2013年清华大学夏令营数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	B	A	B	D	D	A	A（修订后为 $(0,1)$）	D

题号	答案
9	$4$
10	$3\pi$
11	$10$
12	②③④⑥
13	$\tan C=-1$；最短边 $\sqrt5/5$
14	两命题成立；体积 $1/8$
15	$0$；$a\le3e+1/e-2$
16	判别式条件成立；椭圆 $x^2+3y^2=5$

逐题解析

第 1 题

题目

对于不同的直线 $m,n$ 和不同的平面 $\alpha,\beta$，下列命题中正确的是（　）

• A. $m\perp\alpha$，$n\perp m\Longrightarrow n\parallel\alpha$
• B. $m\perp\alpha$，$n\perp\alpha\Longrightarrow n\parallel m$
• C. $m\subset\alpha$，$n\subset\beta$，$\alpha\parallel\beta\Longrightarrow m,n$ 异面
• D. $\alpha\cap\beta=n$，$n\perp m\Longrightarrow m\perp\beta$

解答

两条垂直于同一平面的直线必平行，故 B 正确。A 中 $n$ 可能在平面内，不一定与平面平行；C 中 $m,n$ 可能平行；D 中只垂直交线不足以垂直整个平面。

第 2 题

题目

函数 $f(x)=\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2x$ 的单调增区间为（　）

• A. $\left[k\pi-\dfrac{\pi}{3},\,k\pi+\dfrac{\pi}{6}\right]$，$k\in\mathbb Z$
• B. $\left[\dfrac{k\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right]$，$k\in\mathbb Z$
• C. $\left[k\pi-\dfrac{5\pi}{12},\,k\pi+\dfrac{\pi}{12}\right]$，$k\in\mathbb Z$
• D. $\left[2k\pi-\dfrac{5\pi}{12},\,k\pi+\dfrac{\pi}{12}\right]$，$k\in\mathbb Z$

解答

$f(x)=1/2+\sin(2x+\pi/6)$。正弦单调增要求 $2x+\pi/6\in[-\pi/2+2k\pi,\pi/2+2k\pi]$，即 $x\in[k\pi-\pi/3,k\pi+\pi/6]$。

第 3 题

题目

已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，若对任意正整数 $p,q$ 总有 $a_{p+q}=a_pa_q$，且 $a_8=16$，则 $a_{10}=$（　）

• A. $16$
• B. $32$
• C. $48$
• D. $64$

解答

由递推式，$a_n=a_1^n$，正项条件与 $a_8=16$ 给出 $a_1=\sqrt2$。因此 $a_{10}=32$。

第 4 题

题目

若向量 $|\vec a|=1$，$|\vec b|=2$，$\vec c=\vec a+\vec b$，且 $\vec c\perp\vec a$，则向量 $2\vec a-\vec b$ 与 $\vec b$ 的夹角为（　）

• A. $30^\circ$
• B. $60^\circ$
• C. $120^\circ$
• D. $150^\circ$

解答

$\vec c\perp\vec a$ 给出 $\vec a\cdot\vec b=-1$。故

$$(2\vec a-\vec b)\cdot\vec b=-6,\quad |2\vec a-\vec b|^2=4+4-4(-1)=12.$$

夹角余弦为 $-6/(2\sqrt{12})=-\sqrt3/2$，角为 $150^\circ$，应选 D。来源选 A 错误，混淆了向量夹角与无向直线锐角。

第 5 题

题目

如图，$F_1,F_2$ 分别是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的两个焦点，$A,B$ 是以 $O$ 为圆心、以 $|OF_1|$ 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 $\triangle F_2AB$ 是等边三角形，则双曲线的离心率为（　）

• A. $\sqrt3$
• B. $\sqrt5$
• C. $\dfrac{\sqrt5}{2}$
• D. $1+\sqrt3$

解答

设焦距参数为 $c$。$A,B,F_2$ 都在以原点为心、半径 $c$ 的圆上，又组成正三角形，所以它们可取 $F_2=(c,0),A=(-c/2,\sqrt3c/2),B=(-c/2,-\sqrt3c/2)$。于是 $AF_2=\sqrt3c,AF_1=c$。双曲线定义给出 $(\sqrt3-1)c=2a$，离心率为 $c/a=1+\sqrt3$。

第 6 题

题目

已知集合

$$A=\{x\mid -3<x<1\},\qquad B=\left\{x\middle|\frac{x+2}{x-3}<0\right\}.$$

设 $(a,b)$ 为有序实数对，其中 $a$ 是从集合 $A$ 中任取的一个整数，$b$ 是从集合 $B$ 中任取的一个整数，则“$b-a\in A\cup B$”的概率为（　）

