2020年上海交通大学强基计划数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$(c,1-c)$	14	$0$ 组
2	（1）	15	$(1+\sqrt5)/2$
3	$686$	16	$7$
4	$60^\circ$	17	$1/2$，$a=1/2$
5	$7x-y-17=0$	18	$174$
6	$11$	19	无穷多条
7	$0$	20	$3\sqrt2$
8	$p<5$ 时 2 条，$p=5$ 时 1 条，$p>5$ 时 0 条	21	$\sqrt{15}/3$
9	$3,4,6$	22	$310$
10	C；$k=-2,-1,0$	23	$0$
11	B	24	依次为 A、B、C
12	$1$	25	$2\sqrt2$
13	（1）（2）

逐题解析

第 1 题

题目

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,1)$，若 $c\in(0,\frac12)$，则函数 $g(x)=f(x+c)+f(x-c)$ 的定义域为______。

解答

同时要求 $0<x+c<1$ 和 $0<x-c<1$，两区间交集为 $(c,1-c)$；$0<c<1/2$ 保证它非空。

第 2 题

题目

已知方程 $2^x-\sin x=1$。判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有无数多个实数解；（3）方程恰有一个正数解；（4）方程的所有实根均小于 $1$。其中错误的判断有______。

解答

题面校注： 原件为 $2^x-\sin x=1$，转写漏掉了指数。

令 $h(x)=2^x-\sin x-1$。$h(0)=0,h'(0)=\ln2-1<0,h(1)=1-\sin1>0$；在 $(0,1)$ 内 $h''(x)=(\ln2)^2 2^x+\sin x>0$，故导数严格增加，函数先减后增，恰有一个正根。$x\ge1$ 时 $h(x)\ge2^x-2\ge0$，且 $x=1$ 也不取零，所以所有根都小于 $1$。

在负半轴每个正弦的负波谷处 $\sin x=-1$，有 $h(x)=2^x>0$，而其两端的正弦零点满足 $h(x)=2^x-1<0$。介值定理保证每个这样的波谷两侧各有根，因而有无穷多个实根。仅（1）错误。

第 3 题

题目

小于 $1000$ 的正整数中，既不是 $5$ 的倍数也不是 $7$ 的倍数的整数共有多少个？

解答

容斥计数给出 $999-\lfloor999/5\rfloor-\lfloor999/7\rfloor+\lfloor999/35\rfloor=999-199-142+28=686$。

第 4 题

题目

边长为 $a$ 的正三角形 $ABC$ 中，$D,E$ 分别在 $AB,BC$ 上，且 $AD=BE=\frac13a$。连接 $AE,CD$，则 $AE$ 与 $CD$ 的夹角为______。

解答

取 $A=(0,0),B=(a,0),C=(a/2,\sqrt3a/2)$，则 $D=(a/3,0),E=(5a/6,\sqrt3a/6)$。方向向量可取 $(5,\sqrt3)$ 和 $(1,3\sqrt3)$，点积为 $14$，模均为 $\sqrt{28}$，故锐夹角余弦为 $1/2$，夹角为 $60^\circ$。

第 5 题

题目

已知 $A(3,4),B(6,0),C(-5,-2)$，求角 $A$ 的平分线所在直线方程。

解答

从 $A$ 指向 $B,C$ 的单位向量分别是 $(3,-4)/5$、$(-4,-3)/5$，其和 $(-1,-7)/5$ 指向内角平分线。因此直线斜率为 $7$，过 $(3,4)$，方程为 $7x-y-17=0$。

第 6 题

题目

从 $2$ 个红球、$3$ 个黑球、$5$ 个白球（同色球完全相同）中任取 $6$ 个，有多少种不同取法？

解答

红、黑球数 $(r,b)$ 可在 $0\le r\le2,0\le b\le3$ 中选取，共 $12$ 对。白球数为 $6-r-b$，仅 $(0,0)$ 使白球超过 $5$，其余均合法，因此 $11$ 种。

