2007年清华大学自主招生测试 · 参考解答

答案速览

题号	答案
1	递减 $(-\infty,0),(0,1)$；递增 $(1,\infty)$；极小值 $e$
2	$\pi a^2/12$
3	$0.8352229$；$0.0581529$
4	$651$；$19$
5	周长 $6\sqrt6$
6	第一个是开集，第二个不是开集

逐题解析

第 1 题

题目

求 $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$ 的单调区间及极值。

解答

定义域为 $\mathbb R\setminus\{0\}$，且 $f'(x)=e^x(x-1)/x^2$。分母及指数因子为正，故 $x<1$ 时导数负，$x>1$ 时导数正；注意必须在 $0$ 处分开单调区间。唯一极值点为 $x=1$，极小值 $e$，没有极大值。

第 2 题

题目

设正三角形 $T_1$ 边长为 $a$，$T_{n+1}$ 是 $T_n$ 的中点三角形，$A_n$ 为 $T_n$ 除去 $T_{n+1}$ 后剩下三个三角形内切圆面积之和。求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n A_k$。

解答

第 $k$ 次留下的三个正三角形边长都是 $a/2^k$。边长 $s$ 的正三角形内切圆半径为 $s\sqrt3/6$，因此

$$A_k=3\pi\frac{a^2}{12\cdot4^k}=\frac{\pi a^2}{4^{k+1}}.$$

求和得 $\sum_{k\ge1}A_k=(\pi a^2/16)/(1-1/4)=\pi a^2/12$。

第 3 题

题目

已知某音响设备由五个部件组成，$A$ 为电视机，$B$ 为影碟机，$C$ 为线路，$D$ 为左声道，$E$ 为右声道，各部件独立工作，正常工作的概率分别为 $0.90,0.95,0.95,0.94,0.94$。能听到声音，当且仅当 $A$ 与 $B$ 至少有一个正常工作、$C$ 正常工作、$D$ 与 $E$ 中至少有一个正常工作；若 $D,E$ 同时正常工作则有立体声效果。求：

1. 能听到立体声效果的概率；
2. 听不到声音的概率。

解答

题面补明各部件独立，“有一个”取“至少有一个”。输入端可用的概率为 $1-0.1\cdot0.05=0.995$。故

$$P(\text{立体声})=0.995\cdot0.95\cdot0.94^2=0.8352229.$$

至少一个声道工作的概率为 $1-0.06^2=0.9964$，所以

$$P(\text{无声})=1-0.995\cdot0.95\cdot0.9964=0.0581529.$$

第 4 题

题目

1. 求三直线 $x+y=60$，$y=\dfrac12x$，$y=0$ 所围成三角形内及边界上的整点个数；
2. 求方程组 $y<2x$，$y>\dfrac12x$，$x+y=60$ 的整数解个数。

解答

第一问按三角形内部及边界计数。对整数高度 $y=0,\ldots,20$，有 $2y\le x\le60-y$，该行 $61-3y$ 个整点。总数为

$$\sum_{y=0}^{20}(61-3y)=21\cdot61-3\cdot210=651.$$

第二问代入 $y=60-x$，得 $20<x<40$，故整数解有 $19$ 组。

第 5 题

题目

已知 $A(-1,-1)$，$\triangle ABC$ 是正三角形，且 $B,C$ 在双曲线 $xy=1\ (x>0)$ 一支上：

1. 求证：$B,C$ 关于直线 $y=x$ 对称；
2. 求 $\triangle ABC$ 的周长。

解答

写 $B=(t,1/t)$，$C=(u,1/u)$，$t,u>0$。设 $s=t+1/t$，则 $AB^2=s^2+2s$；由于 $s\ge2$，此式关于 $s$ 严格递增。由 $AB=AC$，得 $t+1/t=u+1/u$，即 $(t-u)(1-1/(tu))=0$。$B\ne C$ 排除 $t=u$，故 $tu=1$，两点关于 $y=x$ 对称。

令 $s=t+1/t>2$，则 $BC=\sqrt{2(s^2-4)}$。$A$ 到 $BC$ 的距离为 $(s+2)/\sqrt2$，正三角形的高等于 $\sqrt3\,BC/2$，所以

$$(s+2)^2=3(s^2-4),\qquad (s-4)(s+2)=0.$$

故 $s=4$，$BC=2\sqrt6$，周长 $6\sqrt6$。

第 6 题

题目

对于集合 $M\subseteq\mathbb R^2$，称 $M$ 为开集，当且仅当对任意 $P_0\in M$，存在 $r>0$，使得 $\{P\in\mathbb R^2\mid |PP_0|<r\}\subseteq M$。判断集合 $\{(x,y)\mid4x+2y-5>0\}$ 与 $\{(x,y)\mid x\ge0,y>0\}$ 是否为开集，并证明你的结论。

解答

对第一集合中任意 $P_0=(x_0,y_0)$，令 $\delta=4x_0+2y_0-5>0$，取 $r=\delta/\sqrt{20}$。若 $|P-P_0|<r$，由柯西不等式，

$$4x+2y-5\ge\delta-\sqrt{20}|P-P_0|>0,$$

故以 $P_0$ 为心、半径 $r$ 的开圆盘包含于该集合。

第二集合按源页为 $x\ge0,y>0$，而非转写中的 $x>0,y>0$。取其中的 $P_0=(0,1)$，对任何 $r>0$，点 $P=(-r/2,1)$ 到 $P_0$ 的距离小于 $r$，但横坐标为负，不属于该集合。因此不存在所需的开圆盘，第二集合不是开集。