2024年上海交通大学强基计划数学试题 · 参考解答

原 PDF 前两页为 21 题回忆稿，后三页为另一版本的部分解析。版本差异和教学补全在相应题下注明。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	依次严格递减；下确界 $e^{b-a}$，不取到	12	$a=0$
2	$7$	13	$3$ 个
3	$-8/3$	14	$2642$
4	$[1,2]$	15	$1/4$
5	$4/5$	16	$1/18$；$f(\sqrt r)=2/r$
6	$n$	17	$30$ 个
7	$\sqrt2-1$	18	$27-18\sqrt2$（改编）
8	$8$	19	至少 $n-3$ 个，且最优
9	充分必要条件	20	$[2/e,+\infty)$
10	$4$（补全）	21	$\sqrt{15}/3$
11	$(1,\sqrt{3/2}]$

逐题解析

第 1 题

题目

【设问补全】$f$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导，$f(x)>0$ 且 $f(x)+f\prime(x)<0$。已知 $0<a<1<b,ab<1$。（1）比较 $e^af(a),ef(1),e^bf(b),e^{1/a}f(1/a)$ 的大小；（2）固定 $a,b$，求 $f(a)/f(b)$ 在所有满足条件的函数中的下确界，并判断能否取到。

解答

题面校注： 源稿缺失选项和具体设问，现补成单调比较与最优下界两问。

令 $h(x)=e^xf(x)$，则 $h'(x)=e^x[f(x)+f'(x)]<0$。由 $0<a<1<b<1/a$，得到

$$e^af(a)>ef(1)>e^bf(b)>e^{1/a}f(1/a).$$

特别地 $f(a)/f(b)>e^{b-a}$，所以此下界不能取到。取 $f_\varepsilon(x)=e^{-(1+\varepsilon)x}$，其中 $\varepsilon>0$，满足全部条件，且比值为 $e^{(1+\varepsilon)(b-a)}$，在 $\varepsilon\to0^+$ 时趋于 $e^{b-a}$。故下确界恰为 $e^{b-a}$。

第 2 题

题目

设 $a$ 为 $4444^{4444}$ 的各位数字和，$b$ 为 $a$ 的各位数字和，$c$ 为 $b$ 的各位数字和，求 $c$。

解答

题面校注： 采用 21 题回忆稿的 $4444^{4444}$；附录讨论的是 $444^{444}$，不能照搬其答案 $9$。

一个正整数与其十进制数字和模 $9$ 同余。因 $4444\equiv7\pmod9$ 且 $7^3\equiv1\pmod9$，有 $c\equiv7^{4444}\equiv7\pmod9$。

还需限制 $c$ 的大小。$4444^{4444}<10^{17776}$，故 $a\le9\cdot17776=159984$，$a$ 至多六位，故 $b\le54$。不超过 $54$ 的正整数，其数字和至多 $13$（$49$ 达到），所以 $1\le c\le13$。其中模 $9$ 余 $7$ 的数只有 $7$，故 $c=7$。

第 3 题

题目

【采用源文件附录中的完整版本】$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，且对所有 $x\in[0,1]$ 有 $|f\prime(x)|\le1$。求 $a$ 的最小值，并给出一个取等的函数。

解答

题面校注： 前两页写“$|f'|<1$、求 $|a|$ 最小值”，这会退化为 $0$ 或无最小值；采用附录完整版本“$|f'|\le1$、求 $a$ 最小值”。

记 $q(x)=f'(x)=3ax^2+2bx+c$，则

$$q(0)+q(1)-2q(1/2)=\frac32a.$$

每个函数值均在 $[-1,1]$ 内，故右侧至少为 $-4$，即 $a\ge-8/3$。取 $f(x)=-(8/3)x^3+4x^2-x$，其导数 $-8x^2+8x-1=1-8(x-1/2)^2$ 在 $[0,1]$ 上恰属于 $[-1,1]$，所以最小值为 $-8/3$。

第 4 题

题目

若 $x^2+(y-2)^2\leqslant1$，求 $\dfrac{x+\sqrt3y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的取值范围。

