2023年上海交通大学强基计划数学试题 · 参考解答

源文件含重复的对数题及不完整回忆题，现沿用整理稿的七题顺序。初值补全及教学改编均在对应题下注明。

答案速览

题号	答案
1	$a<b<c$
2	$1/2<S_{100}<3$
3	$[27/4,64/3]$
4	$n\equiv6\pmod8$；最小 $N_n=120$
5	$3-\sqrt3$
6	$a=-3,b=3,f(9/2)=9/4$
7	$4$ 条

逐题解析

第 1 题

题目

已知 $5^5<8^4$，$13^4<8^5$，令 $a=\log_5 3$，$b=\log_8 5$，$c=\log_{13}8$，则（　）。

• A. $a<b<c$
• B. $b<a<c$
• C. $b<c<a$
• D. $c<a<b$

解答

由 $3^4=81<125=5^3$，$a<3/4$；由 $5^4=625>512=8^3$，$b>3/4$。再由题设 $5^5<8^4$ 得 $b<4/5$，$13^4<8^5$ 得 $c>4/5$。所以 $a<3/4<b<4/5<c$。

第 2 题

题目

【初值与设问补全】数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}$，记 $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$。证明 $\frac12<S_{100}<3$。

解答

题面校注： 源回忆稿没有完整初值与设问；教学版采用原转写稿补入的 $a_1=1$，并明确要求证明该区间，不将补入内容视为原卷文字。

各项为正且递减。令 $b_n=\sqrt{a_n}$，则

$$b_n-b_{n+1}=\frac{a_n}{1+b_n+\sqrt{1+b_n}}.$$

先估计前三项：$a_1=1,a_2=1/2,a_3=1/(2+\sqrt2)$，所以 $1/4<a_3<3/10$，从而 $S_3<9/5$，$a_4=a_3/(1+\sqrt{a_3})<(3/10)/(3/2)=1/5$。于是对 $n\ge4$，$b_n\le b_4<9/20$，且

$$1+b_n+\sqrt{1+b_n} <\frac{29}{20}+\frac{121}{100}=\frac{133}{50},$$

其中 $(121/100)^2>29/20$。因而尾和满足

$$\sum_{n=4}^{100}a_n <\frac{133}{50}\sum_{n=4}^{100}(b_n-b_{n+1}) <\frac{133}{50}\cdot\frac9{20}=\frac{1197}{1000}.$$

得到 $S_{100}<9/5+1197/1000=2997/1000<3$；另一方面 $S_{100}>a_1=1>1/2$。两侧均已证明，无须依靠数值近似。

第 3 题

题目

正四棱锥的侧棱长均为 $l$，各顶点在同一球面上，球的体积为 $36\pi$，且 $3\le l\le3\sqrt3$。求该四棱锥体积的取值范围。

解答

题面校注： 原件为“侧棱长为 $l$”，转写误成“所有棱长均为 $l$”。

球半径满足 $4\pi R^3/3=36\pi$，得 $R=3$。设棱锥高为 $h$，底面外接圆半径为 $r$。球心在对称轴上，且棱锥顶点在球面上，故 $r^2=R^2-(R-h)^2=6h-h^2$，侧棱满足 $l^2=r^2+h^2=6h$。于是 $3/2\le h\le9/2$，底面面积为 $2r^2$，体积

$$V(h)=\frac23h^2(6-h),\qquad V'(h)=2h(4-h).$$

函数在 $[3/2,4]$ 增、$[4,9/2]$ 减。三个候选值为 $V(3/2)=27/4,V(4)=64/3,V(9/2)=81/4$，所以范围为 $[27/4,64/3]$。每个允许的 $h$ 都对应非退化底面，且体积连续，故中间值全部可取。

第 4 题

题目

【教学改编】定义第 $n$ 个数为 $b_n=1+2+\cdots+2^{n-1}$，$N_n=\sum_{k=1}^n b_k$。求所有满足 $8\mid N_n$ 的正整数 $n$，并求这些 $N_n$ 中大于 $100$ 的最小值。

解答

题面校注： 原回忆的“密码”及下标不完整；原转写将其解释为拼接数列也不能得到所列选项。本题改为等比和累加、整除条件的完整训练题。

$b_n=2^n-1$，所以 $N_n=2^{n+1}-n-2$。当 $n=1$ 时 $N_1=1$ 不符合；当 $n\ge2$ 时，$2^{n+1}$ 被 $8$ 整除，故 $8\mid N_n$ 当且仅当 $n+2\equiv0\pmod8$，即 $n\equiv6\pmod8$。最小正整数解为 $n=6$，$N_6=128-8=120>100$；又 $N_n$ 严格递增，所以最小目标值为 $120$。

第 5 题

题目

已知 $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$，$\vec a\cdot\vec b=1/2$，求 $(\vec a+\vec b)\cdot(2\vec b-\vec c)$ 的最小值。（　）

• A. $-2$
• B. $3-\sqrt3$
• C. $-1$
• D. $0$

解答

$|\vec a+\vec b|=\sqrt{1+1+2\cdot1/2}=\sqrt3$，且 $(\vec a+\vec b)\cdot2\vec b=3$。因此原式为 $3-(\vec a+\vec b)\cdot\vec c\ge3-\sqrt3$，取 $\vec c=(\vec a+\vec b)/\sqrt3$ 即取等。

第 6 题

题目

【教学补全】函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 满足 $f(x+1)$ 为奇函数、$f(x+2)$ 为偶函数；当 $x\in[1,2]$ 时，$f(x)=ax^2+bx$，且 $f(0)+f(3)=6$。求 $a,b$ 和 $f(9/2)$。

解答

题面校注： 原件为 $ax^2+bx$、区间 $(1,2)$，转写误成 $ax^2+b$ 和闭区间。仅用开区间又缺少端点联系，参数不能唯一确定。教学版恢复一次项，并补充端点也满足解析式。

两种对称性写为 $f(2-x)=-f(x)$、$f(4-x)=f(x)$。于是 $f(x+2)=-f(x)$，进而 $f(x+4)=f(x)$。奇对称中心给出 $f(1)=0$，所以 $f(3)=0$；再由已知和得 $f(0)=6,f(2)=-6$。代入闭区间公式，$a+b=0,4a+2b=-6$，因此 $a=-3,b=3$。

最后 $f(9/2)=f(1/2)=-f(3/2)=-[-3\cdot9/4+3\cdot3/2]=9/4$。在 $[1,2]$ 上的这段函数可以依次通过关于 $x=1$ 的奇对称、关于 $x=2$ 的偶对称以及周期 $4$ 延拓；端点值彼此吻合，因此这些条件确实相容。

第 7 题

题目

在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，过点 $D_1$ 且与 $DD_1,D_1A_1,D_1C_1$ 所成角均相等的直线共有（　）条。

• A. $4$
• B. $3$
• C. $2$
• D. $1$

解答

以过 $D_1$ 的三条棱方向为正交坐标轴，所求直线的非零方向向量记为 $(u,v,w)$。它与三轴的直线夹角相等，等价于 $|u|=|v|=|w|$。比例化后有 $(\pm1,\pm1,\pm1)$ 共八种向量，但相反向量确定同一直线，故有 $8/2=4$ 条。