2009年清华大学自主招生测试（文科） · 参考解答

答案速览

题号	答案
1	$a_n=a+2n-2$；$2y=x+a$
2	$16/55,\ 3/55,\ 16/55$
3	$f'(x)=3x^2-18x+6$；不存在所求 $a$
4	$x^2-y^2=2,\ x>0$；$2
5	$S_3\le0$；$S_4$ 既无最大值也无最小值

逐题解析

第 1 题

题目

已知数列 $\{a_n\}$，且 $S_n=na+n(n-1)$：

1. 求证：$\{a_n\}$ 是等差数列；
2. 求点 $\left(a_n,\dfrac{S_n}{n}\right)$ 所在的直线方程。

解答

规定 $S_0=0$，作差得到 $a_n=S_n-S_{n-1}=a+2n-2$，公差 $2$。对点 $(x,y)=(a_n,S_n/n)$，有 $x=a+2n-2$、$y=a+n-1$，消去 $n$ 得 $2y=x+a$。这些离散点均在该直线上。

第 2 题

题目

$12$ 名职员（其中 $3$ 名为男性）被平均分配到 $3$ 个部门：

1. 求此 $3$ 名男性被分别分到不同部门的概率；
2. 求此 $3$ 名男性被分到同一部门的概率；
3. 已知某位指定男性被分到指定部门，求其他 $2$ 人被分到另外两个不同部门的概率。

解答

将三个有标签的部门看作各有四个座位。第一名男性安排后，余下 $11$ 个座位中，有 $8$ 个属于另外两部门；第二名进入其中一部门后，第三名还需进入剩下的一部门，有 $4$ 个可选座位。因此概率 $(8/11)(4/10)=16/55$。

三人同部门的概率为 $(3/11)(2/10)=3/55$。

第三问明确为“某位指定男性已在指定部门”，不是“该部门至少有一个男性”。条件下另外两名仍均匀占据余下两个不同座位，所求仍为 $(8/11)(4/10)=16/55$。

第 3 题

题目

一元三次函数 $f(x)$ 的三次项系数为 $\dfrac a3$，$f'(x)+9x<0$ 的解集为 $(1,2)$：

1. 若 $f'(x)+7a=0$ 仅有一解，求 $f'(x)$ 的解析式；
2. 若 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围。

解答

由不等式解集为 $(1,2)$，二次多项式必有

$$f'(x)+9x=a(x-1)(x-2),\qquad a>0.$$

因此 $f'(x)=ax^2-(3a+9)x+2a$。方程 $f'(x)+7a=0$ 仅有一个实根，要求 $(3a+9)^2-36a^2=0$。因 $a>0$，得 $3a+9=6a$，所以 $a=3$，导函数如表。

第二问的条件事实上不能成立：$a>0$ 使 $f'(x)\to+\infty$（$|x|\to\infty$），不可能在整个实轴单调递减。故参数集合为空集，不能将其误写成某个非空区间。

第 4 题

题目

已知 $|PM|-|PN|=2\sqrt2$，$M(-2,0)$，$N(2,0)$：

1. 求点 $P$ 的轨迹 $W$；
2. 直线 $y=k(x-2)$ 与 $W$ 交于点 $A,B$，求 $S_{\triangle OAB}$（$O$ 为原点）。

解答

距离差为正，故轨迹为双曲线右支。由 $2c=4,2a=2\sqrt2$，得 $b^2=c^2-a^2=2$，方程 $x^2-y^2=2,\ x>0$。

直线代入后，

$$(1-k^2)x^2+4k^2x-4k^2-2=0.$$

若要两个交点都在右支，必须且只须 $|k|>1$：此时两根实且正；$|k|<1$ 时积负，仅一根在右支；$|k|=1$ 时只有一个有限交点。判别式为 $8(k^2+1)$，故

$$|x_A-x_B|=\frac{2\sqrt{2(k^2+1)}}{k^2-1}.$$

由 $y=k(x-2)$，

$$S_{OAB}=\frac12|x_Ay_B-x_By_A| =|k|\,|x_A-x_B|,$$

即答案表中的表达式。

第 5 题

题目

设 $a=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$（$n\in\mathbb Z$），

$$S_n=(x_1-a)(x_2-a)+(x_2-a)(x_3-a)+\cdots+(x_{n-1}-a)(x_n-a).$$

1. 求证：$S_3\leqslant0$；
2. 判断 $S_4$ 是否有最大值或最小值，并证明。（校订：不附加归一化条件时，原题所称最值并不存在。）

解答

令 $u_i=x_i-a$，则 $\sum u_i=0$。当 $n=3$，

$$S_3=u_2(u_1+u_3)=-u_2^2\le0,$$

等号当且仅当 $x_2=a$，即 $x_1+x_3=2x_2$。

当 $n=4$，取 $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(t,t,-t,-t)$，平均数为零且 $S_4=t^2$；取 $(t,-t,t,-t)$，则 $S_4=-3t^2$。令 $|t|\to\infty$，分别无上界和无下界。因此原题要求的最大值、最小值及等号条件均不存在，正式题面已改为判断是否存在最值。