omega n+\varphi)+B$ 的形式，求 $\{a_n\}$ 的一个表达式。

解答

递推依次产生 $2,1/2,-1,2,\ldots$，三个值均不为零，所以递推始终有定义且三周期重复。答案中的正弦式亦三周期，并在 $n=1,2,3$ 分别为 $2,1/2,-1$，从而对所有正整数 $n$ 成立。

第 9 题

题目

已知 $A=\{x\mid x^2-2x-3>0\}$，$B=\{x\mid x^2+ax+b\leqslant0\}$，$A\cup B=\mathbb R$，$A\cap B=(3,5]$，求 $a+b$ 的值。

解答

$A=(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$。由并集为全体实数知 $B$ 包含 $[-1,3]$；$B$ 为首项系数正的二次不等式解集，故是闭区间。交集条件排除小于 $-1$ 的数，又给出右端点 $5$，所以 $B=[-1,5]$。二次式为 $(x+1)(x-5)=x^2-4x-5$，故 $a+b=-9$。

第 10 题

题目

圆心在 $(0,1)$ 的单位圆沿 $x$ 轴正向滚动，初始时刻 $P(0,0)$。当圆心滚动至 $\left(\dfrac\pi2,1\right)$ 时，求此时的 $\overrightarrow{OP}$。

解答

无滑动滚动时圆心平移距离等于转角（单位半径）。转角为 $\theta=\pi/2$，初始向下的半径顺时针旋转到向左。因此圆心为 $(\pi/2,1)$ 时 $P=(\pi/2-1,1)$，这也就是 $\overrightarrow{OP}$ 的坐标。

第 11 题

题目

已知 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+B$，部分自变量、相位、函数值如下：当相位为 $0$ 时函数值为 $1$；当相位为 $\dfrac\pi2$ 时函数值为 $3$；当 $x=\dfrac\pi3$ 时相位为 $\dfrac\pi2$；当 $x=\dfrac{7\pi}{12}$ 时相位为 $\dfrac\pi6$。

1. 求 $f(x)$ 的表达式；
2. 求 $f(x)$ 的增区间；
3. 求 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 内的所有零点。

解答

相位为 $0$、$\pi/2$ 时分别给出 $B=1,A+B=3$，故 $A=2$。相位是实际给定的线性量（不额外加周期）：

$$\omega\frac\pi3+\varphi=\frac\pi2,\qquad \omega\frac{7\pi}{12}+\varphi=\frac\pi6.$$

相减得 $\omega=-4/3$，继而 $\varphi=17\pi/18$。

导数为 $-(8/3)\cos(-4x/3+17\pi/18)$，非负恰对应余弦非正，整理得到答案中的各增区间。

当 $0<x<\pi$ 时，相位落在 $(-7\pi/18,17\pi/18)$。其中满足正弦等于 $-1/2$ 的相位只有 $-\pi/6$，解得 $x=5\pi/6$。

第 12 题

题目

已知等差数列 $\{a_n\}$ 及其前 $n$ 项和 $S_n$，$S_{105}=2016$，$S_{2016}=105$，求 $S_{2121}$。

解答

等差数列前 $n$ 项和写为 $S_n=\alpha n^2+\beta n$。一般地，若 $S_p=q,S_q=p$ 且 $p\ne q$，则

$$\alpha=-\frac{p+q}{pq},\qquad \beta=\frac qp+\frac pq+1.$$

代入可得 $S_{p+q}=-(p+q)$。取 $p=105,q=2016$，得到 $S_{2121}=-2121$。