解答

圆盘中心为 $(0,2)$、半径为 $1$，不含原点。自原点所见的方向角恰为 $\theta\in[\pi/3,2\pi/3]$：两条边界射线与圆相切，边界方向满足 $\sin|\pi/2-\theta|=1/2$。原式为 $\cos\theta+\sqrt3\sin\theta=2\cos(\theta-\pi/3)$，在该区间由 $2$ 降至 $1$，且每个方向都与圆盘相交，故值域为 $[1,2]$。

第 5 题

题目

抛物线 $y=x^2+ax+b-2$ 在 $|x|\geqslant2$ 时与 $x$ 轴有交点，求 $a^2+b^2$ 的最小值。

解答

设存在根 $t$ 满足 $|t|\ge2$，则 $at+b=2-t^2$。柯西不等式给出

$$a^2+b^2\ge\frac{(t^2-2)^2}{t^2+1}.$$

令 $u=t^2\ge4$，右侧 $h(u)=(u-2)^2/(u+1)$，导数为 $(u-2)(u+4)/(u+1)^2>0$，因此至少为 $h(4)=4/5$。取 $t=2,a=-4/5,b=-2/5$，或 $t=-2,a=4/5,b=-2/5$，均取等。

第 6 题

题目

设整数 $n\ge2$，$w=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}$，求 $(1-w)(1-w^2)\cdots(1-w^{n-1})$。

解答

$1,w,\ldots,w^{n-1}$ 是 $z^n=1$ 的全部不同根，因此

$$\frac{z^n-1}{z-1}=1+z+\cdots+z^{n-1} =\prod_{j=1}^{n-1}(z-w^j).$$

两边是多项式恒等式，代入 $z=1$ 得所求乘积为 $n$。

第 7 题

题目

$|z|=1$，求 $|z+iz+1|$ 的最小值。

解答

反三角不等式给出 $|(1+i)z+1|\ge\bigl||1+i||z|-1\bigr|=\sqrt2-1$。取 $z=-(1-i)/\sqrt2$，则 $(1+i)z=-\sqrt2$，达到下界。

第 8 题

题目

双曲线 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$，过左焦点 $F$ 作圆 $x^2+y^2=9$ 的切线，切点为 $M$；切线延长交双曲线右支于 $P$。$PF$ 中点为 $T$，求 $|OM|+|OT|$。

解答

左焦点为 $F=(-5,0)$。利用关于 $x$ 轴的对称性，只算上方切线。设斜率为 $m>0$，圆心到直线 $y=m(x+5)$ 的距离为 $5m/\sqrt{1+m^2}=3$，得 $m=3/4$。

代入双曲线得到 $175x^2-810x-4329=0$，两根为 $39/5,-111/35$。右支点为 $P=(39/5,48/5)$，故 $T=(7/5,24/5)$，$OT=5$。又 $OM=3$，所求为 $8$。

第 9 题

题目

过点 $P(1,1)$ 作两条不同的直线，与抛物线 $y^2=2x$ 分别交于 $A,B$ 和 $C,D$ 四个互不相同的点。判断“$AB,CD$ 的倾斜角互补”是“四点共圆”的何种条件，并证明。

解答

两弦均可写作 $x=k(y-1)+1$；水平线不能产生两个不同交点。代入得 $y^2-2ky+2k-2=0$，所以 $(y_A-1)(y_B-1)=-1$。这说明 $P$ 在弦内部，且

$$PA\cdot PB=(1+k^2)|(y_A-1)(y_B-1)|=1+k^2.$$

对另一条弦参数 $l$，相应乘积为 $1+l^2$。相交弦定理及其逆命题给出四点共圆当且仅当 $k^2=l^2$。两线不同，故等价于 $k=-l\ne0$，也就是两线倾斜角互补。若其中一条竖直，则 $k=0$，共圆将迫使另一条也竖直，与两线不同矛盾，因此该情形不漏解。所求为充分必要条件。

第 10 题

题目

【教学补全】抛物线 $y^2=4x$，点 $P(m,0)$，其中 $m>0$。过 $P$ 作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于 $A,B$ 和 $C,D$；$AB,CD$ 中点分别为 $M,N$。求 $S_{\triangle PMN}$ 的最小值及取等条件。

