2019年上海交通大学自主招生数学试卷 · 参考解答

本年未提供原始试卷，以下以校订教学版题面为准；第 11、16 题的补全和改编不代表原卷复原。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$3$	10	$16/27$
2	$x<z<y$	11	A、D
3	$a<-6$ 或 $a>6$	12	$8\sqrt3$
4	$(1-\sqrt5)/2$	13	$38/3$
5	$(3/4,1]$	14	$1/2$
6	$3$	15	$50499$
7	$4$	16	绝对余弦之比；锐角时可去绝对值
8	$2^{3027}\sqrt2$	17	$(3,4)$
9	$\sqrt5/2$	18	$a\ge5/4$

逐题解析

第 1 题

题目

$f(x)=a\sin x+b\sqrt[3]x+4$ ，且 $f(\lg\log_3 10)=5$ ，求 $f(\lg\lg3)$ 。

解答

$f(x)-4$ 是奇函数，故 $f(t)+f(-t)=8$ 。又

\lg\log_3 10=\lg\frac1{\lg3}=-\lg\lg3.

所求为 $8-5=3$ 。

第 2 题

题目

$0<a<1,0<\theta<\pi/4$ ，令 $x=(\sin\theta)^{\log_a\sin\theta}$ ， $y=(\cos\theta)^{\log_a\tan\theta}$ ， $z=(\sin\theta)^{\log_a\tan\theta}$ ，比较 $x,y,z$ 。

解答

令 $u=-\ln\sin\theta,v=-\ln\cos\theta,L=-\ln a$ ，则 $u>v>0,L>0$ 。分别取对数得到

\ln x=-\frac{u^2}{L},\qquad \ln z=-\frac{u(u-v)}L,\qquad \ln y=-\frac{v(u-v)}L.

因为 $u^2>u(u-v)>v(u-v)$ ，所以 $\ln x<\ln z<\ln y$ ，即 $x<z<y$ 。

第 3 题

题目

方程 $x^4+ax-4=0$ 的各实根为 $x_1,\ldots,x_k$ （ $k\le4$ ）。若点 $(x_i,4/x_i)$ 均在直线 $y=x$ 同侧，求 $a$ 的范围。

解答

设 $p(x)=x^4+ax-4$ 。其导数 $4x^3+a$ 仅有一个零点，函数先减后增，且 $p(0)<0$ 、两端趋于正无穷，故恰有两个实根 $r<0<s$ 。点到直线的带符号差为 $4/x-x=(4-x^2)/x$ 。两点都在上方当且仅当 $r<-2$ 且 $0<s<2$ ；都在下方当且仅当 $-2<r<0$ 且 $s>2$ 。

在两根之间 $p<0$ ，在外侧 $p>0$ 。由于 $p(-2)=12-2a,p(2)=12+2a$ ，第一种情况等价于 $a>6$ ，第二种等价于 $a<-6$ 。端点使一个点落在直线上，不能取到。

第 4 题

题目

复数 $z$ 满足 $|z|=1$ 且 $z^2-2az+a^2-a=0$ ，求负实数 $a$ 。

解答

因 $a<0$ ，方程两根为 $a\pm i\sqrt{-a}$ ，其模平方为 $a^2-a$ 。所以 $a^2-a=1$ ，取负根得 $a=(1-\sqrt5)/2$ 。

第 5 题

题目

若 $x^3-3x^2+(m+2)x-m=0$ 的三个根可作为三角形三边长，求 $m$ 的范围。

解答

分解为 $(x-1)(x^2-2x+m)=0$ 。三根为 $1,1-t,1+t$ ，其中 $t=\sqrt{1-m}\ge0$ 。最大边小于另两边之和，等价于 $1+t<2-t$ ，即 $0\le t<1/2$ ；这一条件也保证最小边为正。因此 $3/4<m\le1$ ， $m=1$ 对应等边三角形，允许重根。

