2015年清华大学领军计划测试 · 参考解答

校对说明

对应历史汇编 PDF 第 19—23 页，共 30 题。本卷须按不定项选择题处理。第 5 题原裁图漏掉左半幅，现按完整源图重绘示意；第 28 题 D 中“和”恢复为源图的“比”。等比数列按通常定义要求各项非零，以消除第 10 题零数列歧义。

答案速览

1 B；2 D；3 ABD；4 AC；5 BC；6 BCD；7 BD；8 BCD；9 C；10 AC；11 D；12 B；13 ABD；14 D；15 ABC；16 BD；17 C；18 ACD；19 ACD；20 BCD；21 AB；22 BC；23 ABC；24 ABC；25 AC；26 B；27 AC；28 A；29 C；30 ABD。

逐题解析

第 1 题

题目

设复数 $z=\cos\dfrac{2\pi}{3}+\mathrm i\sin\dfrac{2\pi}{3}$，则 $\dfrac1{1-z}+\dfrac1{1-z^2}=$（　）

• A. $0$
• B. $1$
• C. $\dfrac12$
• D. $\dfrac32$

解答

$z^3=1,z\ne1,z+z^2=-1$，所以

$$\frac1{1-z}+\frac1{1-z^2}=\frac{2-z-z^2}{1-z-z^2+z^3}=1.$$

选 B。

第 2 题

题目

设数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，$p,q,k,l$ 为正整数，则“$p+q>k+l$”是“$a_p+a_q>a_k+a_l$”的（　）条件。

• A. 充分不必要
• B. 必要不充分
• C. 充要
• D. 既不充分也不必要

解答

差值为 $(p+q-k-l)d$，其中 $d$ 为公差。没有 $d>0$ 的条件，两种不等式不能等价。取递减等差数列，$p+q>k+l$ 时后一式反而小于，反之亦然，充分性、必要性都不成立，选 D。

第 3 题

题目

设 $A,B$ 是抛物线 $y=x^2$ 上两点，$O$ 是坐标原点，若 $OA\perp OB$，则（　）

• A. $|OA|\cdot|OB|\geqslant2$
• B. $|OA|+|OB|\geqslant2\sqrt2$
• C. 直线 $AB$ 过抛物线 $y=x^2$ 的焦点
• D. $O$ 到直线 $AB$ 的距离小于等于 $1$

解答

设 $A=(u,u^2),B=(v,v^2)$。垂直的两条直线均须非退化，故 $uv\ne0$；由点积为零得 $uv=-1$。两向量垂直，且

$$|OA||OB|=\sqrt{(1+u^2)(1+u^{-2})}\ge2,$$

从而 $|OA|+|OB|\ge2\sqrt2$。弦 $AB$ 方程为 $y=(u+v)x+1$，原点到弦的距离为 $1/\sqrt{1+(u+v)^2}\le1$，但它通过 $(0,1)$ 而非焦点 $(0,1/4)$。选 ABD。

第 4 题

题目

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,1)$，且满足：$f(x)>0$，$x\in(-1,0)$；$f(x)+f(y)=f\!\left(\dfrac{x+y}{1+xy}\right)$，$x,y\in(-1,1)$。则 $f(x)$ 为（　）

• A. 奇函数
• B. 偶函数
• C. 减函数
• D. 有界函数

解答

取 $x=y=0$ 得 $f(0)=0$，再取 $y=-x$ 得奇性。若 $x<y$，令 $t=(x-y)/(1-xy)\in(-1,0)$，则 $x=(t+y)/(1+ty)$，所以 $f(x)-f(y)=f(t)>0$，故严格递减。

为排除有界性，固定 $t\in(-1,0)$，将其在运算 $u\star v=(u+v)/(1+uv)$ 下重复合成 $n$ 次，所得点仍在 $(-1,0)$，函数值为 $nf(t)$，无上界。非零奇函数不可能为偶函数。选 AC。

第 5 题

题目

如图，已知直线 $y=kx+n$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切于两点，则 $F(x)=f(x)-kx$ 有（　）

• A. $2$ 个极大值点
• B. $3$ 个极大值点
• C. $2$ 个极小值点
• D. $3$ 个极小值点

解答

从完整示意图考察切线斜率与 $k$ 的比较，$F'=f'-k$ 的符号依次为 $+,-,+,-,+,-$。因此有三个由正到负的转折、两个由负到正的转折，即三个极大值点、两个极小值点，选 BC。这里依据的是题给整幅曲线，而不只是“两处相切”这一个孤立条件。