第 7 题

题目

曲线 $y=ax^2+bx+c$ 过 $A(-3,4),B(5,4)$，求 $2a+b$。

解答

两点代入相减，$25a+5b-(9a-3b)=0$，即 $16a+8b=0$，所以 $2a+b=0$。此证明也包含 $a=0$ 的情形。

第 8 题

题目

过抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点 $F$ 作直线 $m$，交抛物线于不同的两点 $A,B$。若 $A,B$ 横坐标之和为 $5$，讨论直线 $m$ 的条数与 $p$ 的关系。

解答

焦点为 $(p/2,0)$。与抛物线有两个交点的焦点弦均可写作 $x=ty+p/2$，包括竖直弦；水平轴线只有一个交点，应排除。代入得 $y^2-2pty-p^2=0$，两根不同，且

$$x_A+x_B=t(y_A+y_B)+p=2pt^2+p=5.$$

因此 $t^2=(5-p)/(2p)$：当 $0<p<5$ 时两条，$p=5$ 时一条，$p>5$ 时零条。

第 9 题

题目

【条件明确】用同样大小的正 $n$ 边形以边与整条边相接的方式，无重叠地铺满整个平面，求所有可能的 $n$，并说明可以实现。

解答

在边与整条边相接的铺法中，每个顶点处有整数 $q\ge3$ 个内角相加为 $2\pi$，所以 $q(n-2)/n=2$，即 $q=2+4/(n-2)$。于是 $n-2$ 为 $4$ 的正因数，得到 $n=3,4,6$。正三角形网格、正方形网格和蜂窝形正六边形网格分别实现三种情况。

第 10 题

题目

三条直线 $l_1:x-2y+2=0$，$l_2:x=2$，$l_3:x+ky=0$ 将平面划分成 $6$ 个部分，则 $k$ 的可能取值情况是：A. 只有唯一值；B. 有两个不同的值；C. 有三个不同的值；D. 有无数个值。

解答

前两直线相交于 $(2,2)$。第三条与其中一条平行，或通过此交点，均恰得六个区域；若它与两条分别相交则得七个区域。平行 $l_1$ 对应 $k=-2$，平行 $l_2$ 对应 $k=0$，通过交点对应 $k=-1$。三条候选线均与原线不同，所以选 C。

第 11 题

题目

已知非零实数 $a,b,c$，若 $\frac{bc}{a},\frac{ac}{b},\frac{ab}{c}$ 成等差数列，则一定成立的是：A. $|b|\le |ac|$；B. $|b|\le\frac{|a|+|c|}{2}$；C. $|b|^2\ge |ac|$；D. $a^2\le b^2\le c^2$。

解答

题面校注： 源解析结尾选 C，与其自身推导矛盾；正确为 B。

等差关系给出 $b^2(a^2+c^2)=2a^2c^2$，由 $a^2+c^2\ge2|ac|$ 得 $b^2\le|ac|$，进而 $|b|\le\sqrt{|ac|}\le(|a|+|c|)/2$。B 必然成立。A 可取 $a=b=c=1/2$ 反驳；C、D 可取 $a=2,c=1,b=\sqrt{8/5}$ 反驳。

第 12 题

题目

函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。若对任意 $x\in D$，都存在唯一的 $y\in D$，使 $f(x)+f(y)=4$，则称 $f(x)$ 在 $D$ 上的和为 $4$。判断下列函数中有几个满足条件： (1) $f(x)=\ln x,\ x\in[1/e,e^5]$；(2) $f(x)=x^2-1,\ x\in[-1,6]$；(3) $f(x)=\frac{x}{x-1},\ x<1$；(4) $f(x)=xe^x$。

解答

函数（1）单调，值域为 $[-1,5]$，关于 $2$ 对称；每个函数值 $u$ 都有唯一的 $4-u$ 对应，故成立。函数（2）在 $x=6$ 取 $35$，却不能取 $-31$；函数（3）值域为 $(-\infty,1)$，两个值之和小于 $2$；函数（4）的最小值为 $-1/e$，取足够大的正 $x$ 后，$4-f(x)<-1/e$。故只有一个。