解答

题面校注： 原文未约束两条弦，允许退化三角形时最小面积为零，不能形成原拟考查的非平凡极值。现补充 $m>0$ 以及两弦垂直。

两弦可写成 $x=sy+m$、$x=ty+m$。由于每条都应有两个交点，垂直的一对不含水平线，故 $s,t$ 有限且非零，并且 $st=-1$。韦达定理给出中点

$$M=(m+2s^2,2s),\qquad N=(m+2t^2,2t).$$

于是 $S_{PMN}=2|st(s-t)|=2|s-t|$。又 $(s-t)^2=(s+t)^2-4st\ge4$，故面积至少为 $4$。当 $s=-t=1$ 或 $s=-t=-1$ 时取等，即两条直线斜率为 $1,-1$。$m>0$ 保证方程 $y^2-4sy-4m=0$ 对这两条线均有两个不同根，构造合法。

第 11 题

题目

【明确题意】设 $b>0$，直线 $x+y+3=0$ 上存在一点 $P$，从 $P$ 可向双曲线 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 引两条互相垂直的实切线（切点为有限点）。求双曲线离心率的取值范围。

解答

题面校注： 原转写把“直线上存在一点可作切线”误写为“双曲线过该点”，后者不可能在该点引出两条不同切线。源回忆稿还注明常数存疑，这里固定采用所印的 $3$。

设 $P=(u,v)$，非竖直切线斜率为 $m$。切线条件为 $(v-mu)^2=9m^2-b^2$，即

$$(u^2-9)m^2-2uvm+v^2+b^2=0.$$

两根积为 $-1$ 等价于 $u^2+v^2=9-b^2$。竖直切线只能是 $x=\pm3$，而双曲线无水平实切线，因此不可能属于一对垂直切线，不另增解。

直线 $u+v=-3$ 到原点距离为 $3/\sqrt2$，与圆 $u^2+v^2=9-b^2$ 有交点的必要条件是 $0<b^2\le9/2$。这也充分：在交点处 $u^2<9$，斜率方程两根积为 $-1$，有两个不同实根。唯一需剔除的是斜率为渐近线方向、没有有限切点的情况；这要求 $P$ 落在渐近线上。所有交点都在第三象限，至多一个落在其中正斜率的渐近线上。当两交点合一时，$P=(-3/2,-3/2),b=3/\sqrt2$，也不在渐近线上。因此总能选择一个交点引出两条真正的实切线。

最后 $e=\sqrt{1+b^2/9}$，所以 $1<e\le\sqrt{3/2}$。

第 12 题

题目

$f(x)=ax+\sin x$，若其图象存在两条互相垂直的切线，求整数 $a$ 的取值。

解答

所有切线斜率为 $a+\cos x$，覆盖 $[a-1,a+1]$。两实斜率乘积等于 $-1$，必须一正一负，因此 $|a|<1$。$a$ 为整数，只能 $a=0$；此时在 $x=0,\pi$ 处斜率分别为 $1,-1$，确实可行。

第 13 题

题目

求函数 $y=\left(\dfrac12\right)^x+\left(\dfrac23\right)^x+\left(\dfrac56\right)^x$ 图象上的整点个数。

解答

整点要求横坐标为整数。$x=0,1,3$ 时函数值分别为 $3,2,1$；$x=2$ 时为 $50/36=25/18$，不是整数。函数严格递减，所以整数 $x\ge4$ 时函数值严格在 $0,1$ 之间，不产生整点。

若 $x=-m$，$m$ 为正整数，则

$$y=2^m+(3/2)^m+(6/5)^m=\frac{20^m+15^m+12^m}{10^m}.$$

分子模 $5$ 为 $2^m\ne0$，不能成为整数。因此只有上述三个整点。

第 14 题

题目

【教学补全】非负整数 $x_1,\ldots,x_{10}$ 满足 $x_1+\cdots+x_{10}=49$。求 $x_1^2+\cdots+x_{10}^2$ 的最大值与最小值之和，并给出取等情形。

解答

题面校注： 若仅规定整数，可令 $x_1=t,x_2=49-t$、其余为零，平方和无上界。教学版补充非负条件。

由非负性，$\sum x_i^2\le(\sum x_i)^2=2401$，一个数为 $49$、其余为零时取等。求最小时，若两数相差至少 $2$，将大数减一、小数加一，平方和减少 $2(\text{大数}-\text{小数}-1)>0$。故最优时各数差不超过一，只能九个 $5$、一个 $4$，最小值为 $9\cdot25+16=241$。两极值之和为 $2642$。