第 6 题

题目

$\triangle ABC$ 的三边分别为 $a,b,c$。若 $c=2$，$\angle C=\dfrac\pi3$，且 $\sin C+\sin(B-A)-2\sin2A=0$，则有（　）

• A. $b=2a$
• B. $\triangle ABC$ 的周长为 $2+2\sqrt3$
• C. $\triangle ABC$ 的面积为 $\dfrac{2\sqrt3}{3}$
• D. $\triangle ABC$ 的外接圆半径为 $\dfrac{2\sqrt3}{3}$

解答

由 $C=\pi-A-B$，

$$\sin C+\sin(B-A)=2\sin B\cos A.$$

原式等价于 $2\cos A(\sin B-2\sin A)=0$。第一种情形 $A=\pi/2,B=\pi/6$；第二种情形 $b=2a$，余弦定理给出 $4=a^2+4a^2-2a^2=3a^2$，所以两直角边为 $2/\sqrt3,4/\sqrt3$，且此时 $B=\pi/2$。两种情形仅交换 $a,b$，周长均为 $2+2\sqrt3$，面积均为 $2\sqrt3/3$，外接圆半径 $c/(2\sin C)=2\sqrt3/3$。A 未覆盖第一种情形，选 BCD。

第 7 题

题目

设 $f(x)=(x^2-3)e^x$，则（　）

• A. $f(x)$ 有极小值，但无最小值
• B. $f(x)$ 有极大值，但无最大值
• C. 若方程 $f(x)=b$ 恰有一个实根，则 $b>\dfrac6{e^3}$
• D. 若方程 $f(x)=b$ 恰有三个不同实根，则 $0<b<\dfrac6{e^3}$

解答

$f'(x)=e^x(x+3)(x-1)$，所以依次增、减、增。极大值 $f(-3)=6/e^3$，极小值 $f(1)=-2e$ 也是全局最小值；左端趋于 $0^+$，右端趋于正无穷。因此 B 正确，三根恰在 $0<b<6/e^3$，D 正确。$b=-2e$ 也恰一根，故 C 错。选 BD。

第 8 题

题目

已知 $A=\{(x,y)\mid x^2+y^2=r^2\}$，$B=\{(x,y)\mid(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}$，且 $A\cap B=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$，则（　）

• A. $0<a^2+b^2<2r^2$
• B. $a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0$
• C. $x_1+x_2=a,\ y_1+y_2=b$
• D. $a^2+b^2=2ax_1+2by_1$

解答

相减两圆方程得公共弦所在直线 $2ax+2by=a^2+b^2$，由此 B、D 成立。等半径两圆的公共弦中点是两圆心的中点，故 C 成立。两交点条件为 $0<a^2+b^2<4r^2$，不是 A 的上界。选 BCD。

第 9 题

题目

已知非负实数 $x,y,z$ 满足 $4x^2+4y^2+z^2+2z=3$，则 $5x+4y+3z$ 的最小值为（　）

• A. $1$
• B. $2$
• C. $3$
• D. $4$

解答

条件给出 $x,y\le\sqrt3/2<1,z\le1$。所以

$$3=4x^2+4y^2+z^2+2z\le5x+4y+3z.$$

取 $x=y=0,z=1$ 得等号，最小值 $3$，选 C。

第 10 题

题目

设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$。若对任意正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $S_n=a_m$，则（　）

• A. $\{a_n\}$ 可能为等差数列
• B. $\{a_n\}$ 可能为等比数列
• C. $\{a_n\}$ 的任意一项均可写成 $\{a_n\}$ 的两项之差
• D. 对任意正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $a_n=S_m$

解答

A：取 $a_n=n$，则 $S_n=n(n+1)/2$ 正是某一项，成立。

B：设非零等比数列公比为 $q$。若 $0<q<1$，$S_2/a_1=1+q>1$ 不可能是 $q^{m-1}$；若 $q=1$ 亦不成立。若 $q>1$，条件要求

$$q^{m-n}=\frac{S_n}{a_n}=\frac{q-q^{1-n}}{q-1}.$$

右端严格递增并趋于正的有限值；左端属于离散集合 $\{q^j:j\in\mathbb Z\}$，不可能如此收敛。若 $q=-r,r>1$，$S_2/a_1=1-r<0$ 的绝对值小于 $r$，不可能是负奇次幂；若 $r=1$，$S_2=0$ 不在项中；若 $0<r<1$，奇数下标的 $S_n/a_1$ 为互不相同的正数，趋于 $1/(1+r)>0$，同样不能都在离散幂集合中。因此 B 错。

