2012年清华大学暑期学校学业水平测试数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5	6
答案	B	C	B	D	C	A

题号	答案
7	$7$
8	$1$
9	$17/4$
10	$7440$（来源答案 $5280$ 漏计）
11	$(25-5\sqrt5)/2$ 或 $(-11-11\sqrt5)/2$
12	两不等式成立

逐题解析

第 1 题

题目

复数 $z$ 满足 $|z|-z=\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$，则 $\dfrac1z=$（　）

• A. $\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$
• B. $\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$
• C. $-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$
• D. $-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$

解答

设 $z=a+bi$，比较虚部得 $b=\sqrt3/2$，实部给出 $\sqrt{a^2+3/4}=a+1/2$。平方得 $a=1/2$，且原式右端非负，符合。$|z|=1$，因此倒数为 $1/2-\sqrt3 i/2$。

第 2 题

题目

函数 $f(x)$ 在 $(-3,0)$ 上单调递减，$g(x)=f(x-3)$ 是偶函数，则正确的结论是（　）

• A. $f\!\left(-\dfrac32\right)<f\!\left(-\dfrac72\right)<f(-5)$
• B. $f(-5)<f\!\left(-\dfrac72\right)<f\!\left(-\dfrac32\right)$
• C. $f(-5)<f\!\left(-\dfrac32\right)<f\!\left(-\dfrac72\right)$
• D. $f\!\left(-\dfrac72\right)<f\!\left(-\dfrac32\right)<f(-5)$

解答

$g$ 为偶函数给出 $f(-3+t)=f(-3-t)$，所以 $f(-5)=f(-1)$，$f(-7/2)=f(-5/2)$。由于 $-5/2<-3/2<-1$ 且 $f$ 在 $(-3,0)$ 严格递减，得 $f(-5)<f(-3/2)<f(-7/2)$。

第 3 题

题目

已知向量 $\vec x$ 与 $\vec y$ 的夹角为 $\dfrac{2\pi}{3}$，$|\vec x|=3$，$|\vec x+\vec y|=\sqrt{13}$，则 $|\vec y|=$（　）

• A. $2$
• B. $4$
• C. $5$
• D. $6$

解答

令 $t=|\vec y|>0$，平方条件为 $13=9+t^2-3t$，即 $(t-4)(t+1)=0$。取正根 $4$。

第 4 题

题目

设 $f(x)+f'(x)>0$，当 $x>0$ 时一定有（　）

• A. $f(x)<f(0)$
• B. $f(x)>f(0)$
• C. $e^xf(x)<f(0)$
• D. $e^xf(x)>f(0)$

解答

令 $h(x)=e^xf(x)$，则 $h'(x)=e^x(f+f')>0$。故 $x>0$ 时 $e^xf(x)>f(0)$，选 D。

第 5 题

题目

当 $0<k<1$ 时，关于 $x$ 的方程 $|1-x^2|=kx+k$ 的解的个数是（　）

• A. $1$
• B. $2$
• C. $3$
• D. $4$

解答

右端为 $k(x+1)$，故解要求 $x\ge-1$。$x=-1$ 恒为解。对 $-1<x\le1$，约去 $x+1$ 后得 $1-x=k$，解 $x=1-k\in(0,1)$。对 $x>1$，约去后得 $x-1=k$，解 $x=1+k>1$。共三个不同实根。

第 6 题

题目

某企业生产的电子元件次品率为 $10\%$。为保证质量，检测部门对该产品进行独立抽查，每次抽检一个且次品概率均为 $10\%$，若抽到次品则抽查结束，否则继续抽查。则抽查产品件数的数学期望与方差分别为（　）

• A. $E\xi=10,\ D\xi=90$
• B. $E\xi=10,\ D\xi=9$
• C. $E\xi=9,\ D\xi=90$
• D. $E\xi=9,\ D\xi=9$

解答

按相互独立、每次次品率 $p=0.1$ 的模型，$\xi$ 服从从 $1$ 开始的几何分布，$P(\xi=j)=p(1-p)^{j-1}$。由几何级数求导可得 $E\xi=1/p=10$、$\operatorname{Var}\xi=(1-p)/p^2=90$。

第 7 题

题目

设 $S\subset\{1,2,3,4,5,6\}$，令 $S$ 为非空集合，且满足“若 $a\in S$，则 $6-a\in S$”，则集合 $S$ 共有 ______ 个。

解答

$6$ 不能属于 $S$，否则要求 $0\in S$。其余元素分为必须同时取舍的 $\{1,5\},\{2,4\}$ 及独立的 $\{3\}$。共有 $2^3-1=7$ 个非空集合。