第 13 题

题目

若集合 $M$ 中任意两个元素的和、差、积、商（除数不为 $0$）仍在 $M$ 中，则称 $M$ 为封闭集合。判断下列集合中哪些封闭：（1）$\mathbb R$；（2）$\mathbb Q$；（3）$\mathbb R\setminus\mathbb Q$；（4）$\{m+n\sqrt2\mid m,n\in\mathbb Z\}$。

解答

$\mathbb R$、$\mathbb Q$ 对四则运算均封闭。无理数集合不封闭，因为 $\sqrt2-\sqrt2=0$。集合 $\mathbb Z+\mathbb Z\sqrt2$ 含 $1,2$ 却不含 $1/2$：若 $1/2=m+n\sqrt2$，$n\ne0$ 导致 $\sqrt2$ 有理，$n=0$ 则要求整数 $m=1/2$。所以仅（1）（2）。

第 14 题

题目

方程 $x(x+1)+1=y^2$ 有多少组正整数解？

解答

对正整数 $x$，$x^2<x^2+x+1<(x+1)^2$，中间不可能是整数平方，故无解。

第 15 题

题目

若 $a,b<0$ 且 $\frac1a+\frac1b=\frac1{a-b}$，求 $\frac ab$。

解答

令 $t=a/b>0$，题设等价于 $1/t+1=1/(t-1)$，其中 $t\ne1$。整理为 $t^2-t-1=0$，取正根 $t=(1+\sqrt5)/2$。

第 16 题

题目

若四面体各顶点到平面 $\alpha$ 的距离都相等，则称 $\alpha$ 为该四面体的中位面。一个四面体有多少个中位面？

解答

四顶点不能在平面同侧且等距，否则都在同一个平行平面上，违背四面体非退化。故顶点分成两个非空组，每组位于与中位面平行的等距平面上。分组有 $1+3$ 型四种、$2+2$ 型三种。

每种分组恰定一个中位面：对四个不共面的顶点规定仿射函数值分别为 $+1$ 或 $-1$，存在唯一的仿射函数实现这些值，其零平面即所求。互换两组得到同一零平面，除此之外不会重复。因此共 $7$ 个。

第 17 题

题目

设 $m(a)$ 是函数 $f(x)=|x^2-a|$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值，求 $m(a)$ 的最小值及相应的 $a$。

解答

题面校注： 原件有绝对值，转写遗漏。若没有绝对值，所求最小值不存在。

$x^2$ 遍历 $[0,1]$，所以 $m(a)=\max\{|a|,|1-a|\}\ge(|a|+|1-a|)/2\ge1/2$。当且仅当 $a=1/2$ 取等。

第 18 题

题目

在正方体 $8$ 个顶点中任取两点确定直线，所得直线中异面直线共有多少对？

解答

异面的一对直线用到四个不同顶点。每选四个不共面的顶点，有三种分成两对的方式，全部产生异面线对。正方体四顶点共面的情形只有六个面和六个对角截面：若有三点在同一面，第四点也必须在该面；否则选取的四点在一对平行面上各两个，共面要求两条连线平行，由正方形的边、对角线方向分类得到其余六个对角截面。因此共有 $3[\binom84-12]=174$ 对。

第 19 题

题目

若空间三条直线 $a,b,c$ 两两异面，则与三条直线都相交的直线有多少条？

解答

在 $a$ 上取动点 $P$，作过 $P$ 与直线 $b$ 的平面 $\pi_P$。除至多一个位置外，$c$ 与 $\pi_P$ 有唯一交点 $Q$，因为这些平面构成过 $b$ 的平面束。平面内 $PQ$ 与 $b$ 相交时，$PQ$ 即为公截线。

不相交只可能是 $PQ\parallel b$。这要求 $P$ 位于“经过 $c$ 且平行于 $b$”的固定平面内。直线 $a$ 不可能包含于该平面，否则其中的 $a,c$ 共面；所以又至多排除一个位置。去掉有限个位置仍有无穷多个 $P$，对应不同的公截线，故有无穷多条。

第 20 题

题目

用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，求此六边形周长的最小值。

解答

将单位立方体写作 $[0,1]^3$。非退化六边形截面与六个面都相交，所以沿截面边界走一周，三个坐标各自的总变化量都为 $2$，合计 $6$。每条边位于一个立方体面内，至少一个坐标不变，故边长满足

$$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2} \ge\frac{|\Delta x|+|\Delta y|+|\Delta z|}{\sqrt2}.$$