C：对 $n\ge2$，$a_n=S_n-S_{n-1}$ 是两项之差；$a_1=S_2-a_2$ 也是两项之差。D 的反例为 $1,-1,0,0,\ldots$，其部分和只有 $1,0$，虽都为数列项，但 $-1$ 不是部分和。选 AC。

第 11 题

题目

运动会上，有 $6$ 名选手参加 $100$ 米比赛。观众甲猜测：$4$ 道或 $5$ 道的选手得第一名；观众乙猜测：$3$ 道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：$1,2,6$ 道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：$4,5,6$ 道的选手都不可能获得第一名。比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 $1$ 人猜对比赛结果，此人是（　）

• A. 甲
• B. 乙
• C. 丙
• D. 丁

解答

冠军若在 1、2 道，乙丙丁均对；若在 3 道，只有丁对；若在 4、5 道，甲乙均对；若在 6 道，乙丙均对。因此唯一可能冠军为 3 道，猜对者丁，选 D。

第 12 题

题目

长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2$，$AD=AA_1=1$，则 $A$ 到平面 $A_1BD$ 的距离为（　）

• A. $\dfrac13$
• B. $\dfrac23$
• C. $\dfrac{\sqrt2}{2}$
• D. $\dfrac{\sqrt6}{3}$

解答

以 $A$ 为原点、三棱为轴，平面 $A_1BD$ 方程为 $x/2+y+z=1$，原点到平面距离 $1/\sqrt{1/4+1+1}=2/3$，选 B。

第 13 题

题目

设不等式组 $|x|+|y|\leqslant2$，$y+2\leqslant k(x+1)$ 所表示的区域为 $D$，其面积为 $S$，则（　）

• A. 若 $S=4$，则 $k$ 的值唯一
• B. 若 $S=\dfrac12$，则 $k$ 的值有 $2$ 个
• C. 若 $D$ 为三角形，则 $0<k\leqslant\dfrac23$
• D. 若 $D$ 为五边形，则 $k>4$

解答

菱形四顶点为 $L=(-2,0),U=(0,2),R=(2,0),V=(0,-2)$，直线经过固定点 $(-1,-2)$。各顶点被半平面包含的条件分别为 $k\le-2,k\ge4,k\ge2/3,k\ge0$。

当 $k<-2$，区域为左侧小三角形，面积随 $k$ 从负无穷增至 $-2$ 而由极限 $1$ 严格减至 $0$；当 $-2\le k\le0$，面积为零。对 $k>0$，区域随 $k$ 严格扩大，面积从 $0$ 趋于 $7$。因此 $S=1/2$ 在负、正两支各有一个解；$S=4$ 只有一个正解，且直线过菱形中心时 $k=2$ 正好平分面积。

三角形也可能出现在 $k<-2$，故 C 错。五边形恰在 $k>4$ 出现，故 D 对。选 ABD。

第 14 题

题目

$\triangle ABC$ 的三边长是 $2,3,4$，其外心为 $O$，则 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{CA}=$（　）

• A. $0$
• B. $-15$
• C. $-\dfrac{21}{2}$
• D. $-\dfrac{29}{2}$

解答

由 $|OA|=|OB|=|OC|$，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=-|AB|^2/2$，其余循环同理。总和 $-(2^2+3^2+4^2)/2=-29/2$，选 D。

第 15 题

题目

设随机事件 $A$ 与 $B$ 互相独立，且 $P(B)=0.5$，$P(A-B)=0.2$，则（　）

• A. $P(A)=0.4$
• B. $P(B-A)=0.3$
• C. $P(AB)=0.2$
• D. $P(A+B)=0.9$

解答

独立性给出 $0.2=P(A)(1-P(B))=P(A)/2$，故 $P(A)=0.4$，$P(AB)=0.2$，$P(B-A)=0.3$，$P(A+B)=0.4+0.5-0.2=0.7$。选 ABC。

