2015年清华大学暑期学校测试 · 参考解答

校对说明

依据校内历史汇编 PDF 第 24—25 页核对。第 2 题补明顶点间沿边移动和均匀独立掷骰；第 3(3) 题修正不充分的方向条件；第 5 题原问“还没下”但无总赛程，明确校订为“已经下”。以下对应校订后的正式卷，不冒充原版答案。

答案速览

1. (1) $0<m\le e^{-1}$ 时 $-e^{-1}$，$m\ge e^{-1}$ 时 $m\ln m$；(2) $a\le\ln2$ 或 $a\ge2e+2$。
2. $a_1=5/9$；$P(X=0,1,2)=(25,36,20)/81$；$a_{2015}>1/2>b_{2015}=0$。
3. $x^2/25+y^2/16=1$；$\lambda\in[3/5,1)\cup(1,5/3]$；$y_0=-9(y_P+y_Q)/32\in(-9/4,9/4)$。
4. 递减区间 $[\pi/4,\pi/2]$；$m\in[(\sqrt3+1)/2,\sqrt{2+\sqrt3})$。
5. $5$ 盘。

逐题解析

第 1 题

题目

$f(x)=x\ln x$，$g(x)=-x^2+ax-3$。

1. 求 $f(x)$ 在 $[m,m+1]$（$m>0$）上的最小值；
2. 对于任意不同两数 $x_1,x_2\in\left[\dfrac1e,e\right]$，$|f(x_1)-f(x_2)|<|g(x_1)-g(x_2)|$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

解答

有 $f'(x)=1+\ln x$，故 $f$ 在 $(0,e^{-1}]$ 递减，在 $[e^{-1},\infty)$ 递增。因 $m+1>e^{-1}$，最小值按答案中的两种情况取于 $e^{-1}$ 或 $m$。

令 $I=[e^{-1},e]$。在 $I$ 上 $f$ 严格递增。题设使 $g$ 在 $I$ 上单射，连续单射函数必严格单调。若 $g$ 递增，条件等价于 $g-f$ 严格递增。必要条件为

$$a\ge 2x+1+\ln x\quad(x\in I),$$

即 $a\ge2e+2$；此时导数在区间内部为正，故也充分。

若 $g$ 递减，条件等价于 $g+f$ 严格递减，必要条件为

$$a\le 2x-1-\ln x\quad(x\in I).$$

右端在 $x=1/2$ 取得最小值 $\ln2$。当 $a\le\ln2$ 时，$(g+f)'\le0$，等号至多在一点成立，因此严格递减，条件充分。注意原式虽是严格不等式，参数端点仍可取到。

第 2 题

题目

一点在正方形 $ABCD$ 的顶点间移动，从 $A$ 出发，每次独立掷一枚均匀骰子。若大于等于 $5$ 点，则沿平行于 $BC$ 的边移到相邻顶点；若小于等于 $4$ 点，则沿平行于 $AB$ 的边移到相邻顶点。设掷 $2n$（$n\in\mathbb N^*$）次骰子后回到 $A$ 点的概率为 $a_n$，到达 $B$ 点的概率为 $b_n$。

1. 求 $a_1$；
2. 设掷 $4$ 次骰子经过 $C$ 点的次数为 $X$，求 $X$ 的分布列；
3. 试比较 $a_{2015},b_{2015},\dfrac12$ 的大小（直接写出结果）。

解答

记一次纵向移动概率 $p=1/3$，横向概率 $q=2/3$。两步回到 $A$ 当且仅当两次方向相同，故 $a_1=p^2+q^2=5/9$。每走一步改变顶点的黑白颜色，偶数步不可能在相邻顶点 $B$，故 $b_n=0$。

在 $2n$ 步中纵向次数为偶数才回到 $A$，所以由二项式的奇偶项分解，

$$a_n=\frac{(p+q)^{2n}+(q-p)^{2n}}2=\frac{1+3^{-2n}}2>\frac12.$$

前四步只有第 2、4 步可能到 $C$。记对应事件为 $E,F$，则

$$P(E)=\frac49,\quad P(F)=1-a_2=\frac{40}{81},\quad P(E\cap F)=\frac49\cdot\frac59=\frac{20}{81}.$$

因此 $P(X=2)=20/81$，$P(X=1)=P(E)+P(F)-2P(E\cap F)=36/81$，其余 $P(X=0)=25/81$。所求大小关系随即成立。