累加得周长至少 $3\sqrt2$。平面 $x+y+z=3/2$ 截得六条边均长 $1/\sqrt2$ 的正六边形，达到该值。

第 21 题

题目

【按源解析图明确点序】矩形 $ABCD$ 的边 $AB=\sqrt2$。过 $B,D$ 作 $AC$ 的垂线，垂足分别为 $E,F$，且 $AF=FE=EC$。沿 $AC$ 翻折矩形，使二面角 $B-AC-D$ 成直角，求 $BD$。

解答

题面校注： 按原参考图明确顺序为 $A,F,E,C$。若交换两垂足顺序，答案会改变。

设 $AF=FE=EC=t$。由直角三角形投影关系 $AB^2=AE\cdot AC=6t^2=2$，得 $t=1/\sqrt3$，且 $BE^2=AB^2-AE^2=2/3$，同样 $DF^2=2/3$。折后 $BE,DF$ 互相垂直且均垂直于 $EF$，所以 $BD^2=BE^2+DF^2+EF^2=5/3$，即 $BD=\sqrt{15}/3$。

第 22 题

题目

平面上给定五个点，任意三点不共线。过任意两点作直线，且任意两条直线既不平行也不垂直。过五点中任一点向另外四点的连线作垂线，所有这些垂线的交点（不含已知五点）至多有多少个？

解答

共有 $5\binom42=30$ 条垂线，初计 $\binom{30}2=435$ 对。每一条原两点连线对应三条互相平行的垂线，应扣去 $\binom52\binom32=30$；每个原点有六条垂线相交，该点不计，应扣去 $5\binom62=75$。每三个原点组成的三角形的三条高共点，三对线只贡献一个交点，另扣 $2\binom53=20$。故最多 $435-30-75-20=310$。

上述上界能够达到。例如取原五点为 $(0,0),(1,2),(3,7),(8,4),(11,13)$。核验方法如下：对原点 $P_i=(x_i,y_i)$ 和不含 $i$ 的点对 $j,k$，相应垂线方程为

$$(x_k-x_j)X+(y_k-y_j)Y=(x_k-x_j)x_i+(y_k-y_j)y_i.$$

对这 30 个方程两两消元，平行对恰为 30 对；非平行交点中五个原点各有六线共点，另外恰有 10 个三线共点和 300 个二线共点，没有其他重合。上述坐标同时满足原连线无平行、无垂直，故恰有 $10+300=310$ 个所求交点。这也提供了可逐项用有理数运算复核的取等构造。

第 23 题

题目

若实数 $a,b$ 满足 $(a+b)^{59}=-1$，$(a-b)^{60}=1$，求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{60}(a^n+b^n)$。

解答

由奇次幂条件得 $a+b=-1$，由偶次幂条件得 $a-b=\pm1$，所以 $\{a,b\}=\{0,-1\}$。总和为 $\sum_{n=1}^{60}(-1)^n=0$。

第 24 题

题目

甲、乙、丙三人的职业分别是 $A,B,C$。乙的年龄比从事职业 $C$ 的人大，丙的年龄和从事职业 $B$ 的人不同，从事职业 $B$ 的人比甲年龄小。求甲、乙、丙的职业。

解答

职业 B 的人不是甲（比甲年轻），也不是丙（年龄不同），故为乙。职业 C 若是甲，会要求乙比甲年长，与前述矛盾；又不能是乙本人，所以 C 为丙，A 为甲。

第 25 题

题目

求函数 $y=\dfrac{4\sin x\cos x+3}{\sin x+\cos x}$ 在 $x\in(-\frac\pi4,\frac{3\pi}4)$ 上的最小值。

解答

设 $t=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\pi/4)$，则 $t\in(0,\sqrt2]$，且 $4\sin x\cos x+3=2t^2+1$。于是 $y=2t+1/t\ge2\sqrt2$，等号在 $t=1/\sqrt2$ 时取得，该值确在允许区间内。