第 16 题

题目

过 $\triangle ABC$ 的重心作直线将 $\triangle ABC$ 分成两部分，则这两部分的面积之比为（　）

• A. 最小值为 $\dfrac34$
• B. 最小值为 $\dfrac45$
• C. 最大值为 $\dfrac43$
• D. 最大值为 $\dfrac54$

解答

直线截两边，设从共同顶点量出的截取比例为 $s,t\in(0,1]$。以这两边为仿射坐标轴，重心坐标为 $(1/3,1/3)$，故 $1/s+1/t=3$。由 $s+t=3st$ 和均值不等式得 $st\ge4/9$；由 $(1-s)(1-t)\ge0$ 得 $1-2st\ge0$，即 $st\le1/2$。截出的角三角形占全体 $st$，所以两部分有序面积比介于 $4/5$ 与 $5/4$，两端在平行于一边的截线时取得。选 BD。

第 17 题

题目

从正 $15$ 边形的顶点中选出 $3$ 个构成钝角三角形，则不同的选法有（　）

• A. $105$ 种
• B. $225$ 种
• C. $315$ 种
• D. $420$ 种

解答

按圆周顺序记三顶点之间的正整数间隔为 $a,b,c$，和为 $15$。钝角三角形当且仅当其中唯一一个间隔至少为 $8$。以这个大间隔的终点为起点有 $15$ 种选择；另外两个间隔和 $s$ 可取 $2$ 到 $7$，各有 $s-1$ 种分拆。因此总数 $15(1+2+\cdots+6)=315$，选 C。

第 18 题

题目

已知存在实数 $r$，使得圆周 $x^2+y^2=r^2$ 上恰好有 $n$ 个整点，则 $n$ 可以等于（　）

• A. $4$
• B. $6$
• C. $8$
• D. $12$

解答

非零圆上的整点按 $90^\circ$ 旋转组成四元组，故数目是 $4$ 的倍数，$6$ 不可能；退化圆仅一个点，不影响结论。$r=1$ 有四点，$r=\sqrt5$ 有八点，$r=5$ 有轴上四点和 $(\pm3,\pm4),(\pm4,\pm3)$ 共十二点。选 ACD。

第 19 题

题目

设复数 $z$ 满足 $2|z|\leqslant|z-1|$，则（　）

• A. $|z|$ 的最大值为 $1$
• B. $|z|$ 的最小值为 $\dfrac13$
• C. $z$ 的虚部的最大值为 $\dfrac23$
• D. $z$ 的实部的最大值为 $\dfrac13$

解答

写 $z=x+iy$，平方整理为 $(x+1/3)^2+y^2\le4/9$。闭圆盘内模最大为 $1$、最小为 $0$，虚部最大 $2/3$，实部最大 $1/3$，选 ACD。

第 20 题

题目

设 $m,n$ 是大于零的实数，$\boldsymbol a=(m\cos\alpha,m\sin\alpha)$，$\boldsymbol b=(n\cos\beta,n\sin\beta)$，其中 $\alpha,\beta\in[0,2\pi)$。定义

$$\boldsymbol a^{1/2}=\left(\sqrt m\cos\frac\alpha2,\sqrt m\sin\frac\alpha2\right),\quad \boldsymbol b^{1/2}=\left(\sqrt n\cos\frac\beta2,\sqrt n\sin\frac\beta2\right),$$

记 $\theta=\alpha-\beta$，则（　）

• A. $\boldsymbol a^{1/2}\cdot\boldsymbol a^{1/2}=\boldsymbol a$
• B. $\boldsymbol a^{1/2}\cdot\boldsymbol b^{1/2}=\sqrt{mn}\cos\dfrac\theta2$
• C. $\left|\boldsymbol a^{1/2}-\boldsymbol b^{1/2}\right|^2\geqslant4\sqrt{mn}\sin^2\dfrac\theta4$
• D. $\left|\boldsymbol a^{1/2}+\boldsymbol b^{1/2}\right|^2\geqslant4\sqrt{mn}\cos^2\dfrac\theta4$

解答

点积直接给出 B。两式左减右均等于 $m+n-2\sqrt{mn}=(\sqrt m-\sqrt n)^2\ge0$，所以 C、D 正确。A 左端为标量 $m$，不等于所写向量，故错误。选 BCD。

第 21 题

题目

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=6$，$a_{n+1}=\dfrac{n+3}{n}a_n$，则（　）