第 15 题

题目

均匀正方体六面标有 $1,2,3,4,5,6$。独立掷三次得 $a_1,a_2,a_3$，求 $|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_1|=6$ 的概率。

解答

三个数排序后，三个绝对差之和等于最大值与最小值之差的两倍，所以要求极差为 $3$。最小值可为 $1,2,3$，固定最小值 $m$ 后，三次结果均在 $\{m,m+1,m+2,m+3\}$ 中且两个端点都出现，计数为 $4^3-2\cdot3^3+2^3=18$。总数 $54$，样本数 $6^3=216$，概率为 $1/4$。

第 16 题

题目

【修正定义域】$f:\mathbb R\setminus\{0\}\to(0,+\infty)$ 为偶函数，对任意正数 $a,b$ 有 $f(\sqrt{a^2+b^2})=\dfrac{f(a)f(b)}{f(a)+f(b)}$，且 $f(1)=2$。求 $f(-6)$，并进一步求正有理数 $r$ 对应的 $f(\sqrt r)$。

解答

题面校注： 若原式允许代入 $a=1,b=0$，会推出 $2=2f(0)/(2+f(0))$，矛盾；若分母为零则表达式没有意义。因此修正定义域并限定关系中的 $a,b>0$。

设 $H(t)=1/f(\sqrt t)$，$t>0$。题设等价于 $H(u+v)=H(u)+H(v)$，且 $H(1)=1/2$。对正整数 $p,q$，有 $H(p)=p/2$、$qH(p/q)=H(p)$，故 $H(p/q)=p/(2q)$。因此正有理数 $r$ 对应 $f(\sqrt r)=2/r$。取 $r=36$ 并用偶性，$f(-6)=f(6)=1/18$。函数 $f(x)=2/x^2$ 是满足全部条件的实例。

第 17 题

题目

定义 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，求满足 $\left[\dfrac x2\right]+\left[\dfrac x3\right]+\left[\dfrac x5\right]=x$ 的整数 $x$ 的个数。

解答

每个整数唯一表示为 $x=30q+r$，$q\in\mathbb Z,0\le r\le29$。代入方程得

$$31q+\left\lfloor\frac r2\right\rfloor+\left\lfloor\frac r3\right\rfloor+\left\lfloor\frac r5\right\rfloor=30q+r,$$

所以 $q=r-\lfloor r/2\rfloor-\lfloor r/3\rfloor-\lfloor r/5\rfloor$。每个 $r$ 都唯一给出一个整数 $q$，反过来该 $x$ 也满足方程；不同余数的 $x$ 不同。故一共 $30$ 个。原回忆稿对右端留有疑问，这里固定按所印的 $x$ 求解。

第 18 题

题目

【教学改编】正三棱锥 $P-ABC$ 的底面边长为 $3$，高为 $H=3\sqrt3/2$，底面中心为 $O$。平行于底面的截面交 $PA,PB,PC$ 于 $A\prime,B\prime,C\prime$；点 $Q$ 位于线段 $OP$ 上且在截面下方。若 $Q-A\prime B\prime C\prime$ 是正四面体，求其棱长的最大值及取等位置。

解答

题面校注： 原回忆只说“底为 3”，不足以确定外部三棱锥；“自由旋转”的优化对象也不明确。教学版固定正三棱锥及截面、轴线上顶点的配置，以下结论仅针对该改编。

设截面离底面高度为 $t$，$0<t<H$。相似关系给出截面边长 $a=3(1-t/H)$。正四面体的高为 $\sqrt6a/3$，故其下方顶点 $Q$ 的高度为 $t-\sqrt6a/3$，要在线段 $OP$ 上，必要且充分条件是 $t\ge\sqrt6a/3$。由 $t=H(1-a/3)$，得

$$a\le\frac{3H}{H+\sqrt6}=\frac9{3+2\sqrt2}=27-18\sqrt2.$$

等号时 $Q=O$，截面高 $t=\sqrt6H/(H+\sqrt6)$。该截面的中心在 $OP$ 上，三个顶点到 $O$ 的距离均等于截面边长，故确实组成正四面体；所有顶点均在外部棱锥内，凸性保证整个四面体包含于其中。因此最大值可取到。