第 6 题

题目

$m,n\in\mathbb Z^+$ ，若 $(\sqrt3+i)^m=(1-i)^n$ ，求 $n-m$ 的最小值。

解答

写成极形式 $\sqrt3+i=2e^{i\pi/6}$ 、 $1-i=\sqrt2e^{-i\pi/4}$ 。比较模得 $n=2m$ ；比较辐角得 $m\pi/6+n\pi/4=2k\pi$ ，所以 $m=3k,n=6k$ 。正整数要求 $k\ge1$ ，故最小差为 $3$ 。

第 7 题

题目

$x_1=\sqrt[3]3$ ， $x_n=(x_{n-1})^{\sqrt[3]3}$ 。若 $x_n\in\mathbb Z$ ，求 $n$ 的最小值。

解答

令 $r=\sqrt[3]3$ 。前四项为 $r,r^r,r^{r^2},r^{r^3}=3$ 。由于 $\sqrt2<r<3/2$ ，有

1<x_1<2,\qquad 1<x_2<(3/2)^{3/2}<2, \qquad 2<r^2<r^{r^2}<r^3=3.

其中 $(3/2)^3=27/8<4$ ，证明了第二个上界；第三个上界用到 $r^2<3$ 。前三项均非整数，故最小 $n=4$ 。这里不需要讨论无理数的无理数次幂的一般性质。

第 8 题

题目

设 $(x-\sqrt2)^{2019}$ 展开式中 $x$ 的奇次幂项之和为 $S(x)$ ，求 $S(\sqrt2)$ 。

解答

设 $P(x)=(x-\sqrt2)^{2019}$ ，奇次幂部分为 $S(x)=[P(x)-P(-x)]/2$ 。于是

S(\sqrt2)=\frac{0-(-2\sqrt2)^{2019}}2=2^{3027}\sqrt2.

第 9 题

题目

$x,y,z$ 不全为零，求 $\dfrac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2}$ 的最大值。

解答

由柯西不等式和 $2uv\le u^2+v^2$ ，

y(x+2z)\le |y|\sqrt{5(x^2+z^2)}\le\frac{\sqrt5}{2}(x^2+y^2+z^2).

取 $(x,y,z)=(1,\sqrt5,2)$ 同时取等，最大值为 $\sqrt5/2$ 。

第 10 题

题目

$S_{\triangle ABC}=2$ ， $D\in AB,E\in AC,F\in DE$ ，且 $AD/AB=x,AE/AC=y,DF/DE=z$ 。若 $y+z-x=1$ ，求 $S_{\triangle BDF}$ 的最大值。

解答

$BD/BA=1-x$ ，而 $F$ 到 $AB$ 的高是 $E$ 到 $AB$ 的高的 $z$ 倍，因此

S_{BDF}=2(1-x)yz=2(2-y-z)yz.

设 $s=y+z$ ，由 $x=s-1\in[0,1]$ 得 $1\le s\le2$ ，且 $yz\le s^2/4$ 。故面积不超过 $h(s)=s^2(2-s)/2$ 。由 $h'(s)=s(4-3s)/2$ ，最大值在 $s=4/3$ 处，为 $16/27$ 。取 $y=z=2/3,x=1/3$ ，各点均合法且达到上界。

第 11 题

题目

【条件补全，多选】若对定义域内任意 $x,y$ ，有 $f((x+y)/2)\le(f(x)+f(y))/2$ ，称 $f$ 为凸函数。判断哪些函数满足条件：A. $2^x$ ；B. $x^3$ ；C. $\log_2x$ ；D. $f(x)=x$ （ $x\le0$ ）， $f(x)=2x$ （ $x>0$ ）。各函数取自然定义域。

解答

题面校注： 补入 D 的 $f(0)=0$ ，并明确为多选。

A 由 $\sqrt{2^x2^y}\le(2^x+2^y)/2$ 成立。B 取 $x=-2,y=0$ ，左边为 $-1$ 、右边为 $-4$ ，不成立。C 取 $x=1,y=4$ ，有 $\log_2(5/2)>1$ ，也不成立。D 可写为 $f(x)=3x/2+|x|/2$ ，由 $|x+y|\le|x|+|y|$ 即满足所需不等式。所以选 A、D。