• A. 对任意 $n\in\mathbb N^*$，$a_n<(n+1)^3$
• B. 对任意 $n\in\mathbb N^*$，$a_n\neq2015$
• C. 存在 $n\in\mathbb N^*$，$a_n$ 为完全平方数
• D. 存在 $n\in\mathbb N^*$，$a_n$ 为完全立方数

解答

连乘得 $a_n=n(n+1)(n+2)$。它是 $6$ 的倍数，不等于 $2015$；且 $n^3<a_n=(n+1)^3-(n+1)<(n+1)^3$，所以 A、B 正确、D 错误。以下完整排除平方，不能只凭有限枚举。

引理：整数直角三角形的面积不可能为正整数的平方。 若存在，取斜边最小的一例。约去三边公因子后仍有平方面积（整数若为有理数的平方，必为整数平方），故可写为原始勾股形 $2pq,p^2-q^2,p^2+q^2$，其中 $p>q>0$ 互素且奇偶不同。面积 $pq(p+q)(p-q)$ 为平方，四因子两两互素，所以分别为平方：$p=u^2,q=v^2,p+q=w^2,p-q=z^2$。

$w,z$ 都为奇数，由 $w^2+z^2=2p$ 模 $8$ 得 $p$ 为奇数，从而 $q=v^2$ 为偶数、$v$ 为偶数。于是两腿 $(w+z)/2,(w-z)/2$、斜边 $u$ 构成新的整数直角三角形，面积为 $(w^2-z^2)/8=q/4=(v/2)^2$，而斜边严格变小，矛盾。

若 $n(n+1)(n+2)=y^2$，令 $t=n+1$，则 $y^2=t(t^2-1)$。两条有理数直角边 $(t^2-1)/y,2t/y$ 与斜边 $(t^2+1)/y$ 构成面积为 $1$ 的直角三角形；清除分母即得到整数直角三角形，面积为整数平方，违反引理。故 C 错，选 AB。

第 22 题

题目

在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（　）

• A. $\rho=\dfrac1{\cos\theta+\sin\theta}$
• B. $\rho=\dfrac1{2+\sin\theta}$
• C. $\rho=\dfrac1{2-\cos\theta}$
• D. $\rho=\dfrac1{1+2\sin\theta}$

解答

A 化为直线 $x+y=1$。B 化为 $2\sqrt{x^2+y^2}+y=1$，平方整理为 $4x^2+3(y+1/3)^2=4/3$；其椭圆点均满足 $1-y>0$，无增根。C 类似得到 $3(x-1/3)^2+4y^2=4/3$。D 的平方式为双曲线，非椭圆。选 BC。

第 23 题

题目

设函数 $f(x)=\dfrac{\sin\pi x}{x^2-x+1}$，则（　）

• A. $f(x)\leqslant\dfrac43$
• B. $|f(x)|\leqslant5|x|$
• C. 曲线 $y=f(x)$ 存在对称轴
• D. 曲线 $y=f(x)$ 存在对称中心

解答

分母 $(x-1/2)^2+3/4\ge3/4$，所以 $|f(x)|\le4/3$，又 $|\sin\pi x|\le\pi|x|$，故 $|f(x)|\le(4\pi/3)|x|<5|x|$。$f(1-x)=f(x)$，对称轴为 $x=1/2$。

若存在对称中心 $(a,b)$，因 $f(x)\to0$（$x\to\pm\infty$），必有 $b=0$；但 $f(1/2)=4/3$，图像从未达到 $-4/3$，不能中心对称。选 ABC。

第 24 题

题目

$\triangle ABC$ 的三边分别为 $a,b,c$，若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，则（　）

• A. $\sin A>\cos B$
• B. $\tan A>\cot B$
• C. $a^2+b^2>c^2$
• D. $a^3+b^3>c^3$

解答

锐角条件给出 $A+B>\pi/2$，所以 $A>\pi/2-B$，在锐角区间上正弦、正切均递增，A、B 成立；余弦定理给出 C。D 的反例为 $a=b=1,c=4/3$：最大角仍为锐角（$16/9<2$），但 $2<64/27$。选 ABC。

第 25 题

题目

设函数 $f(x)$ 的定义域是 $(-1,1)$，若 $f(0)=f'(0)=1$，则存在实数 $\delta\in(0,1)$，使得（　）

• A. $f(x)>0,\ x\in(-\delta,\delta)$
• B. $f(x)$ 在 $(-\delta,\delta)$ 上单调递增
• C. $f(x)>1,\ x\in(0,\delta)$
• D. $f(x)>1,\ x\in(-\delta,0)$

