2006年清华大学自主招生测试 · 参考解答

答案速览

题号	答案
1	$n=3,\ I=\frac{\sqrt3}{9}i$
2	最小值 $\frac18$，最大值 $1$
3	$0$
4	所有单元素集合 $\{m\}$ 及 $\{1,2,3\}$
5	$4$
6	$\frac12$
7	$f\equiv0$
8	上确界为周长 $L$，不能取得

逐题解析

第 1 题

题目

求最小正整数 $n$，使得 $I=\left(\dfrac12+\dfrac{1}{2\sqrt3}\mathrm i\right)^n$ 为纯虚数，并求出 $I$。

解答

底数为 $\frac1{\sqrt3}(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6)$。纯虚数要求 $\cos(n\pi/6)=0$，即 $n=3+6k$。最小正整数为 $3$，相应 $I=i/(3\sqrt3)$。

第 2 题

题目

已知 $a,b$ 为非负数，$M=a^4+b^4$，$a+b=1$，求 $M$ 的最值。

解答

由凸性，$a^4+b^4\ge2((a+b)/2)^4=1/8$，等号当且仅当 $a=b=1/2$。又 $0\le a,b\le1$，所以 $a^4+b^4\le a+b=1$，等号在 $(a,b)=(1,0),(0,1)$ 取得。

第 3 题

题目

已知 $\sin\theta,\sin\alpha,\cos\theta$ 为等差数列，$\sin\theta,\sin\beta,\cos\theta$ 为等比数列，求 $\cos2\alpha-\dfrac12\cos2\beta$ 的值。

解答

设 $u=\sin\theta,v=\cos\theta$。条件给出 $2\sin\alpha=u+v$ 和 $\sin^2\beta=uv$。因 $u^2+v^2=1$，

$$\cos2\alpha-\frac12\cos2\beta =1-\frac{(u+v)^2}{2}-\frac12+uv=0.$$

第 4 题

题目

求由正整数组成的非空有限集合 $S$，使 $S$ 中的元素之和等于元素之积。

解答

题中“集合”不允许重复元素，且取非空有限集合。单元素集合显然全部符合。

若集合不含 $1$，两个不同元素至少为 $2,3$，有 $2\cdot3>2+3$；加入新的整数 $c\ge2$ 时，原乘积大于原和 $T\ge5$，且 $cT>T+c$，故仍是积大于和。因而多元素解必须含 $1$。

若恰有另外两个元素 $a<b$，方程 $ab=1+a+b$ 等价于 $(a-1)(b-1)=2$，得 $a=2,b=3$。若只有另外一个元素，不可能相等；若有至少三个另外元素，则这些元素至少为 $2,3,4$，其乘积 $24>1+2+3+4$，以后每加入一个更大的元素，积大于和的关系仍保持。因此只有 $\{1,2,3\}$。

第 5 题

题目

独立抽取整数，每次取到奇数、偶数的概率均为 $\frac12$。至少抽取多少个整数，才能有 $0.9$ 以上的概率使其中至少有一个偶数？

解答

题面补明独立及奇偶等可能。全部为奇数的概率为 $2^{-n}$，所以要求 $1-2^{-n}\ge0.9$。由 $2^3<10<2^4$，最小 $n=4$；若“以上”理解为严格大于，答案也不变。

第 6 题

题目

在 $y=x^2$ 上一点 $P$（非原点）处引切线交 $x,y$ 轴于 $Q,R$，求 $\dfrac{|PQ|}{|PR|}$。

解答

设 $P=(t,t^2)$，$t\ne0$。切线 $y=2tx-t^2$ 给出 $Q=(t/2,0)$、$R=(0,-t^2)$。于是 $\overrightarrow{PQ}=\frac12\overrightarrow{PR}$，所求为 $1/2$。

第 7 题

题目

已知 $f(x)$ 满足：对实数 $a,b$ 有 $f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$，且 $|f(x)|\leqslant1$，求证：$f(x)$ 恒为零。（可以用以下结论：若 $\lim_{x\to\infty}g(x)=0$，$|f(x)|\leqslant M$，$M$ 为一常数，那么 $\lim_{x\to\infty}(f(x)g(x))=0$。）

解答

取 $a=b=1$ 得 $f(1)=0$。对于任意非零实数 $b$，由 $f(b\cdot b^{-1})=0$ 得 $f(b^{-1})=-f(b)/b^2$，但更直接的有界性论证如下：固定实数 $a$，对任意正数 $b$，

$$f(a)=\frac{f(ab)}b-\frac ab f(b).$$

右端绝对值不超过 $(1+|a|)/b$。令 $b\to\infty$，得 $f(a)=0$。

第 8 题

题目

在所有周长为 $L$ 的非退化空间四边形 $ABCD$ 中，求对角线 $AC$ 和 $BD$ 之和的上确界，并说明能否取得。（校订：非退化条件下原题所称的“最大值”并不存在。）

解答

题面校注：非退化空间四边形的原题“最大值”应改为“上确界”。

三角不等式给出

$$2AC\le AB+BC+CD+DA=L,\qquad 2BD\le L,$$

所以 $AC+BD\le L$。若等号成立，四条相应的三角不等式须同时等号，四点共线，不能构成非退化四边形。

取 $A=(0,0,0)$、$B=(\varepsilon,0,0)$、$C=(1,\varepsilon,0)$、$D=(1,0,\varepsilon)$。$\varepsilon>0$ 时四点不共面；当 $\varepsilon\to0$，周长及对角线之和均趋于 $2$，其比趋于 $1$。将每个四边形等比例缩放至周长 $L$，可使对角线和任意接近 $L$。故上确界恰为 $L$，但不取得。