第 3 题

题目

圆 $(x+3)^2+y^2=100$，圆心为 $A$，点 $B(3,0)$。作圆上任一点 $M$ 与 $B$ 点连线的中垂线，交 $AM$ 于 $N$。

1. 求 $N$ 的轨迹 $C$ 的方程；
2. $y$ 轴上一点 $D(0,16)$，过 $D$ 点的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，$\overrightarrow{DP}=\lambda\overrightarrow{DQ}$，求 $\lambda$ 的取值范围；
3. 在曲线 $C$ 上任取纵坐标不同的两点 $P,Q$；线段 $PQ$ 的中垂线交 $y$ 轴于点 $(0,y_0)$，求证：$-\dfrac94<y_0<\dfrac94$。（校订：原稿方向条件不足，改为保证交点唯一的条件。）

解答

(1) 设 $M=A+10u$，其中 $|u|=1$，$N=A+tu$。由 $NB=NM$ 得

$$t=\frac{16}{5-3u_x}\in[2,8].$$

所以 $N$ 位于线段 $AM$ 内，且 $NA+NB=NA+NM=10$。反之，椭圆 $NA+NB=10$ 上任一点沿射线 $AN$ 延长至圆上的 $M$，均满足 $NM=NB$。故轨迹恰为焦点 $(-3,0),(3,0)$、长半轴 $5$ 的椭圆：$x^2/25+y^2/16=1$。

(2) 作可逆仿射变换 $(x,y)\mapsto(x/5,y/4)$，保持同一直线的有向线段比。椭圆变为单位圆，$D$ 变为 $(0,4)$。过此外点的割线与圆有近、远两交点，距离分别 $r,R$，满足 $r\ge3,R\le5$，故 $r/R\ge3/5$；等号在竖直割线取得。割线连续转至切线时，$r/R$ 连续趋于 $1$，而两交点不同使比值不等于 $1$。因此近远比遍历 $[3/5,1)$，交换 $P,Q$ 得倒数区间 $(1,5/3]$。

(3) 写 $P=(x_1,y_1),Q=(x_2,y_2)$，校订条件为 $y_1\ne y_2$。椭圆方程给出 $x_i^2+y_i^2=25-9y_i^2/16$。由 $(0,y_0)$ 到两点距离相等，

$$2y_0(y_1-y_2)=|P|^2-|Q|^2=-\frac9{16}(y_1-y_2)(y_1+y_2),$$

即 $y_0=-9(y_1+y_2)/32$。因 $y_i\in[-4,4]$ 且不同，$-8<y_1+y_2<8$，从而得证。原稿“$P,Q$ 不垂直于 $x$ 轴”不能保证中垂线与 $y$ 轴有唯一交点。

第 4 题

题目

$f(x)=\sin\left(x+\dfrac\pi6\right)+2\cos^2\left(\dfrac x2-\dfrac\pi{12}\right)-1$，$x\in\left[0,\dfrac\pi2\right]$。

1. 求 $f(x)$ 的递减区间；
2. 若 $f(x)-m=0$ 有两个不同实数根，求 $m$ 的取值范围。

解答

降幂、展开得

$$f(x)=\sin(x+\pi/6)+\cos(x-\pi/6)=\sqrt{2+\sqrt3}\sin(x+\pi/4).$$

它在 $[0,\pi/4]$ 严格递增，在 $[\pi/4,\pi/2]$ 严格递减；两端值同为 $(\sqrt3+1)/2$，峰值为 $\sqrt{2+\sqrt3}$。水平线与图像交于两点恰在所给半开区间。

第 5 题

题目

$5$ 个人下棋，平局两人各得 $1$ 分，赢的人得 $2$ 分，输的人得 $0$ 分。下了若干盘后所有人分数两两不同，求至少已经下了几盘棋？（校订：原稿为“至少还没下”，但未给定总赛程，故改问已下盘数。）

解答

五个互不相同的非负整数分数之和至少为 $0+1+2+3+4=10$。每盘产生 $2$ 分，故至少五盘。

取五人 $A,B,C,D,E$，安排 $E$ 胜 $A$、胜 $B$，$D$ 胜 $A$，$C$ 胜 $B$，$B$ 与 $D$ 和棋。五人的得分依次为 $0,1,2,3,4$，恰五盘，达到下界。即使要求每对最多交手一次，此构造也满足。