解答

可导蕴含连续，$f(0)=1$ 保证附近 $f(x)>0$。又 $(f(x)-1)/x\to1$，所以充分小的正 $x$ 满足 $f(x)>1$，充分小的负 $x$ 满足 $f(x)<1$。

仅一点导数正不能保证邻域单调。例如 $f(0)=1$，$x\ne0$ 时 $f(x)=1+x+x^2\sin(1/x^2)$，满足所给条件，而其导数 $1+2x\sin(1/x^2)-(2/x)\cos(1/x^2)$ 在任意邻域内均有负值。因此选 AC。

第 26 题

题目

在直角坐标系中，已知 $A(-1,0),B(1,0)$。若对于 $y$ 轴上的任意 $n$ 个不同的点 $P_k$（$k=1,2,\ldots,n$），总存在两个不同的点 $P_i,P_j$，使得 $|\sin\angle AP_iB-\sin\angle AP_jB|\leqslant\dfrac13$，则 $n$ 的最小值为（　）

• A. $3$
• B. $4$
• C. $5$
• D. $6$

解答

所有角的正弦都在 $[0,1]$。四个值排序，相邻三段差之和不超过 $1$，必有一差不超过 $1/3$，所以 $n=4$ 足够。三个点可取纵坐标 $0,2-\sqrt3,1$；公式 $\sin\angle APB=2|y|/(1+y^2)$ 给出正弦值 $0,1/2,1$，两两差均大于 $1/3$。故最小为 $4$，选 B。

第 27 题

题目

设非负实数 $x,y$ 满足 $2x+y=1$，则 $x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的（　）

• A. 最小值为 $\dfrac45$
• B. 最小值为 $\dfrac25$
• C. 最大值为 $1$
• D. 最大值为 $\dfrac{1+\sqrt2}{3}$

解答

由柯西不等式 $\sqrt{x^2+y^2}\ge(3x+4y)/5$，得

$$x+\sqrt{x^2+y^2}\ge(8x+4y)/5=4/5.$$

在 $(x,y)=(3/10,2/5)$ 等号成立。另一方面 $\sqrt{x^2+y^2}\le x+y$，故原式不超过 $2x+y=1$，在端点 $(0,1),(1/2,0)$ 取得。选 AC。

第 28 题

题目

对于 $50$ 个黑球和 $49$ 个白球的任意排列（从左到右排成一排），则（　）

• A. 存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多
• B. 存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
• C. 存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个
• D. 存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

解答

从右向左扫描，记已扫部分的“黑数减白数”为 $s$，它从 $0$ 走到 $1$，黑球使其加一、白球使其减一。因此必有一次黑球使 $s$ 从 $0$ 到 $1$，这个黑球右侧两色同数，A 正确。

B 的反例为白球全在左、黑球全在右。C 的反例为黑白交替且两端均黑，此时扫描值仅有 $0,1$，不存在黑球将 $1$ 加到 $2$。D 的反例为黑球全在左、白球全在右，扫描白球时其右侧黑数从不比白数多一。选 A。

第 29 题

题目

从 $1,2,3,4,5$ 中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如 $12231$，则能得到的不同五位数有（　）

• A. $300$ 个
• B. $450$ 个
• C. $900$ 个
• D. $1800$ 个

解答

选出三个数字有 $\binom53$ 种，再选单独出现者有 $3$ 种，排列多重集有 $5!/(2!2!)=30$ 种。因此共 $10\cdot3\cdot30=900$，选 C。

第 30 题

题目

设曲线 $L$ 的方程为 $y^4+(2x^2+2)y^2+(x^4-2x^2)=0$，则（　）

• A. $L$ 是轴对称图形
• B. $L$ 是中心对称图形
• C. $L\subseteq\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant1\}$
• D. $L\subseteq\{(x,y)\mid-\dfrac12\leqslant y\leqslant\dfrac12\}$

解答

方程只含 $x,y$ 的偶次幂，关于两坐标轴及原点对称。令 $r^2=x^2+y^2$，则方程为 $r^4=2x^2-2y^2$，所以

$$y^2=\frac{2r^2-r^4}{4}=\frac14-\frac{(r^2-1)^2}{4}\le\frac14.$$

故 D 成立；点 $(\sqrt2,0)$ 在曲线上但在单位圆外，C 错。选 ABD。