第 19 题

题目

【教学改编】$n\ge5$ 个点之间指定若干条连线。在任意四点中，至少有一点与这四点中的其余三点都有连线。证明：至少有 $n-3$ 个点与全部其余点相连；并构造说明这个下界不能提高。

解答

题面校注： 原选择项有包含关系，不适合作为单选。现改为证明最优下界，保留原四点条件。

考虑“未连线”组成的补图。题设说任意四点的补图中至少有一个孤立点。补图不可能有两条不相交的边，否则其四个端点均非孤立；也不可能有一个顶点邻接三个点，否则这四点同样没有孤立点。

若补图有两条边，它们必须相交，设为 $uv,uw$。任何另一条边若不经过 $u$，为了同时与这两条边相交，只能为 $vw$；若经过 $u$，则不能接到第四点，否则形成三叉星。因此补图的全部边都集中在 $u,v,w$ 中。若补图至多一条边，结论也成立。故至少 $n-3$ 个点在补图中完全孤立，即在原图中连接全部其余点。

取完全图，删去某三个点之间的三条边。任意四点必有一个点不属于这三个点，且它连向其余三点，满足题设；但恰有 $n-3$ 个点连接所有其余点，证明下界最优。

第 20 题

题目

设实数 $k\ne0$，$f(x)=e^{kx}-\dfrac{2\ln x}{kx}+1$，$g(x)=x\ln x$，$x>0$。若 $kf(x)\ge2g(x)$ 对所有 $x>0$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围。

解答

不等式等价于 $k(e^{kx}+1)\ge2(x+1/x)\ln x$。取 $x>1$，右边为正，排除 $k\le0$。再取 $x=e$，左边作为 $k>0$ 的函数严格增加，而 $k=2/e$ 恰使两边相等，故必要条件为 $k\ge2/e$。

证明充分性。对所有 $x>0$，有 $\ln x/x\le1/e$（求导可知在 $x=e$ 取最大值），故 $\ln x\le x/e$，进而 $e^{2x/e}\ge x^2$。于是

$$\frac2e(e^{2x/e}+1)\ge\frac2e(x^2+1) \ge2(x^2+1)\frac{\ln x}{x}.$$

所以 $k=2/e$ 满足要求。固定 $x>0$ 时，$k(e^{kx}+1)$ 对 $k>0$ 严格递增，故所有更大的 $k$ 也成立。取值范围为 $[2/e,+\infty)$。

第 21 题

题目

椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左右焦点为 $F_1,F_2$，点 $P$ 在直线 $x+2\sqrt3y-4\sqrt3=0$ 上。当 $\angle F_1PF_2$ 最大时，求 $\dfrac{PF_1}{PF_2}$。

解答

设 $P=(x,y)$，由直线方程 $x=2\sqrt3(2-y)$。对于 $y\ne0$，视角 $\theta=\angle F_1PF_2$ 满足

$$\cot\theta=\frac{x^2+y^2-3}{2\sqrt3|y|} =\frac{13y^2-48y+45}{2\sqrt3|y|}.$$

$y>0$ 时右侧为 $(13y+45/y-48)/(2\sqrt3)$，在 $y=3\sqrt{5/13}$ 取最小值；$y<0$ 时令 $u=-y$，其式变为 $(13u+45/u+48)/(2\sqrt3)$，最小值严格更大。$y=0$ 时视角为零。因此全局最大视角对应上述正 $y$。

记该点坐标为 $(x_*,y_*)$，有 $y_*^2=45/13$，所以

$$x_*^2+y_*^2+3=96-48y_*,\qquad 2\sqrt3x_*=24-12y_*.$$

因此

$$\frac{PF_1^2}{PF_2^2} =\frac{x_*^2+y_*^2+3+2\sqrt3x_*}{x_*^2+y_*^2+3-2\sqrt3x_*} =\frac{120-60y_*}{72-36y_*}=\frac53.$$

取正平方根即 $PF_1/PF_2=\sqrt{15}/3$。这里 $y_*<2$，分母不为零。