• A. $\dfrac34$
• B. $\dfrac14$
• C. $\dfrac23$
• D. $\dfrac13$

解答

$A$ 中整数为 $-2,-1,0$；$B=(-2,3)$ 中整数为 $-1,0,1,2$。$A\cup B=(-3,3)$。固定 $a=-2,-1,0$ 时，符合 $b-a\in(-3,3)$ 的 $b$ 分别有 $2,3,4$ 个，故概率 $9/12=3/4$。

第 7 题

题目

若存在锐角 $\alpha$，使得

$$\sin\alpha-\sqrt3\cos\alpha=\log_2(x^2-x+2)$$

成立，则实数 $x$ 的取值范围是（　）

• A. $(0,1)$（校订选项）
• B. $(-1,2)$
• C. $[-1,0)\cup(1,2]$
• D. $(-1,0)\cup(1,2)$

解答

锐角范围内，$h(\alpha)=\sin\alpha-\sqrt3\cos\alpha$ 严格递增，值域为 $(-\sqrt3,1)$。而 $x^2-x+2\ge7/4>1$，故右端为正，自动超过下界。存在所求锐角等价于

$$\log_2(x^2-x+2)<1\iff x^2-x<0\iff0<x<1.$$

来源给出的各选项都不精确，已将 A 改为 $(0,1)$。端点对应左端达到 $1$，只能在 $\alpha=\pi/2$ 取得，不是锐角，因此不能包含。

第 8 题

题目

已知点 $P(x,y)$ 是直线 $kx+y+4=0$（$k>0$）上一动点，$PA,PB$ 是圆 $C:x^2+y^2-2y=0$ 的两条切线，$A,B$ 是切点。若四边形 $PACB$ 的最小面积是 $2$，则 $k$ 的值为（　）

• A. $3$
• B. $\dfrac{\sqrt{21}}2$
• C. $2\sqrt2$
• D. $2$

解答

圆心 $C=(0,1)$，半径 $1$。四边形由两个全等直角三角形组成，面积为 $CA\cdot PA=\sqrt{PC^2-1}$，不是 $PC$。若整条直线均在圆外，最小 $PC=5/\sqrt{k^2+1}$；若直线与圆相交或相切，外部点的面积可趋于零，不可能有正的最小值 $2$。

因此

$$\sqrt{\frac{25}{k^2+1}-1}=2,$$

得到 $k=2$，且此时直线到圆心距离为 $\sqrt5>1$，确实能取得。选 D，来源 B 的错误在于把切线长误作圆心距离。

第 9 题

题目

设集合 $A=\{1,2\}$，则满足 $A\cup B=\{1,2,3\}$ 的集合 $B$ 的个数是 ______。

解答

$B$ 必含 $3$，不可有 $\{1,2,3\}$ 以外的元素；$1,2$ 各可独立选择是否包含，共 $2^2=4$ 个。

第 10 题

题目

一个三棱锥 $S-ABC$ 的三条侧棱 $SA,SB,SC$ 两两互相垂直，且长度均为 $1$。已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 ______。

解答

取 $S=(0,0,0),A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)$。等距于四点的球心为 $(1/2,1/2,1/2)$，半径 $\sqrt3/2$，故表面积 $4\pi(3/4)=3\pi$。

第 11 题

题目

已知点 $P(x,y)$ 满足

$$\begin{cases} x-4y+3\le0,\\ 3x+5y\le25,\\ x-1\ge0, \end{cases}$$

设 $A(2,0)$，则 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}$（$O$ 为坐标原点）的最大值为 ______。

解答

目标为 $2x$。由 $y\ge(x+3)/4$ 和 $3x+5y\le25$，得 $3x+5(x+3)/4\le25$，即 $x\le5$。点 $(5,2)$ 满足全部条件，故最大值 $10$。

第 12 题

题目

若定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x)$ 满足：存在与 $x$ 无关的正常数 $M$，使 $|f(x)|\le M|x|$ 对一切实数 $x$ 均成立，则称 $f(x)$ 为 $j$ 函数。给出下列函数：

1. $f(x)=e^x$；
2. $f(x)=\sin x$；
3. $f(x)=\dfrac{x}{x^2+x+1}$；
4. $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+x+1}$；
5. $f(x)=\dfrac{x}{x+\dfrac1x+1}$；
6. $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数，且对一切实数 $x_1,x_2$ 均有 $|f(x_1)-f(x_2)|\le2|x_1-x_2|$。