第 12 题

题目

复数 $z_1,z_2$ 对应点为 $A,B$ 。若 $|z_1|=4$ 且 $4z_1^2-2z_1z_2+z_2^2=0$ ，求 $\triangle AOB$ 面积。

解答

除以 $z_1^2$ ，得 $(z_2/z_1)^2-2z_2/z_1+4=0$ ，故 $z_2/z_1=1\pm i\sqrt3$ 。于是 $OA=4,OB=8$ ，两向量夹角为 $60^\circ$ ，面积为 $4\cdot8\sin60^\circ/2=8\sqrt3$ 。

第 13 题

题目

实数 $a,b$ 满足 $4a^2-5ab+4b^2=19$ ，求 $a^2+b^2$ 的最大值。

解答

记 $R=a^2+b^2$ 。因 $ab\le R/2$ ， $19=4R-5ab\ge3R/2$ ，故 $R\le38/3$ 。当 $a=b=\sqrt{19/3}$ 时等号成立。

第 14 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中， $a+c=3b$ ，求 $\tan\frac A2\tan\frac C2$ 。

解答

设半周长为 $s$ 、内切圆半径为 $r$ 、面积为 $\Delta$ 。由半角公式与海伦公式，

\tan\frac A2\tan\frac C2 =\frac{r^2}{(s-a)(s-c)} =\frac{\Delta^2}{s^2(s-a)(s-c)}=\frac{s-b}{s}.

题设给出 $s=2b$ ，所求为 $1/2$ 。

第 15 题

题目

$a_n$ 为 $7^n$ 的末两位数，求 $a_1+\cdots+a_{2019}$ 。

解答

$7,49,43,1$ 是 $7^n$ 模 $100$ 的一个四项循环，和为 $100$ 。因 $2019=4\cdot504+3$ ，总和为 $50400+7+49+43=50499$ 。

第 16 题

题目

解答

题面校注： 原题未限定锐角，选项中的余弦可能为负，而距离不能为负；改为证明绝对值形式。

圆心到弦 $BC$ 的垂线平分弦。结合 $a=2R\sin A$ ，得 $k^2=R^2-a^2/4=R^2\cos^2A$ ，故 $k=R|\cos A|$ ，另外两边同样成立。对非直角三角形，若锐角则三个余弦全正，可去绝对值；若钝角则一个余弦负、两个正，不能与三个正距离成同一比例。因此恰在锐角三角形中可以去掉绝对值。

第 17 题

题目

定义 $(m,n),(a,b)$ 的折线距离为 $|m-a|+|n-b|$ 。平面上一点 $P$ 到下列各点的折线距离之和最小：

(-1,2),\ (3,1),\ (3,5),\ (-2,4),\ (4,4),\ (6,6).

求 $P$ 的坐标。

解答

横纵坐标分别优化。对六个实数从小到大排序，绝对偏差和的最小点区间是第 3、4 个数之间：可将首尾配成三对，每对 $|t-u|+|t-v|\ge v-u$ ，三个取等区间的交即该区间。

横坐标排序为 $-2,-1,3,3,4,6$ ，纵坐标排序为 $1,2,4,4,5,6$ ，所以唯一最优点为 $(3,4)$ ，最小距离和为 $13+8=21$ 。

第 18 题

题目

$A=\{(x,y)\mid y\ge x^2\}$ ， $B=\{(x,y)\mid x^2+(y-a)^2\le1\}$ 。求 $A\cap B=B$ 的充要条件。选项： $a=5/4$ ； $a\ge5/4$ ； $a\ge1$ ； $0<a<1$ 。

解答

条件等价于整个圆盘都位于抛物线上方。对每个 $|x|\le1$ ，圆盘最低点纵坐标为 $a-\sqrt{1-x^2}$ ，故充要条件为

a\ge\max_{|x|\le1}\{x^2+\sqrt{1-x^2}\}.

令 $t=\sqrt{1-x^2}\in[0,1]$ ，括号内为 $1-t^2+t=5/4-(t-1/2)^2$ ，最大值为 $5/4$ 。所以 $a\ge5/4$ 。