第 8 题

题目

已知

$$(\sqrt3-\sqrt2x)^{99}=a_0-a_1x+a_2x^2-a_3x^3+\cdots-a_{99}x^{99},$$

则

$$(a_0+a_2+\cdots+a_{98})^2-(a_1+a_3+\cdots+a_{99})^2=\underline{\qquad}.$$

解答

二项式奇次项为负，正式题面已把末项恢复为 $-a_{99}x^{99}$。令偶系数和为 $E$、奇系数和为 $O$，代入 $x=\pm1$，

$$E-O=(\sqrt3-\sqrt2)^{99},\qquad E+O=(\sqrt3+\sqrt2)^{99}.$$

故 $E^2-O^2=(3-2)^{99}=1$。

第 9 题

题目

设 $a,b\in\mathbb R^+$ 且 $a+b=1$，则 $ab+\dfrac1{ab}$ 的最小值为 ______。

解答

令 $t=ab$，由 $a+b=1$ 得 $0<t\le1/4$。$t+1/t$ 在此区间严格递减，故最小值在 $t=1/4$，为 $17/4$，等号当且仅当 $a=b=1/2$。

第 10 题

题目

有编号为 $1,2$ 的两个红球，编号为 $3,4$ 的两个黑球，编号为 $5,6,7$ 的三个白球。将这七个球放入编号为 $A,B,C,D,E$ 的五个盒中，要求每个盒中放一个或两个球，而且同色球不能放入同一盒中，则不同放置共有 ______ 种。

解答

恰有两个盒装两球，其余三个盒各装一球。先把七个有编号的球分成两个无序二元组及三个单球，再将这五个不同的组分配给五个有标签的盒，有 $5!$ 种。

两二元组颜色类型按无序组合分类，记红黑为 RB、红白为 RW、黑白为 BW：

$$\begin{array}{c|rrrrrr} \text{类型}&RB,RB&RW,RW&BW,BW&RB,RW&RB,BW&RW,BW\\ \text{数目}&2&6&6&12&12&24 \end{array}$$

例如 RW、BW 类中红球、黑球各选一个有 $2\cdot2$ 种，再给这两个不同类型的组分配两个不同白球有 $3\cdot2$ 种，共 $24$；两个 RW 类有 $\binom32\cdot2!=6$ 种。其余同理。总数 $(2+6+6+12+12+24)5!=7440$。

独立复核：七球无颜色限制时选两条不相交配对有 $\binom74\cdot3=105$ 种。同色配对共 $1+1+3=5$ 条，每条与另外五球中的任一配对搭配有 $10$ 种；同时有两条互不相交同色配对的情况共 $1+3+3=7$ 种。容斥得 $105-50+7=62$，再乘 $120$，仍为 $7440$。来源给出的 $5280$ 漏计，不予沿用。

第 11 题

题目

（8分）设 $x$ 满足 $x^3-\dfrac1{x^3}=8\sqrt5$，求 $x^2+\dfrac1{x^3}$ 的值。

解答

令 $t=x-1/x$，有 $x^3-1/x^3=t^3+3t=8\sqrt5$。函数 $t^3+3t$ 严格递增，而 $t=\sqrt5$ 满足，故 $x-1/x=\sqrt5$，解得 $x=(\sqrt5\pm3)/2$，两根均非零。

由 $x^2=\sqrt5x+1$、$x^3=6x+\sqrt5$，

$$x^2+\frac1{x^3}=x^2+x^3-8\sqrt5 =(6+\sqrt5)x+1-7\sqrt5.$$

代入两根得到表中两个值。题目未规定 $x>0$，不能删掉负根对应的答案。

第 12 题

题目

（10分）设 $0<a<b$，$f(x)=\dfrac1x$，过 $(a,f(a))$、$(b,f(b))$ 两点的直线方程为 $y=cx+d$。

1. 证明：当 $a<x<b$ 时，$cx+d\ge\dfrac1x$；
2. 证明：$\displaystyle \ln(1+n)+\frac{n}{2(n+1)}<1+\frac12+\cdots+\frac1n$。

解答

过 $(a,1/a),(b,1/b)$ 的割线为 $y=(a+b-x)/(ab)$。对 $a<x<b$，

$$\frac{a+b-x}{ab}-\frac1x =\frac{(x-a)(b-x)}{abx}>0.$$

所以第一问不但非严格成立，实际为严格不等式。

把割线界在 $[k,k+1]$ 上积分，得到

$$\ln(k+1)-\ln k<\frac12\left(\frac1k+\frac1{k+1}\right).$$

对 $k=1,\ldots,n$ 相加，右端为 $\sum_{k=1}^n1/k-\frac12+\frac1{2(n+1)}$。移项即得 $\ln(n+1)+n/[2(n+1)]<\sum_{k=1}^n1/k$。