其中属于 $j$ 函数的有 ______（填序号）。

解答

①在 $x=0$ 已违反界，排除。②由 $|\sin x|\le|x|$，可取 $M=1$。③因 $x^2+x+1\ge3/4$，可取 $M=4/3$。④由 $x^2+x+1\ge|x|$，得 $|x^2/(x^2+x+1)|\le|x|$，可取 $M=1$。⑤在 $x=0$ 未定义，故不符合定义域为全实轴的要求，不能擅自补连续延拓。⑥奇性给出 $f(0)=0$，在给定 Lipschitz 条件中取 $x_2=0$，可取 $M=2$。所以为②③④⑥。

第 13 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$，且

$$\tan A=\frac12,\qquad \cos B=\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$

1. 求 $\tan C$ 的值；
2. 若 $\triangle ABC$ 最长的边长为 $1$，求最短的边长。

解答

三角形中 $A,B$ 都是锐角，$\tan B=1/3$。所以

$$\tan C=-\tan(A+B)=-\frac{1/2+1/3}{1-1/6}=-1.$$

因此 $C=3\pi/4$ 为最大角，最长边 $c=1$；$B<A$，最短边为 $b$。由正弦定理，$b=\sin B/\sin C=(1/\sqrt{10})/(1/\sqrt2)=1/\sqrt5$。

第 14 题

题目

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是菱形，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，点 $F$ 为 $PC$ 的中点。

1. 求证：$PA\parallel$ 平面 $BDF$；
2. 求证：平面 $PAF\perp$ 平面 $BDF$；
3. 设 $BD=3PA=3AC=3$，求三棱锥 $P-ADF$ 的体积。

解答

令 $O=AC\cap BD$。菱形对角线互相平分，故 $O$ 为 $AC$ 中点；$F$ 为 $PC$ 中点，所以 $OF\parallel PA$。$OF$ 在平面 $BDF$ 中，$PA$ 不在该平面中，故 $PA\parallel BDF$。

又 $BD\perp AC,BD\perp PA$，所以 $BD\perp$ 平面 $PAC$；此直线在平面 $BDF$ 内，而平面 $PAF$ 就是 $PAC$，故两平面垂直。

条件给出 $BD=3,PA=AC=1$。三角形 $PAC$ 面积 $1/2$，$F$ 为 $PC$ 中点，所以 $S_{PAF}=1/4$。$D$ 到平面 $PAF$ 的距离为 $DO=3/2$，体积 $V_{P-ADF}=V_{D-PAF}=(1/3)(1/4)(3/2)=1/8$。

第 15 题

题目

已知函数 $f(x)=x\ln x$。

1. 求函数 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上的最小值；
2. 若存在 $x\in\left[\dfrac1e,e\right]$，使不等式

$$2f(x)\ge -x^2+ax-3$$

成立，求实数 $a$ 的取值范围。

解答

$f'(x)=1+\ln x>0$ 在 $[1,3]$ 上成立，故最小值 $f(1)=0$。

第二问因 $x>0$，可整理为 $a\le H(x)=2\ln x+x+3/x$。存在一个 $x$ 的条件是 $a\le\max_{[1/e,e]}H$。导数 $H'(x)=(x-1)(x+3)/x^2$，故最大值在两端之一。两端值分别为 $-2+1/e+3e$ 与 $2+e+3/e$，前者减后者为 $2(e-1/e-2)>0$，因为 $e>5/2>1+\sqrt2$。于是参数范围 $(-\infty,3e+1/e-2]$。

第 16 题

题目

设直线 $l:y=k(x+1)$ 与椭圆 $x^2+3y^2=a^2$（$a>0$）相交于 $A,B$ 两个不同的点，与 $x$ 轴相交于点 $C$，记 $O$ 为坐标原点。

1. 证明：$a^2>\dfrac{3k^2}{1+3k^2}$；
2. 若 $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}$，求 $\triangle OAB$ 的面积取得最大值时的椭圆方程。

解答

代入直线得 $(1+3k^2)x^2+6k^2x+3k^2-a^2=0$。两不同交点要求判别式 $4[a^2(1+3k^2)-3k^2]>0$，即第一问。

第二问交点 $C=(-1,0)$；为保证它是两直线唯一交点，此处取 $k\ne0$。令 $u=x+1$，交点参数满足

$$(1+3k^2)u^2-2u+1-a^2=0.$$

向量条件 $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}$ 给出 $u_A=-2u_B$。由根和得 $u_B=-2/(1+3k^2),u_A=4/(1+3k^2)$，再由根积得 $a^2=1+8/(1+3k^2)$。面积

$$S_{OAB}=\frac{|k|}{2}|x_A-x_B| =\frac{3|k|}{1+3k^2}\le\frac{\sqrt3}{2}.$$

等号当且仅当 $|k|=1/\sqrt3$，此时 $a^2=5$，所以椭圆为 $x^2+3y^2=5$；这一参数确满足判别式及向量条件。